1、第三课导数及其应用【网络体系网络体系】【核心速填核心速填】1.1.在在x=xx=x0 0处的导数处的导数(1)(1)定义定义:函数函数y=f(x)y=f(x)在在x=xx=x0 0处的瞬时变化率处的瞬时变化率_,_,称为函数称为函数y=f(x)y=f(x)在在x=xx=x0 0处的导数处的导数.(2)(2)几何意义几何意义:函数函数y=f(x)y=f(x)在在x=xx=x0 0处的导数是函数图象处的导数是函数图象在点在点(x(x0 0,f(x,f(x0 0)处的切线处的切线_._.x 0ylimx 00 x0f(xx)f(x)limx 斜率斜率2.2.导函数导函数当当x x变化时变化时,f(x
2、),f(x)便是便是x x的一个函数的一个函数,称为称为_._.f(x)=y=_.f(x)=y=_.导函数导函数 x 0f(xx)f xlimx 3.3.基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式(1)c=0.(1)c=0.(2)(x(2)(x)=_.)=_.(3)(a(3)(ax x)=_(a0).)=_(a0).(4)(e(4)(ex x)=_.)=_.(5)(log(5)(loga ax)=_=(a0,x)=_=(a0,且且a1).a1).xx-1-1a ax xlnalnae ex xa1log ex1xln a(6)(lnx)=_.(6)(lnx)=_.(7)(sinx)=_.(7
3、)(sinx)=_.(8)(cosx)=_.(8)(cosx)=_.1xcosxcosx-sinx-sinx4.4.导数的运算法则导数的运算法则(1)f(x)(1)f(x)g(x)=_.g(x)=_.(2)f(x)(2)f(x)g(x)=_.g(x)=_.(3)(3)f x_(g x0).g xf(x)f(x)g(x)g(x)f(x)g(x)+f(x)g(x)f(x)g(x)+f(x)g(x)2f x g xf x g xg x5.5.函数的单调性、极值与导数函数的单调性、极值与导数(1)(1)函数的单调性与导数函数的单调性与导数.在某个区间在某个区间(a,b)(a,b)内内,如果如果_,_,
4、那么函数那么函数y=f(x)y=f(x)在这个区间内单调递增在这个区间内单调递增;如果如果_,_,那么函数那么函数y=f(x)y=f(x)在这个区间内单调递减在这个区间内单调递减.f(x)0f(x)0f(x)0f(x)0(2)(2)函数的极值与导数函数的极值与导数.极大值极大值:在点在点x=ax=a附近附近,满足满足f(a)f(x),f(a)f(x),当当xaxaxa时时,_,_,则点则点a a叫做函数的极叫做函数的极大值点大值点,f(a),f(a)叫做函数的极大值叫做函数的极大值;极小值极小值:在点在点x=ax=a附近附近,满足满足f(a)f(x),f(a)f(x),当当xaxaxa时时,_
5、,_,则点则点a a叫做函数的极叫做函数的极小值点小值点,f(a),f(a)叫做函数的极小值叫做函数的极小值.f(x)0f(x)0f(x)0f(x)0f(x)0f(x)0f(x)06.6.求函数求函数y=f(x)y=f(x)在在a,ba,b上的最大值与最小值的步骤上的最大值与最小值的步骤(1)(1)求函数求函数y=f(x)y=f(x)在在(a,b)(a,b)内的内的_._.(2)(2)将函数将函数y=f(x)y=f(x)的各极值与的各极值与_比较比较,其中最大的一个是最大值其中最大的一个是最大值,最小的一个为最小值最小的一个为最小值.极值极值端点处的函数值端点处的函数值f(a),f(b)f(a
6、),f(b)【易错警示易错警示】1.1.关注导数的概念、几何意义关注导数的概念、几何意义利用导数的概念、几何意义时要特别注意切点是否已利用导数的概念、几何意义时要特别注意切点是否已知知,若切点未知若切点未知,则设出切点则设出切点,用切点坐标表示切线斜率用切点坐标表示切线斜率.2.2.正确理解单调性与导数、极值与导数的关系正确理解单调性与导数、极值与导数的关系(1)(1)当函数在区间当函数在区间(a,b)(a,b)上为增函数时上为增函数时,f(x)0.,f(x)0.(2)f(x(2)f(x0 0)=0)=0是函数是函数y=f(x)y=f(x)在在x x0 0处取极值的必要条件处取极值的必要条件.
7、类型一类型一导数的几何意义导数的几何意义【典例典例1 1】(1)(1)若曲线若曲线y=axy=ax2 2-lnx-lnx在点在点(1,a)(1,a)处的切线平处的切线平行于行于x x轴轴,则则a=_.a=_.(2)(2)求垂直于直线求垂直于直线2x-6y+1=02x-6y+1=0并且与曲线并且与曲线y=xy=x3 3+3x+3x2 2-5-5相相切的直线方程切的直线方程.【解析解析】(1)(1)对对y=axy=ax2 2-lnx-lnx求导得求导得y=2ax-,y=2ax-,而而x x轴的轴的斜率为斜率为0,0,所以在点所以在点(1,a)(1,a)处切线的斜率为处切线的斜率为yy|x=1x=1
8、=2a-=2a-1=0,1=0,解得解得a=.a=.答案答案:1x1212(2)(2)设切点为设切点为P(a,b),P(a,b),函数函数y=xy=x3 3+3x+3x2 2-5-5的导数为的导数为y=3xy=3x2 2+6x,+6x,切线的斜率切线的斜率k=y|k=y|x=ax=a=3a=3a2 2+6a=-3,+6a=-3,得得a=-1,a=-1,将将(-1,b)(-1,b)代入到曲线方程中代入到曲线方程中,得得b=-3,b=-3,即即P(-1,-3),P(-1,-3),切线方程为切线方程为y+3=-3(x+1),y+3=-3(x+1),3x+y+6=0.3x+y+6=0.【延伸探究延伸探
9、究】若把本例若把本例(2)(2)中的直线方程改为中的直线方程改为x+9y-1=0,x+9y-1=0,试求相应的切线方程试求相应的切线方程.【解析解析】直线直线x+9y-1=0 x+9y-1=0的斜率为的斜率为-,-,因为因为y=3xy=3x2 2+6x,+6x,由题意令由题意令3x3x2 2+6x=9,+6x=9,即即x x2 2+2x-3=0,+2x-3=0,解得解得x=1x=1或或x=-3,x=-3,19当当x=1x=1时时,切线方程为切线方程为y+1=9(x-1),y+1=9(x-1),即即9x-y-10=0,9x-y-10=0,当当x=-3x=-3时时,切线方程为切线方程为y+5=9(
10、x+3),y+5=9(x+3),即即:9x-y+22=0.:9x-y+22=0.【方法技巧方法技巧】关于导数几何意义的应用关于导数几何意义的应用此类问题一般涉及此类问题一般涉及:(1)(1)已知函数的图象上点的坐标已知函数的图象上点的坐标,求该点处的切线斜率求该点处的切线斜率,即在该点处的导数值即在该点处的导数值.(2)(2)已知函数图象上过某点的切线斜率已知函数图象上过某点的切线斜率,求该点的坐标求该点的坐标;利用上述关系还可以解决与之相关的含参数问题利用上述关系还可以解决与之相关的含参数问题.【变式训练变式训练】已知函数已知函数f(x)=axf(x)=ax3 3+3x+3x2 2-6ax-
11、11,-6ax-11,g(x)=3xg(x)=3x2 2+6x+12,+6x+12,直线直线m:y=kx+9,m:y=kx+9,又又f(-1)=0.f(-1)=0.(1)(1)求求a a的值的值.(2)(2)是否存在实数是否存在实数k,k,使直线使直线m m既是曲线既是曲线y=f(x)y=f(x)的切线的切线,又又是是y=g(x)y=g(x)的切线的切线?如果存在如果存在,求出求出k k的值的值;如果不存在如果不存在,说说明理由明理由.【解析解析】(1)(1)因为因为f(x)=3axf(x)=3ax2 2+6x-6a,+6x-6a,且且f(-1)=0,f(-1)=0,所以所以3a-6-6a=0
12、,3a-6-6a=0,所以所以a=-2.a=-2.(2)(2)存在存在.因为直线因为直线m m过定点过定点(0,9),(0,9),先求过点先求过点(0,9)(0,9)与曲线与曲线y=g(x)y=g(x)相切的直线方程相切的直线方程,设切点为设切点为(x(x0 0,3x,3x0 02 2+6x+6x0 0+12),+12),又又g(xg(x0 0)=6x)=6x0 0+6,+6,所以切线方程为所以切线方程为y-(3xy-(3x0 02 2+6x+6x0 0+12)=(6x+12)=(6x0 0+6)(x-x+6)(x-x0 0).).将点将点(0,9)(0,9)代入得代入得9-3x9-3x0 0
13、2 2-6x-6x0 0-12=-6x-12=-6x0 02 2-6x-6x0 0,所以所以3x3x0 02 2-3=0,-3=0,所以所以x x0 0=1.1.当当x x0 0=1=1时时,g(1)=12,g(1)=12,切点坐标为切点坐标为(1,21),(1,21),所以切线方程为所以切线方程为y=12x+9;y=12x+9;当当x x0 0=-1=-1时时,g(-1)=0,g(-1)=0,切点坐标为切点坐标为(-1,9),(-1,9),所以切线方程为所以切线方程为y=9.y=9.下面求曲线下面求曲线y=f(x)y=f(x)的斜率为的斜率为1212和和0 0的切线方程的切线方程:因为因为f
14、(x)=-2xf(x)=-2x3 3+3x+3x2 2+12x-11.+12x-11.f(x)=-6xf(x)=-6x2 2+6x+12,+6x+12,由由f(x)=12,f(x)=12,得得-6x-6x2 2+6x+12=12,+6x+12=12,所以所以x=0 x=0或或x=1.x=1.当当x=0 x=0时时,f(0)=-11,f(0)=-11,此时切线方程为此时切线方程为y=12x-11;y=12x-11;当当x=1x=1时时,f(1)=2,f(1)=2,此时切线方程为此时切线方程为y=12x-10.y=12x-10.所以所以y=12x+9y=12x+9不是公切线不是公切线.由由f(x)
15、=0,f(x)=0,得得-6x-6x2 2+6x+12=0,+6x+12=0,即得即得x=-1x=-1或或x=2.x=2.当当x=-1x=-1时时,f(-1)=-18,f(-1)=-18,此时切线方程为此时切线方程为y=-18;y=-18;当当x=2x=2时时,f(2)=9,f(2)=9,此时切线方程为此时切线方程为y=9.y=9.所以所以y=9y=9是公切线是公切线.综上所述综上所述,当当k=0k=0时时,y=9,y=9是两曲线的公切线是两曲线的公切线.【补偿训练补偿训练】已知直线已知直线l1 1为曲线为曲线y=xy=x2 2+x-2+x-2在点在点(1,0)(1,0)处处的切线的切线,l2
16、 2为该曲线的另外一条切线为该曲线的另外一条切线,且且l1 1l2 2.(1)(1)求直线求直线l2 2的方程的方程.(2)(2)求由直线求由直线l1 1,l2 2和和x x轴围成的三角形的面积轴围成的三角形的面积.【解析解析】(1)(1)因为因为y=2x+1,y=2x+1,所以直线所以直线l1 1的方程为的方程为y=3x-y=3x-3.3.设直线设直线l2 2过曲线过曲线y=xy=x2 2+x-2+x-2上的点上的点B(b,bB(b,b2 2+b-2),+b-2),则则l2 2的方程为的方程为y=(2b+1)x-by=(2b+1)x-b2 2-2.-2.因为因为l1 1l2 2,所以所以2b
17、+1=-,b=-,2b+1=-,b=-,所以直线所以直线l2 2的方程为的方程为y=-x-.y=-x-.132313229(2)(2)由题意得由题意得解得解得所以直线所以直线l1 1与直线与直线l2 2的交点坐标为的交点坐标为,l1 1,l2 2与与x x轴交点的坐标分别为轴交点的坐标分别为(1,0),.(1,0),.所以所求三角形面积所以所求三角形面积y 3x 3122yx39，1x65y.2，1 255125S|.23212 类型二类型二函数的单调性与导数函数的单调性与导数【典例典例2 2】(2015(2015重庆高考重庆高考)已知函数已知函数f(x)=axf(x)=ax3 3+x+x2
18、2(aR)(aR)在在x=-x=-处取得极值处取得极值.(1)(1)确定确定a a的值的值.(2)(2)若若g(x)=f(x)eg(x)=f(x)ex x,讨论讨论g(x)g(x)的单调性的单调性.43【解析解析】(1)(1)对对f(x)f(x)求导得求导得f(x)=3axf(x)=3ax2 2+2x.+2x.因为因为f(x)f(x)在在x=-x=-处取得极值处取得极值,所以所以解得解得a=.a=.经检验满足题意经检验满足题意.43416416a 8f()3a2()0,39333 12(2)(2)由由(1)(1)知知g(x)=,g(x)=,所以所以g(x)=g(x)=x(x+1)(x+4)e
19、=x(x+1)(x+4)ex x.令令g(x)=0,g(x)=0,解得解得x=0,x=-1x=0,x=-1或或x=-4.x=-4.32x1(xx)e22x32x31(x2x)e(xx)e2232x15(xx2x)e2212当当x-4x-4时时,g(x)0,g(x)0,故故g(x)g(x)为减函数为减函数;当当-4x-1-4x0,g(x)0,故故g(x)g(x)为增函数为增函数;当当-1x0-1x0时时,g(x)0,g(x)0 x0时时,g(x)0,g(x)0,故故g(x)g(x)为增函数为增函数;综上知综上知,g(x),g(x)在在(-,-4)(-,-4)和和(-1,0)(-1,0)内为减函数
20、内为减函数,在在(-4,(-4,-1)-1)和和(0,+)(0,+)内为增函数内为增函数.【方法技巧方法技巧】函数的单调性与导数的关注点函数的单调性与导数的关注点(1)(1)关注函数的定义域关注函数的定义域,单调区间应为定义域的子区间单调区间应为定义域的子区间.(2)(2)已知函数在某个区间上的单调性时转化要等价已知函数在某个区间上的单调性时转化要等价.(3)(3)分类讨论求函数的单调区间实质是讨论不等式的解分类讨论求函数的单调区间实质是讨论不等式的解集集.(4)(4)求参数的范围时常用到分离参数法求参数的范围时常用到分离参数法.【变式训练变式训练】已知函数已知函数f(x)=2ax-xf(x)
21、=2ax-x3 3,x(0,1,a0,x(0,1,a0,若若f(x)f(x)在在(0,1(0,1内是增函数内是增函数,求求a a的取值范围的取值范围.【解析解析】方法一方法一:由题意知由题意知f(x)=2a-3xf(x)=2a-3x2 2,则则f(x)f(x)在在(0,1(0,1内为增函数等价于内为增函数等价于f(x)0f(x)0对对x(0,1x(0,1恒成立恒成立且方程且方程f(x)=0f(x)=0的根为有限个的根为有限个.于是于是2a-3x2a-3x2 200对对x(0,1x(0,1恒成立恒成立,即即axax2 2对对x(0,1x(0,1恒成立恒成立.又又x(0,1,x(0,1,所以所以
22、x x2 2 ,即即a .a .而方程而方程2a-3x2a-3x2 2=0=0的根为有限个的根为有限个,所以所以a .a .所以所以a a的取值范围为的取值范围为323230 2，323).2，方法二方法二:由题意知由题意知f(x)=2a-3xf(x)=2a-3x2 2,由于由于a0,a0,令令f(x)=2a-3xf(x)=2a-3x2 200得得xx若要使函数若要使函数f(x)f(x)在在(0,1(0,1内是增函数内是增函数,只需只需 1 1即可即可,即即a .a .所以所以a a的取值范围为的取值范围为2a2a()33，2a3323).2，【补偿训练补偿训练】设函数设函数f(x)=af(x
23、)=a2 2lnx-xlnx-x2 2+ax,a0.+ax,a0.(1)(1)求求f(x)f(x)的单调区间的单调区间.(2)(2)求所有的实数求所有的实数a,a,使使e-1f(x)ee-1f(x)e2 2对对x1,ex1,e恒成恒成立立.注注:e:e为自然对数的底数为自然对数的底数.【解析解析】(1)(1)因为因为f(x)=af(x)=a2 2lnx-xlnx-x2 2+ax,+ax,其中其中x0,x0,所以所以f(x)=f(x)=由于由于a0,a0,所以所以f(x)f(x)的增区间为的增区间为(0,a),(0,a),减区间为减区间为(a,+).(a,+).2a(x a)(2x a)2x a
24、.xx(2)(2)由题意得由题意得f(1)=a-1e-1,f(1)=a-1e-1,即即ae.ae.由由(1)(1)知知f(x)f(x)在在1,e1,e内单调递增内单调递增,要使要使e-1f(x)ee-1f(x)e2 2对对x1,ex1,e恒成立恒成立,只要只要 解得解得a=e.a=e.222f 1a 1 e 1f eaeae e ，类型三类型三函数的极值、最值与导数函数的极值、最值与导数【典例典例3 3】(2016(2016临沂高二检测临沂高二检测)已知函数已知函数f(x)=xf(x)=x3 3-3ax3ax2 2+2bx+2bx在在x=1x=1处有极小值处有极小值-1.-1.(1)(1)求函
25、数求函数f(x)f(x)的单调区间的单调区间.(2)(2)求函数求函数f(x)f(x)在闭区间在闭区间-2,2-2,2上的最大值和最小值上的最大值和最小值.【解析解析】(1)f(x)=3x(1)f(x)=3x2 2-6ax+2b,-6ax+2b,因为因为f(x)f(x)在在x=1x=1处有极小值处有极小值-1,-1,所以所以即即 解得解得 f 10f 11，3 6a 2b 01 3a 2b1，1a31b2，所以所以f(x)=xf(x)=x3 3-x-x2 2-x,f(x)=3x-x,f(x)=3x2 2-2x-1.-2x-1.令令f(x)0,f(x)0,得得x1x1或或x-;x-;令令f(x)
26、0,f(x)0,得得-x1.-x0;,f(x)0;当当x x 时时,f(x)0;,f(x)0,f(x)0,232(2)3，2(13，所以所以f(x)f(x)的单调增区间是的单调增区间是-3,-2)-3,-2)和和 ,单调减区间单调减区间是是因为因为f(1)=4,f(x)f(1)=4,f(x)极大值极大值=f(-2)=13,=f(-2)=13,所以所以f(x)f(x)在区间在区间-3,1-3,1上的最大值为上的最大值为13.13.2(13，2(2).3，【补偿训练补偿训练】设设f(x)=-xf(x)=-x3 3+x+x2 2+2ax.+2ax.(1)(1)若若f(x)f(x)在在 上存在单调递增
27、区间上存在单调递增区间,求求a a的取值的取值范围范围.(2)(2)当当0a20a0,+2a0,得得a-,a-,所以所以,当当a-a-时时,f(x)f(x)在在 上存在单调递增区间上存在单调递增区间.2211xx 2a(x)2a24 ，2()3，22f()2a;39 2919192)3，(2)(2)令令f(x)=0,f(x)=0,得两根得两根所以所以f(x)f(x)在在(-,x(-,x1 1),(x),(x2 2,+),+)上单调递减上单调递减,在在(x(x1 1,x,x2 2)上单调递增上单调递增.当当0a20a2时时,有有x x1 11x1x2 24,4,所以所以f(x)f(x)在在1,4
28、1,4上的最大值上的最大值为为f(xf(x2 2).).又又f(4)-f(1)=-+6a0,f(4)-f(1)=-+6a0,即即f(4)f(1),f(4)0,m0,求求f(x)f(x)在在m,2mm,2m上的最大值上的最大值.(3)(3)试证明试证明:对对nNnN*,不等式不等式ln x1.xe1 n1 nln().nn【解析解析】(1)(1)函数函数f(x)f(x)的定义域是的定义域是(0,+).(0,+).由已知由已知f(x)=f(x)=令令f(x)=0f(x)=0得得,1-lnx=0,1-lnx=0,所以所以x=e.x=e.因为当因为当0 xe0 x0,f(x)=0,当当xexe时时,f
29、(x)=0,f(x)=0,所以函数所以函数f(x)f(x)在在(0,e(0,e上单调递增上单调递增,在在e,+)e,+)上单调递上单调递减减.21 ln xx，21 ln xx21 ln xx(2)(2)由由(1)(1)知函数知函数f(x)f(x)在在(0,e(0,e上单调递增上单调递增,在在e,+)e,+)上上单调递减单调递减,故当故当02me02me即即0m 0m 时时,f(x),f(x)在在m,2mm,2m上单调递增上单调递增,所以所以f(x)f(x)maxmax=f(2m)=f(2m)=当当meme时时,f(x),f(x)在在m,2mm,2m上单调递减上单调递减.所以所以f(x)f(x
30、)maxmax=f(m)=f(m)=e2ln2m1.2mln m1.m当当me2m,me2m,即即 mem1x1时时,x,x2 2+lnx x+lnx0),f(x)=x-(x0),所以当所以当a0a0时时,f(x),f(x)的单调递增区间为的单调递增区间为(0,+).(0,+).当当a0a0时时,f(x)=,f(x)=所以当所以当0 x 0 x 时时,f(x)0,f(x)x 时时,f(x)0.,f(x)0.ax2axa(xa)(xa)x.xxxaa所以当所以当a0a0时时,函数函数f(x)f(x)的单调递增区间为的单调递增区间为(,+),(,+),单调递减区间为单调递减区间为(0,).(0,)
31、.aa(2)(2)设设g(x)=xg(x)=x3 3-x-x2 2-lnx(x1),-lnx(x1),则则g(x)=2xg(x)=2x2 2-x-.-x-.因为当因为当x1x1时时,g(x)=,g(x)=所以所以g(x)g(x)在在(1,+)(1,+)上是增函数上是增函数,所以所以g(x)g(1)=0,g(x)g(1)=0,即即 x x3 3-x-x2 2-lnx0,-lnx0,所以所以 x x2 2+lnx x+lnx1x1时时,x,x2 2+lnx x+lnx0).f(x)=|ax-2|+blnx(x0).(1)(1)若若a=1,f(x)a=1,f(x)在在(0,+)(0,+)上是增函数上
32、是增函数,求求b b的取值范围的取值范围.(2)(2)若若a2,b=1,a2,b=1,求方程求方程f(x)=f(x)=在在(0,1(0,1上解的个数上解的个数.1x【解析解析】(1)f(x)=|x-2|+blnx(1)f(x)=|x-2|+blnx=当当0 x20 x2时时,f(x)=-x+2+blnx,f(x)=-x+2+blnx,f(x)=-1+.f(x)=-1+.由条件得由条件得-1+0-1+0恒成立恒成立,即即bxbx恒成立恒成立.所以所以b2.b2.x 2 bln x(0 x 2),x 2 bln x(x 2).bxbx当当x2x2时时,f(x)=x-2+blnx,f(x)=x-2+
33、blnx,f(x)=1+,f(x)=1+,由条件得由条件得1+01+0恒成立恒成立,即即b-xb-x恒成立恒成立.所以所以b-2.b-2.综合得综合得b b的取值范围是的取值范围是b|b2.b|b2.bxbx(2)(2)令令g(x)=|ax-2|+lnx-,g(x)=|ax-2|+lnx-,即即g(x)=g(x)=当当0 x 0 x 时时,g(x)=-ax+2+lnx-,g(x)=-ax+2+lnx-,g(x)=-a+g(x)=-a+因为因为0 x ,0 xg(x)即即g(x)0,g(x)0,所以所以g(x)g(x)在上是增加的在上是增加的.当当x x 时时,g(x)=ax-2+lnx-,g(
34、x)=ax-2+lnx-,g(x)=g(x)=1a.x22aaa(a 2)a0.244 a21x211a0.xx 所以所以g(x)g(x)在在 上是增加的上是增加的.又因为函数又因为函数g(x)g(x)在在x=x=处有意义处有意义,所以所以g(x)g(x)在在(0,+)(0,+)上是增加的上是增加的.因为因为 而而a2,a2,所以所以则则2()a，2a22 ag()lnaa2，2ln0a，2g()0.a因为因为a2,a2,所以所以g(1)=a-3.g(1)=a-3.当当a3a3时时,g(1)=a-30,g(1)=a-30,所以所以g(x)=0g(x)=0在在(0,1(0,1上解的个数为上解的个数为1.1.当当2a32a3时时,g(1)=a-30,g(1)=a-30,所以所以g(x)=0g(x)=0在在(0,1(0,1上无解上无解,即解的个数为即解的个数为0.0.综上当综上当2a32a3时时,f(x)=,f(x)=在在(0,1(0,1上解的个数为上解的个数为0;0;当当a3a3时时,f(x)=,f(x)=在在(0,1(0,1上有上有1 1个解个解.1x1x
