1、选修选修4-1 几何证明几何证明(选讲选讲)第第1节节 相似三角形的判定及有关性质相似三角形的判定及有关性质平行线等分线段定理平行线等分线段定理1了解平行线截割定理2会证明并应用直角三角形射影定理要点梳理1平行线截割定理及应用(1)平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段_，那么在其他直线上截得的线段_(2)平行线等分线段定理的推论经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必_经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线必_相等也相等平分第三边平分另一腰【考点自主回扣】(3)平行线分线段成比例定理及其推论三条平行线截两条直线，所得的对应线段_平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线
2、)所得的对应线段_成比例成比例2相似三角形的判定定理与性质定理(1)相似三角形的判定定理两角两边夹角三边(2)相似三角形的性质定理相似比相似比平方平方3直角三角形相似的判定定理与射影定理(1)直角三角形相似的判定定理有一个锐角两条直角边斜边斜边成比例(2)直角三角形的射影定理直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的_；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的_比例中项比例中项基础自测1给出下列命题：三角形相似不具有传递性；两组对应边成比例，一组对应边所对的角相等的两三角形相似；两个三角形相似，则对应线段都成比例；相似三角形的内切圆的半径之比等于相似比其中正确的是()AB C D正确，两个三角
3、形相似时，对应边、对应中线、高线、角平分线都成比例 正 确，由 相 似 三 角 形 的 定 义 知，B A C BAC，12，由直角三角形相似的判定方法知，RtADIRtADI，可知结论正确答案C2如图所示，ABCDEF，AFBEO，若AOODDF，BE14 cm，则BO等于()答案D答案B4在RtABC中，C90，CDAB于D，若BDAD13，则BCD_.5如图，ABEMDC，AEED，EFBC，EF12 cm，则BC的长为_ cm.考向一平行线截割定理及应用【考向互动探究】拓展提高(1)利用平行线分线段成比例定理来计算或证明，首先要观察平行线组，再确定所截直线，进而确定比例线段及比例式，同
4、时注意合比性质、等比性质的运用(2)平行线分线段成比例定理及推论是证明两条线段相等的重要依据，特别是在应用推论时，一定要明确哪一条线段平行于三角形的一边，是否过一边的中点考向二相似三角形的判定与性质例2(1)如图所示，D为ABC中BC边上一点，CADB，若AD5，AB9，BD6，则DC的长为_.拓展提高(1)求解线段长度问题要充分利用所求线段与已知线段长度之间的关系，化归到相应三角形中，通过构造相似三角形求解(2)由相似三角形构造成比例线段时，要注意边与边的对应，可以利用等角所对的边对应成比例构造等式，避免出错活学活用2(1)(2014陕西高考)如图，ABC中，BC6，以BC为直径的半圆分别交
5、AB，AC于点E，F，若AC2AE，则EF_.(2)将三角形纸片ABC按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B，折痕为EF.已知ABAC3，BC4，若以点B、F、C为顶点的三角形与ABC相似，则BF_.考向三直角三角形中的射影定理例3(2015重庆模拟)如图，在ABC中，ADBC于D，DEAB于E，DFAC于F.求证：AEABAFAC.思路点拨分别在ADB和ADC中应用射影定理可证证明因为ADBC，所以ADB为直角三角形又因为DEAB，由射影定理知，AD2AEAB.同理可得AD2AFAC，所以AEABAFAC.互动探究本题中“在ABC中”改为“在RtABC中，BAC90”，证明BDD
6、CAEAB.证明在RtABC中，ADBC，所以AD2BDDC.又由例题解析知AD2AEAB，所以BDDCAEAB.拓展提高(1)运用直角三角形中的射影定理时要注意大前提是在直角三角形中，要确定好直角边及其射影(2)在证明问题中要注意等积式与比例式的相互转化，同时注意射影定理的其他变式思想方法23分类讨论思想在相似三角形中的应用典例已知AD是ABC中BC边上的高，若AD2BDCD，则ABC的形状是_审题角度我们知道：在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上的射影的比例中项反之，因为三角形一边上的高可能在三角形外，因此，原定理的逆命题是不成立的，即题中的ABC不一定是直角三角形【考能感悟提升】
7、解析若点D在线段BC上，如图1所示，由AD2BDCD，可证ABDCAD，从而可得ABC是直角三角形若点D在线段BC的延长线上，如图2所示，则仍可证ABDCAD，但ABC是钝角三角形综上所述，ABC是直角三角形或钝角三角形答案直角三角形或钝角三角形方法点睛射影定理是直角三角形中的一个重要结论，其实质就是三角形的相似要注意对于直角三角形射影定理一定成立，但满足该结论的三角形不一定是直角三角形，所以要搞清楚定理中的条件和结论之间的关系，不能乱用思维升华【方法与技巧】1当证两个三角形相似，在已具备一角对应相等的条件时，往往先找是否有另一角对应相等，当此思路不通时，再找等角的两边对应成比例2从平行线等分
8、线段定理的推导到平行线分线段成比例定理的推导，注意定理推导过程从特殊到一般的思考方法类似地，相似直角三角形是从任意两个三角形相似判定定理获得的3几何证明的难度应严格控制，在解决同一问题的过程中，相似三角形(或全等三角形)的使用不宜超过两次，添置的辅助线不超过三条4相似三角形性质的应用可用来考察与相似三角形相关的元素，如两个三角形的高、周长、角平分线、中线、面积、外接圆的直径、内切圆的面积等【失误与防范】证明两个三角形相似的关键是根据判定定理找(证)两个三角形的边和角之间的数量关系有的证明起来比较简单方便，但有的找边角关系比较困难，这就要求我们必须提高读图、识图能力，添加必要的辅助线对计算问题要灵活使用有关定理，掌握相似三角形的性质定理谢谢观看！
