1、2020河南中考数学复习专题专题-类比探究题学 海 无 涯(3)分两种情况：当点 D 在线段 PC 上时，延长 AD 交 BC 的延长线于 H.证明 ADDC 即可解决问题；当点 P 在线段 CD 上时，同法可证 DADC，解决问题【自主解答】1 1(20182018河南)(1)问题发现 如图 1，在OAB 和OCD 中，OAOB，OCOD，AOBCOD40，连接 AC，BD 交于点 M.填空：学 海 无 涯(2)类比探究 如图 2，在OAB 和OCD 中，AOBCOD90，OABOCD30，连ACBD接 AC 交 BD 的延长线于点 M.请判断的值及AMB 的度数，并说明理由；(3)拓展延伸
2、 在(2)的条件下，将OCD 绕点 O 在平面内旋转，AC，BD 所在直线交于点 M，若 OD1，OB 7，请直接写出当点 C 与点 M 重合时 AC 的长 2 2(20172017河南)如图 1，在 RtABC 中，A90，ABAC，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，ADAE，连接 DC，点 M，P，N 分别为 DE，DC，BC 的中点 (1)观察猜想 图 1 中，线段 PM 与 PN 的数量关系是，位置关系是；(2)探究证明 把ADE 绕点 A 逆时针方向旋转到图 2 的位置，连接 MN，BD，CE，判断PMN 的学 海 无 涯 形状，并说明理由；(3)拓展延伸 把ADE 绕 A 在平
3、面内自由旋转，若 AD4，AB10，请直接写出PMN 面积的 最大值 图 1 图 2 3 3(20152015河南)如图 1，在 RtABC 中，B90，BC2AB8，点 D，E 分别是边 BC，AC 的中点，连接 DE.将EDC 绕点 C 按顺时针方向旋转，记旋转角 为.(1)问题发现 学 海 无 涯 AEBD当 180时，；(2)拓展探究 AEBD试判断：当 0360时，的大小有无变化？请仅就图 2 的情形给出证明 (3)解决问题 当EDC 旋转至 A，D，E 三点共线时，直接写出线段 BD 的长 类型二 动点引起的探究 (20162016河南)(1)发现 如图 1，点 A 为线段 BC
4、外一动点，且 BCa，ABb.填空：当点 A 位于 时，线段 AC 的长取得最大值，且最大值为(用 含 a，b 的式子表示)；(2)应用 学 海 无 涯 点 A 为线段 BC 外一动点，且 BC3，AB1，如图 2 所示，分别以 AB，AC 为边，作等边三角形 ABD 和等边三角形 ACE，连接 CD，BE.请找出图中与 BE 相等的线段，并说明理由；直接写出线段 BE 长的最大值；(3)拓展 如图 3，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为(2，0)，点 B 的坐标为(5，0)，点P 为线段 AB 外一动点，且 PA2，PMPB，BPM90，请直接写出线段 AM长的最大值及此时点 P 的坐标
5、【分析】(1)根据点 A 位于 CB 的延长线上时，线段 AC 的长取得最大值，即可得到结论；(2)根据等边三角形的性质得到 ADAB，ACAE，BADCAE60，推出CADEAB，根据全等三角形的性质得到 CDBE；由于线段 BE 的最大值线段 CD 的最大值，根据(1)中的结论即可得到结果 (3)将APM 绕着点 P 顺时针旋转 90得到PBN，连接 AN，得到APN 是等腰 直角三角形，根据全等三角形的性质得到 PNPA2，BNAM，根据当 N 在线段学 海 无 涯 BA 的延长线时，线段 BN 取得最大值，即可得到最大值为 223；过 P 作 PEx 轴于 E，根据等腰直角三角形的性质
6、即可得到点 P 的坐标【自主解答】4 4(20192019河南模拟)(1)问题发现 学 海 无 涯 ACD 的度数为；(2)拓展探究 ABAC如图 2，在 RtABC 中，BAC90，k.点 P 是边 BC 上一动点(不与点 B重合)，PAD90，APDB，连接 CD，请判断ACD 与B 的数量关系以及 PB 与 CD 之间的数量关系，并说明理由；(3)解决问题 如图 3，在ABC 中，B45，AB4 2，BC 12，P 是边 BC 上一动点(不与 点 B 重合)，PADBAC，APDB，连接 CD.若 PA5，请直接写出所有 CD 的长 类型三 图形形状变化引起的探究 (20192019信阳
7、一模)(1)观察猜想 如图 1，点 B，A，C 在同一条直线上，DBBC，ECBC，且DAE90，ADAE，则 BC，BD，CE 之间的数量关系为；学 海 无 涯(2)问题解决 如图 2，在 RtABC 中，ABC90，CB4，AB2，以 AC 为直角边向外作等 腰 RtDAC，连接 BD，求 BD 的长；(3)拓展延伸 如图 3，在四边形 ABCD 中，ABCADC90，CB4，AB2，DCDA，请 直接写出 BD 的长 【分析】(1)通过证明ADBEAC，可得结论：BCABACBDCE；(2)过 D 作 DEAB，交 BA 的延长线于 E，同理证明ABCDEA，可得 DEAB2，AEBC4
8、，最后利用勾股定理求 BD 的长；(3)同理证明三角形全等，设 AFx，DFy，根据全等三角形对应边相等列方程 组可得结论【自主解答】学 海 无 涯 5 5(20142014河南)(1)问题发现 如图 1，ACB 和DCE 均为等边三角形，点 A，D，E 在同一直线上，连接 BE.填空：AEB 的度数为；线段 AD，BE 之间的数量关系为；(2)拓展探究 如图 2，ACB 和DCE 均为等腰直角三角形，ACBDCE90，点 A，D，E 在同一直线上，CM 为DCE 中 DE 边上的高，连接 BE，请判断AEB 的度数及 线段 CM，AE，BE 之间的数量关系，并说明理由；(3)解决问题 如图
9、3，在正方形 ABCD 中，CD 2，若点 P 满足 PD1，且BPD90，请直 接写出点 A 到 BP 的距离 学 海 无 涯 BDCP(2)的值为 2，直线 BD 与直线 CP 相交所成的较小角的度数为 45.理由如下：如图，设 BD 交 AC 于点 O，BD 交 PC 于点 E.PADCAB45，PACDAB.ABADACAP 2，DABPAC，BDABPCACPCADBA，2.EOCAOB，CEOOAB45，直线 BD 与直线 CP 相交所成的较小角的度数为 45.ADCP(3)的值为 2 2或 2 2.如图，当点 D 在线段 PC 上时，延长 AD 交 BC 的延长线于 H.学 海
10、无 涯 PEEAEC，EPAEAPBAH，HBAH，BHBA.ADPBDC45，ADB90，BDAH，DBADBC22.5.ADBACB90，A，D，C，B 四点共圆，DACDBC22.5，DCAABD22.5，DACDCA22.5，DADC.2设 ADa，则 DCADa，PD 2 a，CPADa2a 2 a2 2.如图，当点 P 在线段 CD 上时，同法可证 DADC.设 ADa，则 CDADa，PD2 2 a，学 海 无 涯 跟踪训练 1解：(1)1 提示：AOBCOD40，COADOB.OCOD，OAOB，COADOB(SAS)，ACBDACBD，1.40 提示：COADOB，CAODB
11、O.AOB40，OABABO140.在AMB 中，AMB180(CAOOABABD)180(DBOOABABD)18014040.ACBD(2)3，AMB90.理由如下：在 RtOCD 中，DCO30，DOC90，OD33学 海 无 涯 1809090.(3)2 3或 3 3.提示：点 C 与点 M 重合时，如图，同理得AOCBOD，ACBDAMB90，3.设 BDx，则 AC 3x.在 RtCOD 中，OCD30，OD1，CD2，BCx2.在 RtAOB 中，OAB30，OB7.AB2OB27.在 RtAMB 中，由勾股定理得 AC2BC2AB2，即(3x)2(x2)2(27)2，解得 x1
12、3，x22(舍去)，AC3 3.学 海 无 涯 即(3x)2(x2)2(27)2.解得 x13，解得 x22(舍去)，AC2 3.综上所述，AC 的长为 33或 2 3.2解：(1)PMPN PMPN 提示：点 P，N 是 BC，CD 的中点，12PNBD，PN BD.点 P，M 是 CD，DE 的中点，12PMCE，PM CE.ABAC，ADAE，BDCE，PMPN.PNBD，DPNADC，PMCE，DPMDCA.BAC90，ADCACD90，MPNDPMDPNDCAADC90，PMPN.(2)PMN 为等腰直角三角形理由如下：由旋转知，BADCAE.ABAC，ADAE，ABDACE(SAS
13、)，ABDACE，BDCE.同(1)的方法，利用三角形的中位线定理得 学 海 无 涯 PMPN，PMN 是等腰三角形 同(1)的方法得 PMCE，DPMDCE.同(1)的方法得 PNBD，PNCDBC.DPNDCBPNCDCBDBC，MPNDPMDPNDCEDCBDBCBCEDBCACBACEDBCACBABDDBCACBABC.BAC90，ACBABC90，MPN90，PMN 是等腰直角三角形 49(3)2.提示：同(2)的方法得PMN 是等腰直角三角形，当 MN 最大时，PMN 的面积最大，DEBC 且 DE 在顶点 A 上面，MN 最大AMAN.如图，连接 AM，AN.学 海 无 涯 M
14、N 最大225 27 2，PMN 最大1222221114S PM MN (724922).53解：(1)2 提示：当 0时，在 RtABC 中，B90，AC AB2BC2（82）2824 5.点 D，E 分别是边 BC，AC 的中点，AE4 522 5，BD824，AE2 55BD42.2 5 提示：如图，当 180时，则可得 ABDE.ACBC学 海 无 涯 AEEC5BDDC2.12(3)BD 的长为 4 5或 55 提示：a.如图，AC4 5，CD4，CDAD，AD AC2CD2（4 5）242 80168.ADBC，ABDC，B90，四边形 ABCD 是矩形，BDAC45.b如图，连
15、接 BD，过点 D 作 AC 的垂线交 AC 于点 Q，过点 B 作 AC 的垂线交 AC于点 P.AC4 5，CD4，CDAD，AD AC2CD2（4 5）242 80168.点 D，E 分别是边 BC，AC 的中点，学 海 无 涯 BD52612 55.综上所述，BD 的长为 45或12 55.类型二【例 2 2】(1)CB 的延长线 ab(2)CDBE.理由：ABD 与A CE 是等边三角形，ADAB，ACAE，BADCAE60，BADBACCAEBAC，即CADEAB.在CAD 和EAB 中，ADAB，CADEAB，ACAE，CADEAB，CDBE.4 提示：线段 BE 长的最大值等于
16、线段 CD 的最大值，由(1)知，当线段 CD 取得最大值时，点 D 在 CB 的延长线上，线段 BE 的最大值为 BDBCABBC4.(3)线段 AM 的最大值为 2 23，点 P 的坐标为(2 22，2)提示：如图，将APM 绕着点 P 顺时针旋转 90得到PBN，连接 AN，则APN 是等腰直角三角形，学 海 无 涯 PNPA2，BNAM.点 A 的坐标为(2，0)，点 B 的坐标为(5，0)，OA2，OB5，AB3，线段 AM 的最大值等于线段 BN 的最大值，当点 N 在线段 BA 的延长线时，线段 BN 取得最大值，即最大值为 ABAN.AN 2AP2 2，线段 AM 的最大值为
17、2 23.如图，过点 P 作 PEx 轴于点 E.APN 是等腰直角三角形，PEAE 2，OEBOABAE5322 2，P(2 2，2)跟踪训练 4解：(1)1 45 学 海 无 涯 理由如下：BACPAD90，BAPD，ABCAPD，ABAPACADk.BAPPACPACCAD90，BAPCAD，ABPCAD，PBABCDACACDB，k.(3)或107 1022.类型三【例 3 3】(1)BCBDCE 提示：B90，DAE90，DDABDABEAC90，DEAC.BC90，ADAE，ADBEAC，BDAC，ECAB，BCABACBDCE.(2)如图，过 D 作 DEAB，交 BA 的延长线
18、于 E.学 海 无 涯 DEAB2，AEBC4.在 RtBDE 中，BE6，由勾股定理得 BD 62222 10.(3)如图，过点 D 作 DEBC 于 E，作 DFAB，交 BA 的延长线于 F.同理得CEDAFD，CEAF，EDDF.设 AFx，DFy，则xy4，x1，2xy，y3，解得 BF213，DF3，由勾股定理得 BD 323232.跟踪训练 5解：(1)60 提示：ACB 和DCE 均为等边三角形，CACB，CDCE，ACBDCE60，ACDBCE.在ACD 和BCE 中，ACBC，ACDBCE，CDCE，ACDBCE，ADCBEC.学 海 无 涯 DCE 为等边三角形，CDEC
19、ED60.点 A，D，E 在同一直线上，ADC120，BEC120，AEBBECCED60.ADBE (2)AEB90，AEBE2CM.理由如下：ACB 和DCE 均为等腰直角三角形，CACB，CDCE，ACBDCE90，ACDBCE.在ACD 和BCE 中，CACB，ACDBCE，CDCE，ACDBCE，ADBE，ADCBEC.DCE 为等腰直角三角形，CDECED45.点 A，D，E 在同一直线上，ADC135，BEC135，AEBBECCED90.CDCE，CMDE，DMME.DCE90，DMMECM，AEADDEBE2CM.学 海 无 涯(3)点 A 到 BP 的距离为313122或.
20、提示：PD1，点 P 在以点 D 为圆心，1 为半径的圆上 BPD90，点 P 在以 BD 为直径的圆上，点 P 是这两圆的交点(i)当点 P 在如图所示位置时，连接 PD，PB，PA，作 AHBP，垂足为 H，过点 A作 AEAP，交 BP 于点 E.四边形 ABCD 是正方形，ADB45，ABADDCBC2，BAD90，BD2.DP1，BP3.BPDBAD90，点 A，P，D，B 在以 BD 为直径的圆上，APBADB45，PAE 是等腰直角三角形 又BAD 是等腰直角三角形，点 B，E，P 共线，AHBP，由(2)中的结论可得 BP2AHPD，学 海 无 涯 同理可得 BP2AHPD，32AH1，AH312.综上所述，点 A 到 BP 的距离为313122或.
