1、3.6 3.6 位似位似知识点知识点位似图形的定义位似图形的定义12.位似位似与相似的与相似的关系：关系：(1)相似相似仅要求两个图形形状完全仅要求两个图形形状完全相同相同，而，而位似是在相似的基础上要求对应顶点的连线所位似是在相似的基础上要求对应顶点的连线所在直线在直线相交于相交于一点一点；(2)如果如果两个图形是位似图形，那两个图形是位似图形，那么这两个图形么这两个图形必是必是相似图形相似图形，但是相似的两个图形不一，但是相似的两个图形不一定是位似图形，因此，位似定是位似图形，因此，位似是相似的特殊情况是相似的特殊情况.特别提醒特别提醒两两个位似图形的个位似图形的位似位似中心一般中心一般只
2、有一只有一个个.位似位似中心可能中心可能位于两位于两个位似图形个位似图形的同的同侧，也可能侧，也可能位于两位于两个位似图形个位似图形之间之间，还可能位于，还可能位于两个两个位似图形的位似图形的内部内部或或边上或某边上或某一个一个顶点处顶点处.常见常见位似位似图形的图形的构成构成如图如图3.6-1 所示所示.判断如图判断如图3.6-2 所示的各图中的两个图形是否是所示的各图中的两个图形是否是位似位似图形，如果是，请指出其位似中心图形，如果是，请指出其位似中心.例1解题秘方解题秘方：紧扣紧扣“位似图形的定义位似图形的定义”进行判断进行判断.解：解：(1)是是位似图形，位似中心为点位似图形，位似中心
3、为点A；(2)不是不是位似图形；位似图形；(3)是是位似图形，位似中心为点位似图形，位似中心为点O.感悟新知感悟新知1-1.视力表用来测试视力表用来测试一个人一个人的视力，如图是的视力，如图是视视力表力表的一部分，图中的一部分，图中的类似的类似“E”的图形均的图形均是是相似相似图形，下面不是图形，下面不是位似图形位似图形的的是是()A.和和 B.和和C.和和 D.和和B知识点知识点位似图形的性质位似图形的性质2位似图形具有的性质：位似图形具有的性质：(1)位似位似图形每组对应顶点的连线图形每组对应顶点的连线必过位似中心必过位似中心.(2)位似位似图形任意一组对应点到位似中心的距离之比图形任意一
4、组对应点到位似中心的距离之比等于等于位似比位似比.(3)位似位似图形的对应线段图形的对应线段平行平行(或或在一条直线在一条直线上上)，且对，且对应应线段之比相等线段之比相等.(4)两两个图形位似，则两个图形必相似，其周长比个图形位似，则两个图形必相似，其周长比等于等于位似位似比，面积比等于位似比的平方比，面积比等于位似比的平方.特别特别解读：解读：(1)我们我们利用位似图形的性质，可以作出利用位似图形的性质，可以作出已已知知图形的位似图形，把一个图形放大或缩小，同时也图形的位似图形，把一个图形放大或缩小，同时也可以可以利用利用位似图形的性质确定位似中心，求位似比及位似图形的性质确定位似中心，求
5、位似比及图形的周长图形的周长与面积与面积等等.(2)利用利用位似图形的性质求两个位似图形的位似比，位似图形的性质求两个位似图形的位似比，先先要要确定位似的顺序，再确定位似比确定位似的顺序，再确定位似比.示例图示例图如图如图3.6-3，ABC与与DEF位似位似.相等相等母母题题 教材教材 P100 习题习题 T1找出找出如图如图3.6-4 所示的位似所示的位似图形的位似中心图形的位似中心.解题秘方：解题秘方：紧扣紧扣“位似图形每组对应顶点的连线位似图形每组对应顶点的连线必过必过位似中心位似中心”进行查找进行查找.例2 解：如图解：如图3.6-5，点，点P1，P2，P3即即为所求的位似中心为所求的
6、位似中心.感悟新知感悟新知2-1.模拟模拟东营东营 如图如图，在，在平面直角平面直角坐标系中坐标系中，ABC 与与 ODE 是是位似位似图形，其中点图形，其中点 A(2，1)，则则位似中心的位似中心的坐标是坐标是 _(4，2)感悟新知感悟新知 期中期中重庆沙坪坝区重庆沙坪坝区 如图如图 3.6-6，ABC 与与 DEF 是是位似位似图形，点图形，点 O 为位似中心，已知为位似中心，已知 AB DE 1 2，ABC 的的面积为面积为 4，则，则 DEF 的面积的面积为为()A 6 B 8 C 12 D 16例3感悟新知感悟新知解题秘方解题秘方：紧扣位似图形位似比的性质进行计算紧扣位似图形位似比的
7、性质进行计算.答案：答案：D感悟新知感悟新知3-1.中考中考重庆重庆 如图如图，ABC与与 DEF 位似位似，点，点 O 为位似中心，为位似中心，相似比相似比为为 2 3若若 ABC的的周长周长为为 4，则，则 DEF的的周长是周长是()A 4 B 6C 9 D 16B知识点知识点位似图形的画法位似图形的画法3画位似图形的步骤：画位似图形的步骤：(1)确定确定位似位似中心中心(位似位似中心可以在图形外部，也中心可以在图形外部，也可以在可以在图图形内部，还可以在图形的边上或在某一个顶点形内部，还可以在图形的边上或在某一个顶点处处)；(2)分别分别连接位似中心和能代表原图的关键点，并延长；连接位似
8、中心和能代表原图的关键点，并延长；(3)根据根据位似比，确定所画位似图形的关键点的位置；位似比，确定所画位似图形的关键点的位置；(4)顺次顺次连接所作各点，得到放大或缩小的图形连接所作各点，得到放大或缩小的图形.注意注意：画位似图形时，要弄清位似比，即分清是已知：画位似图形时，要弄清位似比，即分清是已知图形与图形与新图形的位似比，还是新图形与已知图新图形的位似比，还是新图形与已知图形的位似比形的位似比.特别提醒特别提醒1.位似位似中心的选取中心的选取一般考虑一般考虑使画图方便且使画图方便且符合符合要求要求.2.以以一点为位似中心一点为位似中心画位似画位似图形时，符合图形时，符合要求要求的图形的
9、图形往往不往往不唯一唯一，一般情况下，一般情况下，同一同一个位似中心的个位似中心的两侧两侧各有各有一个符合要求一个符合要求的图形的图形.如如图图3.6-7，已知已知四边形四边形ABCD，将四边形，将四边形ABCD以点以点 A为为位似中心位似中心放大放大，使放大后的，使放大后的图形与图形与原图形是位似原图形是位似图形，且放大后的图形与原图图形，且放大后的图形与原图形对应形对应线段的比为线段的比为2 1.例4 解题秘方解题秘方：紧扣紧扣“位似图形的定义和性质位似图形的定义和性质”，按画位，按画位似似图形图形的步骤的步骤作图作图(画法画法不不唯一唯一).解解：当原图与新图形：当原图与新图形 在点在点
10、 A 同侧时，如图同侧时，如图 3.6-8，四边形，四边形AB1C1D1 就是所求作的图形；当原图形与新图形在点就是所求作的图形；当原图形与新图形在点 A 异异侧时侧时，如，如图图 3.6-9，四边形四边形AB1C1D1就是就是所求作的图形所求作的图形.感悟新知感悟新知4-1.如图如图，在，在 8 8 的网的网 格格 中，每中，每 个个 小小 正正 方形方形 的的 顶顶 点叫点叫 做做 格点格点，OAB 的顶的顶点都在点都在格点格点上，请在网格中画上，请在网格中画出出 OAB 的一个位似的一个位似图形图形，使两个图形以，使两个图形以 O 为位为位似中心，且所画图似中心，且所画图形与形与 OAB
11、 的位似比的位似比为为2 1解：如图，分别延长解：如图，分别延长AO，BO到到A，B，使使OAOAOBOB21，则则OAB即为所求即为所求知知4 4讲讲知识点知识点平面直角坐标系中的位似平面直角坐标系中的位似41.位似变换位似变换时对应点的坐标变化规律：时对应点的坐标变化规律：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，位似位似比为比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或或k.即若即若原图形的某一顶点坐标原图形的某一顶点坐标为为(x0，y0)，则其位似图形对应则其位似图形对应顶点顶点的坐标的坐标为为
12、(kx0，ky0)或或(kx0，ky0).注意：这里的位似比指的是新图形与原图形的对应边的比注意：这里的位似比指的是新图形与原图形的对应边的比.知知4 4讲讲2.位似变换位似变换与平移、轴对称、旋转三种变换的联系和区别：与平移、轴对称、旋转三种变换的联系和区别：(1)位似位似、平移、轴对称、旋转都是图形、平移、轴对称、旋转都是图形变换的变换的基本形基本形式，它们的式，它们的本质区别在于本质区别在于：平移、轴对称：平移、轴对称、旋转、旋转三三种图形变换是全等变换，而位似变换是种图形变换是全等变换，而位似变换是相似变换相似变换.知知4 4讲讲(2)在在直角坐标系中，把一个图形进行平移、轴对称直角坐
13、标系中，把一个图形进行平移、轴对称、旋转、旋转或位似变换，其对应点的坐标都有各自的变化规律：或位似变换，其对应点的坐标都有各自的变化规律：平移变换是横坐标或纵坐标平移变换是横坐标或纵坐标加上加上(或减去或减去)平移平移的距离的距离；在轴对称变换中，以在轴对称变换中，以x轴轴为对称轴，则对应点的为对称轴，则对应点的横坐横坐标相等标相等，纵坐标互为相反数；以，纵坐标互为相反数；以y轴轴为对称轴，则纵为对称轴，则纵坐标相等坐标相等，横坐标，横坐标互为相反数互为相反数；知知4 4讲讲在旋转变换中，一个图形绕原点旋转在旋转变换中，一个图形绕原点旋转180，则旋转，则旋转前前后后两个图形对应点的横坐标与纵
14、坐标都分别互为相反数；两个图形对应点的横坐标与纵坐标都分别互为相反数；在位似变换中，当以原点为位似中心时，变换后与在位似变换中，当以原点为位似中心时，变换后与变换变换前前两个图形对应点的横坐标之比的绝对值、纵坐标之比两个图形对应点的横坐标之比的绝对值、纵坐标之比的的绝对值绝对值都等于变换后的图形与变换前的图形的位似比都等于变换后的图形与变换前的图形的位似比.知知4 4讲讲特别提醒特别提醒1.在平面直角坐标系中，以原点为位似中心时，使位似图在平面直角坐标系中，以原点为位似中心时，使位似图形与原图形的位似比为形与原图形的位似比为k，那么当位似，那么当位似图形与图形与原图形在原图形在原点的原点的同侧
15、同侧时，原图形上的时，原图形上的点点(x，y)对应对应的的位似图形位似图形上上的点的坐标的点的坐标为为(kx，ky)；当当位似图形位似图形与原图形在与原图形在原点的原点的两侧时，原图形两侧时，原图形上的点上的点(x，y)对应的位似对应的位似图形上的点的图形上的点的坐标为坐标为(kx，ky).2.当当k1时时，图形图形扩大扩大为原来的为原来的k倍倍；当当0k1时时，图形，图形缩缩小为小为原来的原来的k.母母题题 教材教材 P99 例例如如图图3.6-10，已知已知O是是坐标原点坐标原点，B，C两两点的点的坐标坐标分别分别为为(3，1)，(2，1).(1)画出以点画出以点O为位似中心，在为位似中心
16、，在y轴的轴的左侧左侧将将OBC放大为原来的放大为原来的2 倍倍(即新图即新图与与原图原图的位似比为的位似比为2 1)的位似图形的位似图形OBC；(2)分别写出分别写出B，C两点的对应点两点的对应点B，C的坐标的坐标；(3)如果如果OBC内部一点内部一点M的坐标为的坐标为(x，y)，试写出点，试写出点M的对应点的对应点M的坐标的坐标.例5解题秘方：解题秘方：先根据位似中心及位似比作图，再利先根据位似中心及位似比作图，再利用用位似变换位似变换时对应点的坐标变化规律时对应点的坐标变化规律求对应点的坐标求对应点的坐标.(1)画画出以点出以点O为为位似中心，在位似中心，在y轴轴的左侧将的左侧将OBC放
17、大放大为为原来的原来的2 倍倍(即即新图与原图的位似比为新图与原图的位似比为2 1)的的位似位似图形图形OBC；解解：如：如图图3.6-10，延长延长BO到点到点B，使使OB2OB.延长延长CO到点到点C，使使OC2OC，连接，连接BC，则则OBC就是就是要画的图形要画的图形.(2)分别分别写出写出B，C两两点的对应点点的对应点B，C的坐标；的坐标；(3)如果如果OBC内部内部一点一点M的的坐标坐标为为(x，y)，试试写出写出点点M的的对应点对应点M的坐标的坐标.解：点解：点B，C的坐标分别的坐标分别为为(6，2)，(4，2).点点M(x，y)的的对应点对应点M的坐标的坐标为为(2x，2y).感悟新知感悟新知5-1.中考中考 营口营口 如图，在边长为如图，在边长为 1 的小的小正方形正方形组成的网格中组成的网格中，建立，建立平面直角平面直角坐标系坐标系，ABC 的三个顶点的三个顶点均在格均在格点点(网格线网格线的的交点交点)上上，以原点，以原点 O 为位为位似似中心中心，画，画A1B1C1，使，使它与它与 ABC 的相似比为的相似比为2，则，则点点 B 的对应点的对应点 B1 的坐标是的坐标是_ .(4，2)或或(4，2)位位 似似位似图形位似图形画法画法坐标规律坐标规律定义定义性质性质
