1、4.4 4.4 解解直角三角形的应用直角三角形的应用知识点知识点解直角三角形在实际中的应用解直角三角形在实际中的应用11.利用利用解直角三角形解决实际问题的一般步骤：解直角三角形解决实际问题的一般步骤：(1)画画出平面图形，将实际问题抽象为数学问题，出平面图形，将实际问题抽象为数学问题，转化转化为为解直角三角形的问题；解直角三角形的问题；(2)根据根据已知条件的特点，灵活选用锐角三角函数等已知条件的特点，灵活选用锐角三角函数等知知识识解直角三角形；解直角三角形；(3)得到得到数学问题的答案；数学问题的答案；(4)得到得到实际问题的答案实际问题的答案.2.解决解决实际问题时，常见的基本图形及相应
2、的关系式如下实际问题时，常见的基本图形及相应的关系式如下表所示：表所示：图形图形关系式关系式图形图形关系式关系式ACBCtan，AGACBEBCDCBDAD(tan tan)续表续表图形图形关系式关系式图形图形关系式关系式ABDEAEtan，CDCEDEAE(tantan)续表续表图形图形关系式关系式图形图形关系式关系式特别提醒特别提醒1.当实际问题中当实际问题中涉及的涉及的图形可以直接图形可以直接转化转化为为直角三角形时直角三角形时，可利用解可利用解直角三角形直角三角形的知识的知识直接求解直接求解.2.在解在解直角三角形时直角三角形时，若相关的角，若相关的角不是不是直角三角形的直角三角形的内
3、角内角，应利用应利用平行线的平行线的性质或互余、性质或互余、互补互补的角的性质将的角的性质将其转化其转化为为直角三角形的直角三角形的内角，再利用内角，再利用解直角三角形解直角三角形的的知识求解知识求解.3.问题中有两个或问题中有两个或两个两个以上的以上的直角三角形直角三角形，当其中一个，当其中一个直直角三角形角三角形不能不能求解时求解时，可考虑分别，可考虑分别由两由两个直角三角形个直角三角形找找出出含有相同未知含有相同未知元素元素的关系式，的关系式，运用方程运用方程求解求解.如图如图4.4-1 所示，某居民楼所示，某居民楼高高20 m，窗户朝南，窗户朝南，该该楼楼内一楼住户的窗台离地面距离内一
4、楼住户的窗台离地面距离CM为为2 m，窗户，窗户CD高高1.8 m.现计划现计划在居民楼在居民楼的正南方的正南方30 m处处新建一居新建一居民楼民楼.当正午当正午时刻太阳时刻太阳光线与地面成光线与地面成30角时，要角时，要使居民楼使居民楼的影子不影响的影子不影响居民楼居民楼所有所有住户住户的采光，新建居民楼的采光，新建居民楼最高最高只只能能建多少米？建多少米？例1解题秘方解题秘方：解本题的关键是将实际中的相关数据解本题的关键是将实际中的相关数据，通过建立通过建立数学模型，归结到直角三角形中，数学模型，归结到直角三角形中，再用再用三角函数三角函数(正切正切)求解求解.解：设正午时，太阳光线正好照
5、在居民楼解：设正午时，太阳光线正好照在居民楼一楼住户的一楼住户的窗窗台处台处，此时新建居民楼，此时新建居民楼高高x m，如图，如图4.4-1 所示，所示，过点过点C作作CFl于于F，则则 EFC=90.感悟新知感悟新知1-1.如图，某居民如图，某居民小区有小区有一栋朝向为正南一栋朝向为正南方向的方向的居民居民楼该居民楼楼该居民楼的一的一楼是高楼是高 6 米的小区米的小区超市超市，超市以，超市以上是居民上是居民住房住房，在该，在该 楼楼 前面前面 20 米处米处要盖一栋高要盖一栋高 25 米米的新楼的新楼已知上海地区已知上海地区冬至冬至正午的阳光与正午的阳光与水水平线夹平线夹 角为角为 29 (
6、参考数据参考数据：sin29 0.48；cos 29 0.87；tan29 0.55).感悟新知感悟新知(1)冬至正午时，冬至正午时，超市以上超市以上的居民住房采光的居民住房采光是否是否有影响，有影响，为什么？为什么？解解：冬至：冬至正午时，超市以上的居民住房采光有影响正午时，超市以上的居民住房采光有影响理由：如图，延长光线交理由：如图，延长光线交CD于点于点F，过过点点F作作FGAB，垂足为点，垂足为点G.则则AGF90，AFG29.由题意得，由题意得，GFBC20米米，GBFC.感悟新知感悟新知感悟新知感悟新知(2)若要使得超市若要使得超市全部采光全部采光不受影响，两楼不受影响，两楼应至少
7、应至少相相距多少米距多少米？(结果保留整数结果保留整数)例2解题秘方解题秘方：在建立的非直角三角形在建立的非直角三角形模型中模型中，用，用“化斜为直法化斜为直法”解含公共直角边的解含公共直角边的直角三角形直角三角形.计算结果必须根据计算结果必须根据题目题目要求进行保留要求进行保留.方法点拨方法点拨解直角三角形的实际解直角三角形的实际应用问题应用问题的求解方法：的求解方法：1.根据题目中的已知根据题目中的已知条件条件，将实际问题，将实际问题抽象为抽象为解直角三角解直角三角形的形的数学数学问题，问题，画出画出平面几何平面几何图形，弄清图形，弄清已知条件已知条件中中各量之间各量之间的关系的关系；2.
8、若条件中有若条件中有直角三角形直角三角形，则直接选择，则直接选择合适的合适的三角函数关三角函数关系系求解即求解即可；若条件中没有直角三角形，一般可；若条件中没有直角三角形，一般需添加需添加辅辅助线构造助线构造直角三角形直角三角形，再选用，再选用合适的合适的三角函数关系求解三角函数关系求解.感悟新知感悟新知2-1.二模二模滁州滁州如图如图，在，在修建公路修建公路 AD 时，时，需要需要挖掘一挖掘一段隧道段隧道 BC，已知已知点点 A，B，C，D 在同在同一条一条直线上，直线上，CE AD，ABE=143，BE=1 500 米米.感悟新知感悟新知(1)求隧道两端求隧道两端 B，C之间之间的距离的距
9、离.(精确到个位精确到个位，参考数据参考数据：sin37 0.60，cos 37 0.80，tan 37 0.75)感悟新知感悟新知(2)原计划单向开挖，原计划单向开挖，但为了但为了加快施工进度，从加快施工进度，从 B，C 两端同时相向开挖，两端同时相向开挖，这样这样每天的工作效率每天的工作效率提高了提高了20%，结果提前，结果提前 2 天完工天完工问原计划单向问原计划单向开挖每天开挖每天挖多少米？挖多少米？知识点知识点解直角三角形在解仰角和俯角问题中的应用解直角三角形在解仰角和俯角问题中的应用21.仰角仰角和俯角的定义：和俯角的定义：在视线与水平线所成的角中，在视线与水平线所成的角中，视线在
10、水平线上方视线在水平线上方的角的角叫作仰角叫作仰角，视线在水平线下方的角视线在水平线下方的角叫作俯角叫作俯角.特别提醒特别提醒仰角仰角和俯角是和俯角是视线视线相对于相对于水平线而言水平线而言的，不同的，不同位置位置的仰角和的仰角和俯角是俯角是不同的，不同的，可巧记可巧记为为“上仰下俯上仰下俯”.实际实际问题中问题中遇到仰角遇到仰角或俯角时或俯角时，要，要放在放在直角三角形直角三角形中或转化到中或转化到直角三角形直角三角形中，中，注意注意确定水平线确定水平线.解直角三角形在解仰角和俯角问题中的应用解直角三角形在解仰角和俯角问题中的应用2.示图示图(如如图图4.4-3)：感悟新知感悟新知 中考中考
11、长沙长沙 2023 年年 5 月月 30 日日 9 点点 31 分，分，“神舟神舟十十六号六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射，载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射，成功把景海鹏成功把景海鹏、桂海潮、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入到中、朱杨柱三名航天员送入到中国空间站如图国空间站如图 4.4-4 所示所示，在发射，在发射的的过程中，飞船从地面过程中，飞船从地面 O 处发射处发射，当当飞船到达飞船到达 A 点时，点时，从位于从位于地面地面 C 处的雷达站测得处的雷达站测得 AC 的距离的距离是是例3感悟新知感悟新知8 km，仰角为，仰角为 30；10 s 后飞船到达后飞船到达 B 处，此
12、时测处，此时测得仰角为得仰角为 45(1)求点求点 A 离地面的高度离地面的高度 AO；(2)求飞船从求飞船从 A 处到处到 B 处的平均速度处的平均速度(结果精确到结果精确到 0.1 km/s，参考数据：，参考数据：3 1.73)感悟新知感悟新知解题秘方解题秘方：结合题目中的结合题目中的“仰角仰角”将实际问题转将实际问题转化为解化为解直角三角形直角三角形求解求解.感悟新知感悟新知(1)求点求点 A 离地面的高度离地面的高度 AO；感悟新知感悟新知感悟新知感悟新知感悟新知感悟新知3-1.中考中考张家界张家界“游张家界游张家界山水，逛山水，逛七七十二奇十二奇 楼楼”成成 为为 今今 年年 旅旅
13、游新游新 特特 色某色某 数数 学学 兴兴 趣小组趣小组用无人机用无人机 测测量量奇楼奇楼 AB 的高度，测量的高度，测量方案如图方案如图：先先 将将 无无 人人 机垂直机垂直 上升至上升至 距距 水平水平 地面地面 225m 的的 P 点，点，测得测得 奇奇 楼顶端楼顶端 A 的的 俯俯 角为角为 15，再将无人机沿，再将无人机沿感悟新知感悟新知水平方向飞行水平方向飞行 200m 到达点到达点 Q，测得奇楼底端测得奇楼底端 B 的俯的俯角为角为 45，求奇楼求奇楼 AB 的高度的高度(结果精确结果精确到到 1m，参，参考考数据数据：sin 1 5 0.26，cos 15 0.97，tan15
14、 0.27)解：如图，延长解：如图，延长BA交交PQ的的延长线延长线于点于点C，则，则ACQ90.由题意得，由题意得，BC225 m，PQ200 m，感悟新知感悟新知知识点知识点解直角三角形在解坡角、坡度问题中的应用解直角三角形在解坡角、坡度问题中的应用31.坡坡角与角与坡度坡度(坡比坡比)的的定义：定义：(1)坡坡角：坡面与水平面的夹角，如图角：坡面与水平面的夹角，如图4.4-5 中的中的.解直角三角形在解坡角、坡度问题中的应用解直角三角形在解坡角、坡度问题中的应用解直角三角形在解坡角、坡度问题中的应用解直角三角形在解坡角、坡度问题中的应用特别提醒特别提醒1.坡度是两条线段坡度是两条线段长的
15、长的比值，不是度数比值，不是度数.2.表示坡度时，表示坡度时，通常把通常把比的前项取作比的前项取作1，后项，后项可以是小数可以是小数.3.物体的倾斜程度物体的倾斜程度通常通常可用物体的可用物体的坡度表示坡度表示，坡度越大，坡度越大，坡坡角越大，坡面角越大，坡面越陡越陡；反之，坡度越小；反之，坡度越小，坡，坡角越小，角越小，坡面越缓坡面越缓.感悟新知感悟新知暑假期间，暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山小明与小亮相约到某旅游风景区登山 需需要登顶要登顶 600 m 高的山峰，如图高的山峰，如图 4.4-6 所示，由山底所示，由山底A 处先步行处先步行 300 m 到达到达 B 处，再由处，
16、再由 B 处乘坐登山缆车到处乘坐登山缆车到达山顶达山顶D 处处.已知点已知点 A，B，D，E，F 在同一平面在同一平面内，山坡内，山坡 AB 的坡角为的坡角为30，缆车行驶路线，缆车行驶路线 BD 与水与水平面的夹角为平面的夹角为 53(换乘登山缆车的时间忽略不计换乘登山缆车的时间忽略不计)例4 感悟新知感悟新知(1)求求登山缆车上升的高度登山缆车上升的高度 DE；(2)若步行速度为若步行速度为 30m/min，登山缆车的速度为登山缆车的速度为60m/min，求求 从山底从山底 A 处到达山顶处到达山顶 D 处大约需要多少分钟处大约需要多少分钟.(结果结果精确到精确到 0.1min，参考数据：
17、，参考数据：sin53 0.80，cos53 0.60，tan53 1.33)感悟新知感悟新知解题秘方：解题秘方：将分散的条件集中到将分散的条件集中到 BDE，通过解，通过解直角三角形直角三角形求解求解.感悟新知感悟新知(1)求登山缆车上升的高度求登山缆车上升的高度 DE；解解：如图如图 4.4-6，过，过 点点 B 作作 BM AF 于于 点点 M，则则 AMB 90.由题意可知，由题意可知，A 30，DBE 53，DF 600 m，AB 300 m.感悟新知感悟新知感悟新知感悟新知(2)若步行速度为若步行速度为 30m/min，登山缆车的速度为，登山缆车的速度为60m/min，求，求 从山
18、底从山底 A 处到达山顶处到达山顶 D 处大约需要处大约需要多少分钟多少分钟.(结果精确到结果精确到 0.1min，参考数据：，参考数据：sin53 0.80，cos53 0.60，tan53 1.33)感悟新知感悟新知感悟新知感悟新知5米米感悟新知感悟新知知知4 4讲讲知识点知识点解直角三角形在解方向角问题中的应用解直角三角形在解方向角问题中的应用4名称名称 定义定义 举例举例方向方向角角方向角是以观察方向角是以观察点为点为中心中心(方向角方向角的的顶点顶点)，以正北以正北或正南方向为始或正南方向为始边，旋转到观察边，旋转到观察目标的方向线所目标的方向线所成的锐角成的锐角.目标方向线目标方向
19、线 OA，OB，OC 的方向角可以的方向角可以分别分别表示表示为北偏东为北偏东 30，南南偏东偏东 45，北偏西，北偏西 45，其其中南偏东中南偏东 45 习惯习惯上上又又叫作东南方向，北偏西叫作东南方向，北偏西 45习惯上又叫作西北方向习惯上又叫作西北方向.知知4 4讲讲感悟新知感悟新知特别提醒特别提醒1.方向角通常以南北方向角通常以南北方向线为主，分方向线为主，分南偏东南偏东(或或西西)和北偏东和北偏东(或西或西)，观察点不同，所得，观察点不同，所得的的方方向角向角也也不同，但不同，但各个各个观察点观察点的南北方向线是的南北方向线是分别分别互相平行的互相平行的.2.解决实际问题时，可解决实
20、际问题时，可利用利用正南、正北、正东、正南、正北、正东、正西正西方向线构造方向线构造直角三角形直角三角形来求解来求解.感悟新知感悟新知如图如图 4.4-7 所所 示，灯示，灯 塔塔 A 周周 围围 9 海海 里内里内有暗有暗礁礁 一一渔船由东向西航行至渔船由东向西航行至 B 处，测得灯塔处，测得灯塔 A 在北在北偏西偏西58方向上，继续航行方向上，继续航行 6 海里后到达海里后到达 C 处，测得处，测得灯塔灯塔 A 在在西北方向西北方向上如果渔船不改变航线继续向西上如果渔船不改变航线继续向西航行，有没有触礁的危险航行，有没有触礁的危险？(参考参考数据：数据：sin 32 0.530，cos 3
21、2 0.848，tan 32 0.625，sin 58 0.848，cos 58 0.530，tan 58 1.600)例5感悟新知感悟新知解题秘方解题秘方：根据题意根据题意作作 AD BC，构造直角构造直角 三角形三角形，设设AD=x 海里，根据等腰直海里，根据等腰直角三角形的性质用角三角形的性质用 x 表示出表示出 CD，根据根据正切的定义用正切的定义用 x 表示出表示出 BD，结合图形，结合图形列方程求解列方程求解感悟新知感悟新知解解：如图：如图 4.4-8，过点，过点 A 作作 AD BC 于点于点 D，则，则 ADB 90.设设 AD x 海里海里.由题意得，由题意得，ABD 32，
22、ACD 45，BC 6 海里，海里，在在 Rt ACD 中，中，ACD CAD 45.AD CD x 海里海里.BD BC+CD(6+x)海里海里.感悟新知感悟新知感悟新知感悟新知方法总结方法总结：求解是否触礁或是否受台风或噪声影响等问求解是否触礁或是否受台风或噪声影响等问题的方法：一般都是求出暗礁题的方法：一般都是求出暗礁中心中心到航线的到航线的距离，或城市距离，或城市中心中心(目标中心目标中心)到到台风移动路台风移动路径的距离，或学校径的距离，或学校到噪声到噪声源移动路径的距离，源移动路径的距离，将这些距离与暗礁半径或台风影响半径或噪将这些距离与暗礁半径或台风影响半径或噪声声影响半径影响半径比较大小，距离小于或等于半径比较大小，距离小于或等于半径有影响，距离大于半径没有影响有影响，距离大于半径没有影响.感悟新知感悟新知感悟新知感悟新知感悟新知感悟新知解直角三角形的应用解直角三角形的应用解直角解直角三角形三角形的应用的应用类型类型一般步骤一般步骤一般测量问题一般测量问题仰角和俯角问题仰角和俯角问题坡角和坡度问题坡角和坡度问题方向角问题方向角问题
