1、第二章 一元二次方程复习课件1.（1）一元二次方程的定义：只含有_个未知数，且未知数的最高次数为_的整式方程叫一元二次方程。（2）解一元二次方程的思路是_；（3）解一元二次方程的方法有_、_、_、_。知识要点知识要点一2降次直接开平方法因式分解法公式法配方法直接开平方法直接开平方法：把一元二次方程化为（：把一元二次方程化为（ax+bax+b）2 2=c=c（c c0 0）的形式，再利用平方根的定义）的形式，再利用平方根的定义解。解。因式分解法因式分解法：把方程化为（：把方程化为（ax+bax+b）（）（cx+dcx+d）=0=0的的形式，再变形为形式，再变形为ax+b=0ax+b=0或或cx+
2、d=0cx+d=0求解。求解。配方法配方法：把一般形式的方程化为（：把一般形式的方程化为（x+mx+m）2 2=n=n的形的形式，再用直接开平方法求解式，再用直接开平方法求解。公式法公式法：一元二次方程：一元二次方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0（a a0 0）当）当b b2 2-4ac-4ac0 0时，根是：时，根是：2 2-bb-4ac-bb-4acx=x=2a2a2.怎样利用b2-4ac判断方程ax2+bx+c=0（a0）的根的情况？当当b b2 2-4ac0-4ac0时，方程有两个时，方程有两个不相等不相等的实数根；的实数根；当当b b2 2-4ac=0-4ac=0时，方程
3、有两个时，方程有两个相等相等的实数根；的实数根；当当b b2 2-4ac0-4ac0时，方程时，方程没有没有实数根。实数根。本章我们学到一个最重要的数学思想：转化的思想，把二元转化为一元，把一般形式转化为(x+m)2=n的形式。也学到了一个重要的方法配方法。在运用配方时，一定要注意先把二次项系数化为1。配方时，应将方程两边同加一次项系数的绝对值一半的平方。【思考感悟】【思考感悟】专题训练题型一：一元二次方程的概念【点评】【点评】对于整式方程是一元二次方程的条件：未知数的最高次数为对于整式方程是一元二次方程的条件：未知数的最高次数为2 2，且二且二次项系数不为次项系数不为0 0。mm【例例1 1
4、】方方程程 m+2 x+3mx+1=0m+2 x+3mx+1=0是是关关于于x x的的一一元元二二次次方方程程，则则m=_m=_【分析】【分析】一元二次方程的三个要素：只含有一个未一元二次方程的三个要素：只含有一个未知数、未知数的最高次数为知数、未知数的最高次数为1 1，是整式方程是整式方程。mm+2 20 0依依题题意意，得得：,解解得得：mm=2 2.mm=2 2【解解】：【变式训练】已知关于x的一元二次方程(m-1)x2+2x+m2-1=0的一个解是0，求m的值。【解】：把x=0代入原方程得：m2-1=0，m=1，但m-10，m=-1.题型二：一元二次方程的解法【例2】用配方法解方程：2
5、x2+1=3x。2 22 22222222 22 21212方方程程化化为为：2x-3x=-12x-3x=-13131两两边边除除以以2 2，得得：x-x=-x-x=-22223331333313两两边边同同加加上上，得得：x-x+=-+x-x+=-+424244242431313131 x-=,x-=,x-=x-=41644416441 1x=1x=1【解解,=,=2 2】x x：【变式练习】选择适当的方法解方程：（1）x2+6x-11=0 22222 21212a=1,b=6,c=-11a=1,b=6,c=-11b-4ac=6-4 1-11=80b-4ac=6-4 1-11=80-bb-4
6、ac-680-64 5-bb-4ac-680-64 5x=x=2a2 122a2 12x=x=【解解】：-3+2 5,x=-3-2 5-3+2 5,x=-3-2 5 1【变式练习】选择适当的方法解方程：（2）2x2-8x+8=0【解解】：（2 2）方程化为：方程化为：x x2 2-4x+4=0-4x+4=0 x-2x-22 2=0=0 x x1 1=x=x2 2=2.=2.【变式练习】选择适当的方法解方程：(3)2(3x-2)2=12x-8【解解】方程化为：方程化为：(3x-2)(3x-2)2 2-2(3x-2)=0-2(3x-2)=0 (3x-2)(3x-2)-2=0 (3x-2)(3x-2
7、)-2=0 (3x-2)(3x-4)=0 (3x-2)(3x-4)=0 3x-2=03x-2=0或或3x-4=03x-4=024331212x=,x=x=,x=【点评】1.形如（x-k）=h（h0）或x=h（h0）方程可以用直接开平方法求解。2.千万记住：方程的两边有相同的含有未知数的因式的时候不能两边都除以这个因式，因为这样能把方程的一个根丢失了，要利用因式分解法求解。3.当我们不能利用上边的方法求解的时候就就可以用公式法或配方法求解，公式法和配方法是万能的。题型三：一元二次方程根的判别式【例3】关于x的方程(a5)x24x10有实数根，则a满足（）。A.a1 B.a1且a5C.a1且a5
8、D.a5【解解】：当当a=5a=5时，已经方程是：时，已经方程是：-4x-1=0-4x-1=0，显然这显然这个方程有实数解。个方程有实数解。当当a a5 5时，方程有实数解的条件是：时，方程有实数解的条件是：0 0，即：（即：（-4-4）2 2-4-4（a-5a-5）（-1-1）0 0，16+416+4（a-5a-5）0 0，4a-44a-40 0，a a1.1.综上，当综上，当a a1 1时，已知方程有实数解。时，已知方程有实数解。【分析】【分析】由于题中由于题中“关于关于x x的方程的方程”没有指明已知方程是一元一次方程还没有指明已知方程是一元一次方程还是一元二次方程是一元二次方程，因此因
9、此a-5a-5可以等于可以等于0 0，也可以不等于也可以不等于0 0，因此要分情况考虑。，因此要分情况考虑。【变式练习】已知关于x的一元二次方程：ax2+bx+1=0(a0)有两个相等的实数根，求 的值。【解】：ax2+bx+1=0（a0）有两个相等的实数根，b2-4a1=0，b2=4a。2 22222abab(a-2)+b-4(a-2)+b-42 22 22 22 22 22 22 22 22 2a ab ba ab ba ab bb b4 4a a=4 4(a a-2 2)+b b-4 4a a-4 4a a+4 4+b b-4 4a aa aa a解应用题解应用题一、增长率问题【例1】（
10、2013广东省）雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动。第一天收到捐款10000元，第三天收到捐款12100元。（1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；（2）按照（1）中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？【分析】【分析】第一天到第三天，实际上是两天的增长第一天到第三天，实际上是两天的增长，求每天平均增长率，可用，求每天平均增长率，可用a(1+x)a(1+x)2 2=b=b这个增长率这个增长率的模型求解的模型求解。【解】【解】：（1 1）设捐款增长率为设捐款增长率为x x，则，则：1000010000（1+x1+x）2 2=1
11、2100=12100，解这个方程，得解这个方程，得：x x1 1=0.1=10%=0.1=10%，x x2 2=-2.1=-2.1（不合题意，舍去）（不合题意，舍去）.答：捐款的增长率为答：捐款的增长率为10%10%。（2 2）1210012100（1+10%1+10%）=13310=13310（元）（元）答：按照（答：按照（1 1）中收到捐款的增长速度，第四天该单位）中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收到捐款能收到捐款1331013310元元。【变式训练】1.（2010年山东聊城）2009年我市实现国民生产总值为1376亿元，计划全市国民生产总值以后三年都以相同的增长率一实现，并且2011
12、年全市国民生产总值要达到1726亿元。（1）求全市国民生产总值的年平均增长率。（精确到1%）（2）2010年至2012年全市三年可实现国民生产总值共多少亿元？【解】：（1）设全市国民生产总值的年平均增长率为x，根据题意，得：1376(1+x)2=1726，(1+x)21.25，x1=0.1=10%,x2=-2.1（不合题意，舍去）.答：全市国民生产总值的年平均增长率约为10%。（2）1376(1+10%)+1726+1726(1+10%)=1513.6+1726+1898.65138（亿）答：2010年至2012年全市三年可实现国民生产总值约为5138亿元。二、面积问题【例2】（2013衢州）
13、如图所示，在长和宽分别是a、b的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形。（1）用a，b，x表示纸片剩余部分的面积；（2）当a=6，b=4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边为？【分析】（1）边长为x的正方形面积为x2，矩形面积减去4个小正方形的面积即可。（2）依据剪去部分的面积等于剩余部分的面积，列方程求出x的值即可。【解【解】（1 1）abab4x4x2 2；（2 2）依题意有：）依题意有：abab4x4x2 2=4x=4x2 2将将a=6a=6，b=4b=4，代入上式，得，代入上式，得x x2 2=3=3解得解得x x1 1=，x x2 2=（舍去）（舍去）。即正方即正
14、方边长为边长为 。333【变式训练】1.（2008湖北十堰)）如图，利用一面墙（墙的长度不超过45m），用80m长的篱笆围一个矩形场地。（1）怎样围才能使矩形场地的面积为750m2？（2）能否使所围矩形场地的面积为810m2，为什么？【解】：(1)设AD=xm，则AB=(80-2X)m依题意，得：x(80-2x)=750解这个方程，得：x1=25，x2=15(舍去).答：与墙垂直的一面长度为25m时，场地的面积为750m2。（2）假设能使所围矩形场地的面积为810m2，此时与墙垂直的一面长度为ym，依题意，得：y(80-2y)=810 化为：y2-40y+405=0，b2-4ac=(-40)2
15、-41405=-200，所以，此方程无解。因此不能使所围矩形场地的面积为810m2。2.（2009年益阳市）如图，ABC中，已知BAC45，ADBC于D，BD2，DC3，求AD的长。小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题。请按照小萍的思路，探究并解答下列问题：证明：由题意可得：ABDABE，ACDACF.DABEABDACFAC，又BAC45，EAF90.又ADBCEADB90FADC90.又AEAD，AFADAEAF.四边形AEGF是正方形.(1)证明四边形AEGF是正方形；(1)分别以AB、AC为对称轴，画出ABD、ACD的轴对称图形，D点的对称点为E、F，延长E
16、B、FC相交于G点，(1)证明四边形AEGF是正方形；(2)【解解】：设设ADADx x，则，则AEAEEGEGGFGFx x.BDBD2 2，DCDC3 3BEBE2 2，CFCF3 3BGBGx x2 2，CGCGx x3.3.在在RtRtBGCBGC中，中，BGBG2 2CGCG2 2BCBC2 2(x x2)2)2 2(x x3)3)2 25 52 2.化简得，化简得，x x2 25 5x x6 60 0 解得解得x x1 16 6，x x2 21 1（舍）（舍）所以所以ADADx x6.6.(2)设AD=x，利用勾股定理，建立关于x的方程模型，求出x的值。1若a为方程式(x )2=1
17、00的一根，b为方程式(y4)2=17的一根，且a、b都是正数，则ab之值为何？（）A.5 B.6 C.D.10 【解解】：依题意，得：依题意，得：(a a )2 2=100=100，(b b 4)4)2 2=17=17，又又a a，b b都是正数，所以，可得：都是正数，所以，可得：，所以，所以a-b=6a-b=6。课堂检测17831717a=10+17,b=4+17a=10+17,b=4+172.解方程（1）5x(5x-2)=-2；（2）x(x-2)=4-2x。【解】【解】：（1 1）方程化为：）方程化为：25x25x2 2-10 x+1=1-10 x+1=1，(5x-1)(5x-1)2 2
18、=1=1 5x-1=5x-1=1 1（2 2）方程化为：方程化为：x(x-2)+2(x-2)=0,x(x-2)+2(x-2)=0,(x-2)(x+2)=0,(x-2)(x+2)=0,x-2=0 x-2=0或或x+2=0 x+2=0，x x1 1=2,x=2,x2 2=-2.=-2.12122 2x=,x=0 x=,x=05 53.关于x的方程(a-6)x2-8x+6=0有实数根，则整数a的最大值是（）。A6B7 C8 D9【解解】：因为因为a=6a=6时，方程就是时，方程就是-8x+6=0-8x+6=0，显然这显然这个方程有实数根。个方程有实数根。当当a a6 6时，因为方程有实数根，所以时，因为方程有实数根，所以0 0，即：（即：（-8-8）2 2-4-4（a-6a-6）6=64-24(a-6)6=64-24(a-6)0 0，解得：解得：，则整数则整数a a的最大值为的最大值为8 8。故选。故选c c。2 2a a8 83 3C谢 谢
