1、2021-2022学年广东省深圳市南山外国语学校高二（上）期中数学试卷一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）：1（5分）下列说法正确的是（）A任一空间向量与它的相反向量都不相等B将空间向量所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆C模长为3的空间向量大于模长为1的空间向量D不相等的两个空间向量的模可能相等2（5分）直线l的倾斜角等于直线3x-y=0倾斜角的2倍，则直线l的斜率是（）A233B3C23D-33（5分）已知点A（2，3，2），B（1，k，5），O为坐标原点，若向量OAAB，则实数k（）A4B143C29
2、3D44（5分）过直线2xy+40与x+y+50的交点，且垂直于直线x2y0的直线方程是（）A2x+y80B2xy80C2x+y+80D2xy+805（5分）两平行直线l1：x+2y20和l2：ax+4y+10之间的距离为（）A355B52C3510D56（5分）已知圆C的圆心与点P（2，1）关于直线yx1对称，直线3x+4y+160与圆C相交于A、B两点，且|AB|6，则圆C的方程为（）A（x2）2+（y+3）213B（x+2）2+（y3）218C（x+2）2+（y3）213D（x2）2+（y+3）2187（5分）点M为圆C：（x+2）2+（y+1）24上任意一点直线（3+1）x+（2+1）
3、y5+2过定点P，则|MP|的最大值为（）A13B13+2C23D23+28（5分）如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCDA1B1C1D1，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60，下列说法中正确的是（）AAC16BBD平面ACC1C向量CB1与AA1的夹角是120DBD1与AC1所成角的余弦值为66二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）（多选）9（5分）下列说法错误的是（）A平面内所有的直线方程都可以用斜截式来表示B直线ykx+b与y轴的交点到原点的距离为|b
4、|C在x轴、y轴上的截距分别为a，b的直线方程为xa+yb=1D两条直线中，斜率越大，则倾斜角越大（多选）10（5分）已知圆O1：x2+（ya1）21和圆O2：x2+y29有四条公切线，则实数a的取值可以是（）A4B4C6D6（多选）11（5分）如图，设E，F分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱DC上两点，且AB2，EF1，其中正确的命题为（）A三棱锥D1B1EF的体积为定值B异面直线D1B1与EF所成的角为60C直线D1B1与平面B1EF所成的角为30D二面角D1EFB1的平面角为45（多选）12（5分）过直线x+y4（0x4）上一点P作圆O：x2+y24的两条切线，切点分别为A，B，直
5、线AB与x，y轴分别交于点M，N，则（）A直线OP为线段AB的中垂线B四边形PAOB面积的最小值为4C|AB|的最小值为2D|OM|+|ON|的最小值为4三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）：13（5分）纵截距为4，与两坐标轴围成的三角形面积为24的直线的一般式方程为 14（5分）点(1，12)在圆x2+y22y+m2m10外，则实数m的取值范围是 15（5分）如图所示，在三棱柱中，已知ABCD和AABB为是矩形，平面AABB平面ABCD若AAAD2，则直线AB到面DAC的距离为 16（5分）已知实数x、y满足x2+（y2）22，则=|x+y|x2+y2的取值范围是 四、解答题
6、（本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）：17已知空间中三点A（0，1，2），B（2，3，4），C（1，0，1）（1）求ABC的面积；（2）若点D（x，3，4）在A，B，C三点确定的平面内，求x的值18如图，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，BAC90点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PAAC4，AB2（1）求证：MN平面BDE；（2）求二面角CEMN的余弦值19已知A（2，3），直线l：xy+10（1）直线l关于点A的对称直线l1的方程；（2）若光线沿直线2xy30照射到直线l上后反射，求反射光线所在的直线l2的方程20如图，已知
7、多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，ACB120，A1A4，B1B1，ACBCC1C2（1）证明：AC1平面A1B1C1；（2）求直线AB1与平面ACC1所成的角的余弦值21已知圆C：x2+y24y+30（1）求过点（3，1）与圆C相切的切线方程；（2）过原点的动直线l与圆C相交于不同的两点A，B，求线段AB的中点M的轨迹方程22已知圆M经过两点A（1，1），B（2，0）且圆心M在直线yx1上（1）求圆M的方程；（2）设E，F是圆M上异于原点O的两点，直线OE，OF的斜率分别为k1，k2，且k1k23，求证：直线EF经过一定点，并求出该定点的坐标2021-202
8、2学年广东省深圳市南山外国语学校高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）：1（5分）下列说法正确的是（）A任一空间向量与它的相反向量都不相等B将空间向量所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆C模长为3的空间向量大于模长为1的空间向量D不相等的两个空间向量的模可能相等【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，零向量与其相反向量是相等的，A错误；对于B，将空间向量所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个球，B错误；对于C，向量不能比较大小，C错误；对于D，不相等的两
9、个空间向量可能是方向不同，但模相等，D正确；故选：D2（5分）直线l的倾斜角等于直线3x-y=0倾斜角的2倍，则直线l的斜率是（）A233B3C23D-3【解答】解：直线3x-y=0 的斜率为3，故它的倾斜角为60，而直线l的倾斜角等于直线3x-y=0 的倾斜角的2倍，则直线l的倾斜角为120，故直线l的斜率是tan120=-3，故选：D3（5分）已知点A（2，3，2），B（1，k，5），O为坐标原点，若向量OAAB，则实数k（）A4B143C293D4【解答】解：点A（2，3，2），B（1，k，5），O为坐标原点，若向量OAAB，则OAAB=OA（OB-OA）=OAOB-OA2=-2+3k1
10、0（4+9+4）0，求得k=293，故选：C4（5分）过直线2xy+40与x+y+50的交点，且垂直于直线x2y0的直线方程是（）A2x+y80B2xy80C2x+y+80D2xy+80【解答】解：联立2x-y+4=0x+y+5=0，得x3，y2，故所求直线方程为y+22（x+3），即2x+y+80故选：C5（5分）两平行直线l1：x+2y20和l2：ax+4y+10之间的距离为（）A355B52C3510D5【解答】解：两直线l1：x+2y20和l2：ax+4y+10平行，1a=24-2，解得a2，直线l1可化为2x+4y40，故2x+4y40和2x+4y+10的距离为d=|-4-1|22+
11、42=52故选：B6（5分）已知圆C的圆心与点P（2，1）关于直线yx1对称，直线3x+4y+160与圆C相交于A、B两点，且|AB|6，则圆C的方程为（）A（x2）2+（y+3）213B（x+2）2+（y3）218C（x+2）2+（y3）213D（x2）2+（y+3）218【解答】解：圆C的圆心与点P（2，1）关于直线yx1对称，设C（m，n），则PC的中点在yx1上，且直线PC与直线yx1垂直，则m-22-1=n+12n-1m+2=-1，解得m2，n3，所以C（2，3），圆心C（2，3）到直线3x+4y+160的距离为d，则d=|6-12+16|5=2，设圆C的半径为r，则|AB|=2r2
12、-d2=2r2-4=6，解得r=13，所以圆C的方程为（x2）2+（y+3）213故选：A7（5分）点M为圆C：（x+2）2+（y+1）24上任意一点直线（3+1）x+（2+1）y5+2过定点P，则|MP|的最大值为（）A13B13+2C23D23+2【解答】解：（3+1）x+（2+1）y5+2整理为：（3x+2y5）+x+y20，令3x+2y-5=0x+y-2=0，解得：x=1y=1，所以定点P坐标为P（1，1），代入圆的方程中，（1+2）2+（1+1）24，所以P（1，1）在圆外，因为点M为圆C：（x+2）2+（y+1）24上任意一点，设圆C的半径为r2，所以|MP|的最大值应该为|PC|
13、+r，由两点间距离公式：PC=(-2-1)2+(-1-1)2=13，所以|MP|的最大值为13+2故选：B8（5分）如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCDA1B1C1D1，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60，下列说法中正确的是（）AAC16BBD平面ACC1C向量CB1与AA1的夹角是120DBD1与AC1所成角的余弦值为66【解答】解：平行六面体ABCDA1B1C1D1，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60，故|AC1|2=|AB+BC+CC1|2=|AB|2+|BC|2+|CC1|2+2ABBC+2ABCC1+2BCCC1=62+6
14、2+62+26612+26612+26612=216，故|AC1|=66，故A错误；对于B：根据角平分线定理，点A1在平面ABCD上的射影在AC上，由于四边形ABCD为菱形，故ACBD，所以BD平面AA1C1C，故B正确；对于C：由于BCB1为等边三角形，所以向量CB1与AA1的夹角是60，故C错误；对于D：利用BD1=BC+CC1+C1D1，则|BD1|2=|BC+CC1+C1D1|2，整理得：|BD1|=62，由于AC1BD1=(AA1+AD-AB)(AB+AD+AA1)=72，所以cosBD1，AC1=BD1AC1|BD1|AC1|=726266=13=33，故D错误故选：B二、多项选择
15、题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）（多选）9（5分）下列说法错误的是（）A平面内所有的直线方程都可以用斜截式来表示B直线ykx+b与y轴的交点到原点的距离为|b|C在x轴、y轴上的截距分别为a，b的直线方程为xa+yb=1D两条直线中，斜率越大，则倾斜角越大【解答】解：对于A：斜率存在的直线的方程可以用斜截式表示，故A错误；对于B：直线ykx+b与y轴的交点到原点的距离为|b|，故B正确；对于C：在x轴、y轴上的截距分别为a，b且不为0的直线方程为xa+yb=1，故C错误；对于D：当倾斜角为45
16、和135时，斜率为1和1，不满足斜率越大，则倾斜角越大，故D错误；故选：ACD（多选）10（5分）已知圆O1：x2+（ya1）21和圆O2：x2+y29有四条公切线，则实数a的取值可以是（）A4B4C6D6【解答】解：圆C1：x2+（ya1）21与圆C2：x2+y29有四条公共切线，两圆相离，两圆的圆心距d|a+1|，则有|a+1|1+34，可得a5或a3结合选项可知，实数a的取值可以是6和4，6故选：ACD（多选）11（5分）如图，设E，F分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱DC上两点，且AB2，EF1，其中正确的命题为（）A三棱锥D1B1EF的体积为定值B异面直线D1B1与EF所成的角
17、为60C直线D1B1与平面B1EF所成的角为30D二面角D1EFB1的平面角为45【解答】解：对于A，三棱锥D1B1EF的体积为V=13SD1EFB1C1=1312221=23，为定值，所以A正确；对于B，EFD1C1，D1B1和D1C1所成的角是45，异面直线D1B1所成的角45，故B错误，对于C，连接AD1交A1D于M，连接B1M，由正方体性质知A1B1AD1，A1DAD1，而A1B1A1DA1，因此，AD1平面A1B1CD，因此D1B1M是直线B1D1与平面A1B1CD所成的角，在直角三角形MB1D1中，D1M=12D1B1，所以D1B1M30，故C正确对于D，二面角D1EFB1的平面角
18、为平面D1C1CD与平面A1B1CD所成角，它的平面角为C1CB145，故D正确故选：ACD（多选）12（5分）过直线x+y4（0x4）上一点P作圆O：x2+y24的两条切线，切点分别为A，B，直线AB与x，y轴分别交于点M，N，则（）A直线OP为线段AB的中垂线B四边形PAOB面积的最小值为4C|AB|的最小值为2D|OM|+|ON|的最小值为4【解答】解：对于A，由切线长定理可知，PAPB，又OAOB，直线OP为线段AB的中垂线，故A正确；对于B，连接PO，由题可得RtPAORtPBO，四边形PAOB的面积S212PAOA2PA2PO2-4，又PO的最小值为点O到直线x+y4的距离，即22
19、，四边形PAOB面积最小为28-4=4，故B正确；对于C，设P（a，b），则以线段OP为直径的圆的方程为x（xa）+y（yb）0，与圆O的方程x+y4相减，得ax+by4，即直线AB的方程为ax+by4，又点P在直线x+y4上，a+b4，即b4a，代入直线AB中得a（xy）+4y40，即a（xy）+4y40，令xy，则4y40，得x1，y1，直线AB过定点C（1，1），则OC=2，故AB的最小值为24-2=22，故C错误；对D，在ax+by4中，令x0，得y=4b，令y0，得x=4a，即M（4a，0），N（0，4b），|OM|+|ON|=4a+4b，P（a，b）在x+y4（0x4）上，a+b4
20、且0a4，则4a+4b=（a+b）（4a+4b）2+ba+ab2+2baab=4，当且仅当ab2时取等号，|OM|+|ON|的最小值为4，故D正确故选：ABD三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）：13（5分）纵截距为4，与两坐标轴围成的三角形面积为24的直线的一般式方程为 x+3y+120或x3y120【解答】解：由题意可设直线方程为xa+y-4=1（a0），则124|a|=24，即a12，所以直线方程为x12-y4=1或-x12-y4=1，所以直线的一般式方程x3y120或x+3y+120故答案为：x+3y+120或x3y12014（5分）点(1，12)在圆x2+y22y+m
21、2m10外，则实数m的取值范围是 （1，-12）（32，2）【解答】解：由（2）24（m2m1）0，得m2m20，解得1m2点(1，12)在圆x2+y22y+m2m10外，12+（12）2212+m2m10，即4m24m30，解得m-12或m32综上，实数m的取值范围是（1，-12）（32，2）故答案为：（1，-12）（32，2）15（5分）如图所示，在三棱柱中，已知ABCD和AABB为是矩形，平面AABB平面ABCD若AAAD2，则直线AB到面DAC的距离为 2【解答】解：因为几何体是三棱柱，所以AB面DAC，直线AB到面DAC的距离为点A到面DAC的距离，距离设为h，所以VAADCVAAD
22、C，ABCD和AABB为是矩形，AAAB，平面AABB平面ABCDAB，平面AABB平面ABCD，所以，AA平面ABCD，AAAD2，所以：13122AB2=131222ABh，解得，h=2，故答案为：216（5分）已知实数x、y满足x2+（y2）22，则=|x+y|x2+y2的取值范围是 0，2【解答】解：P（x，y）为圆x2+（y2）22上任意一点，则P到直线x+y0的距离PM=|x+y|2，即|x+y|=2PM，则=|x+y|x2+y2=2PMPO=2sinPOM，设圆x2+（y2）22与直线ykx相切，则21+k2=2，解得k1POM的最小值为0，最大值为90，0sinPOM1，则0，
23、2，故答案为：0，2四、解答题（本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）：17已知空间中三点A（0，1，2），B（2，3，4），C（1，0，1）（1）求ABC的面积；（2）若点D（x，3，4）在A，B，C三点确定的平面内，求x的值【解答】解：（1）A（0，1，2），B（2，3，4），C（1，0，1），AB=(1，2，1)，AC=(-2，2，-2)，ABAC=0，ABAC，|AB|=12+22+12=6，|AC|=(-2)2+22+(-2)2=23，ABC的面积S=12|AB|AC|=12623=32（2）由点D（x，3，4），可得AD=(x，4，2)，点D（x，3，
24、4）在A，B，C三点确定的平面内，存在实数，使得AD=AB+AC，即-2=x2+2=4-2=2，解得x2，0，0，故x的值为218如图，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，BAC90点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PAAC4，AB2（1）求证：MN平面BDE；（2）求二面角CEMN的余弦值【解答】证明：（1）取AB的中点F，连结MF，NF，MFBD，FNACDE，BDDED，平面BDE平面FMN，MN平面FMN，MN平面FMN解：（2）如图，建立空间直角坐标系，则C（0，4，0），M（0，0，1），N（1，2，0），E（0，2，2），MN=（1，2，1），ME=
25、（0，2，1），设平面MEN的法向量n=（x，y，z），则nME=x+2y-z=0nMN=2y+z=0，取z2，得n=（4，1，2），取面CEM的一个法向量m=（1，0，0），|cosm，n|=|mn|m|n|=42121，二面角CEMN的平面角为锐角，二面角CEMN的余弦值为4212119已知A（2，3），直线l：xy+10（1）直线l关于点A的对称直线l1的方程；（2）若光线沿直线2xy30照射到直线l上后反射，求反射光线所在的直线l2的方程【解答】解：（1）设直线l1上任意一点的坐标为（x，y），则（x，y）关于点A（2，3）的对称点为（4x，6y）在直线l上，所以4x（6y）+10，即
26、xy110，所以直线l1的方程为xy110；（2）联立2x-y-3=0x-y+1=0，解得x4，y5，所求直线过点（4，5），取直线2xy30上的一点为（0，3），设（0，3）关于直线l的对称点为（a，b），则b+3a=-1a2-b-32+1=0，解得a4，b1，所以所求直线过点（4，5）和（4，1），反射光线所在的直线l2的方程为y-1=5-14-(-4)(x+4)，即x2y+6020如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，ACB120，A1A4，B1B1，ACBCC1C2（1）证明：AC1平面A1B1C1；（2）求直线AB1与平面ACC1所成的角的余弦
27、值【解答】（1）证明：以A为坐标原点，AB，AA1所在直线分别为y，z轴，在平面ABC内作AxAB，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），C1（1，3，2），A1（0，0，4），B1（0，23，1），AC1=（1，3，2），A1B1=（0，23，3），A1C1=（1，3，2），AC1A1B1=323+2(-3)=0，即AC1A1B1，AC1A1C1=11+33+2(-2)=0，即AC1A1C1，又A1B1A1C1A1，AC1平面A1B1C1；（2）解：由（1）可知，AB1=（0，23，1），AC=（1，3，0），AC1=（1，3，2），设平面ACC1的法向量为n=（x，y，z），则
28、nAC=x+3y=0nAC1=x+3y+2z=0，令y1，得n=（-3，1，0），设直线AB1与平面ACC1所成的角为，则sin|cosn，AB1|nAB1|n|AB1|=23213=3913，cos=1-sin2=13013故直线AB1与平面ACC1所成的角的余弦值为1301321已知圆C：x2+y24y+30（1）求过点（3，1）与圆C相切的切线方程；（2）过原点的动直线l与圆C相交于不同的两点A，B，求线段AB的中点M的轨迹方程【解答】解：由已知圆C：x2+（y2）21，圆心（0，2），半径为1，当过点（3，1）的直线斜率不存在，即直线为x3时，此时直线与圆不相切；当过点（3，1）的直线
29、斜率存在时，设直线为yk（x3）+1，即kxy3k+10，所以|-2-3k+1|k2+1=1，解得k0或k=-34，故直线方程为y1或y=-34(x-3)+1，即y1或y=-34x+134；（2）当直线斜率存在时，设直线：ykx，A（x1，y1），B（x2，y2），中点M（x0，y0），联立y=kxx2+y2-4y+3=0，所以有（1+k2）x24kx+30，则16k212（1+k2）0，解得k-3或k3，所以x1+x2=4k1+k2，则y1+y2=k(x1+x2)=4k21+k2=41k2+1(3，4)，所以x0=x1+x22=2k1+k2y0=y1+y22=2k21+k2y0=kx0，x0
30、2+y222y00，y0（32，2）当直线斜率不存在时，线段AB中点（0，2），符合x02+y02-2y0=0，故线段AB的中点M的轨迹方程x2+y2-2y=0，y(32，222已知圆M经过两点A（1，1），B（2，0）且圆心M在直线yx1上（1）求圆M的方程；（2）设E，F是圆M上异于原点O的两点，直线OE，OF的斜率分别为k1，k2，且k1k23，求证：直线EF经过一定点，并求出该定点的坐标【解答】（1）解：圆M经过两点A（1，1），B（2，0）且圆心M在直线yx1上，所以设圆心M（a，a1），半径为r，所以|MA|MB|r，即(a-1)2+a2=(a-2)2+(a-1)2=r，解方程得a
31、1，r1，即圆心M（1，0），所以圆M的方程为（x1）2+y21（2）证明：当直线EF的斜率不存在时，设方程为xm，0m21，则E(m，1-(m-1)2)，F(m，-1-(m-1)2)，所以k1=1-(m-1)2m，k2=-1-(m-1)2m，所以k1k2=1-(m-1)2m(-1-(m-1)2m)03，不满足条件，所以直线EF的斜率存在，不妨设方程为ykx+b，联立方程(x-1)2+y2=1y=kx+b得（1+k2）x2+（2kb2）x+b20，所以（2kb2）24（1+k2）b248kb4b20，设E（x1，y1），F（x2，y2），则x1+x2=2-2kb1+k2，x1x2=b21+k2，所以y1y2=(kx1+b)(kx2+b)=k2x1x2+kb(x1+x2)+b2，所以k1=y1x1，k2=y2x2，因为k1k23，即y1y2x1x2=3，所以k2x1x2+kb(x1+x2)+b2x1x2=3，代入整理得kb，所以直线ykx+bk（x+1），即直线过点（1，0）所以直线EF经过一定点，该定点的坐标为（1，0）第20页（共20页）
