1、 函数解题思路方法总结：函数解题思路方法总结： 求二次函数的图象与求二次函数的图象与x x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶 点式；点式； 根据图象的位置判断二次函数根据图象的位置判断二次函数 axax +bx+c+bx+c=0=0 中中a,b,c a,b,c的符号， 或由二次函数 的符号， 或由二次函数 中中a,b,c a,b,c的符号判断图象的位置，要数形结合； 的符号判断图象的位置，要数形结合； 二次函数的图象关于对称轴对
2、称，可利用这一性质，求和已知一点对称的二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的 点坐标，或已知与点坐标，或已知与x x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. . 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式 axax +bx+c+bx+ca a0 0本身 本身就就 是所含字母是所含字母x x的二次函数；下面以的二次函数；下面以a a 0 0时为例，揭示二次函数、二次三项式 时为例，揭示二次函数、二次三项式 和一元二次方程之间的内在联系：和一元二次方程之间的内在联系： 动点问题
3、题型方法归纳总结动点问题题型方法归纳总结 动态几何特点动态几何特点-问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好 一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形 的性质、图形的特殊位置。 ）的性质、图形的特殊位置。 ） 动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直 角三角形、角三角形、 相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或相似三角形、平行四边形、梯形
4、、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。其三角函数、线段或面积的最值。 下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。 二、二、 抛物线上动点抛物线上动点 5、 （湖北十堰市）如图， 已知抛物线3 2 bxaxy（a0）与x轴交于点 A(1，0)和 点 B (3，0)，与 y 轴交于点 C (1) 求抛物线的解析式； (2) 设抛物线的对称轴与x轴交于点 M ，问在对称轴上是否存在点 P，使CMP 为等腰三 角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 (3) 如图，若点 E 为第二象限抛物线上
5、一动点，连接 BE、CE，求四边形 BOCE 面积的 最大值，并求此时 E 点的坐标 注意：第（注意：第（2 2）问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点）问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点 P P 坐坐标标-C C 为为 顶点时，以顶点时，以 C C 为圆心为圆心 CMCM 为半径画弧，与对称轴交点即为所求点为半径画弧，与对称轴交点即为所求点 P P，M M 为顶点时，以为顶点时，以 M M 为为 圆心圆心 MCMC 为半径画弧，与对称轴交点即为所求点为半径画弧，与对称轴交点即为所求点 P P，P P 为顶点时，线段为顶点时，线段 MCMC 的垂直平分线与的垂直平分
6、线与 对称轴交点即为所求点对称轴交点即为所求点 P P。 第（第（3 3）问方法一，先写出面积函数关系式，再求最大值（涉及二次函数最值） ；）问方法一，先写出面积函数关系式，再求最大值（涉及二次函数最值） ； 方方 法二，先求与法二，先求与 BCBC 平行且与抛物线相切点的坐标（涉及简单二元二次方程组） ，再求面积。平行且与抛物线相切点的坐标（涉及简单二元二次方程组） ，再求面积。 07 08 09 动点个数 两个 一个 两个 问题背景 特殊菱形两边上移动 特殊直角梯形三边 上移动 抛物线中特殊直角梯形底 边上移动 考查难点 探究相似三角形 探究三角形面积函 数关系式 探究等腰三角形 考 点
7、菱形性质 特殊角三角函数 求直线、抛物线解析式 相似三角形 不等式 求直线解析式 四边形面积的表 示 动三角形面积函 数矩形性质 求抛物线顶点坐标 探究平行四边形 探究动三角形面积是定 值 探究等腰三角形存在性 特 点 菱形是含 60的特殊菱形； AOB 是底角为 30的等腰三 角形。 一个动点速度是参数字母。 探究相似三角形时， 按对应角 不同分类讨论； 先画图， 再探究。 通过相似三角形过度， 转化相 似比得出方程。 利用 a、t 范围，运用不等式 求出 a、t 的值。 观察图形构造特 征适当割补表示面 积 动点按到拐点时 间分段分类 画出矩形必备条 件的图形探究其存 在性 直角梯形是特殊
8、的（一底 角是 45） 点动带动线动 线动中的特殊性（两个交 点 D、E 是定点；动线段 PF 长度是定值，PF=OA） 通过相似三角形过度，转 化相似比得出方程。 探究等腰三角形时，先画 图，再探究（按边相等分类 讨论） 共同点：共同点： 探究存在性问题时，先画出图形，再根据图形性质探究答案。 二次函数的动态问题（动点） 1.如图，已知抛物线 1 C与坐标轴的交点依次是( 4 0)A ，( 2 0)B ，(0 8)E， （1）求抛物线 1 C关于原点对称的抛物线 2 C的解析式； （2）设抛物线 1 C的顶点为M，抛物线 2 C与x轴分别交 于CD，两点（点C在点D的左侧） ，顶点为N，四边
9、形 MDNA的面积为S若点A，点D同时以每秒 1 个单位 的速度沿水平方向分别向右、 向左运动； 与此同时， 点M， 点N同时以每秒 2 个单位的速度沿坚直方向分别向下、 向 上运动，直到点A与点D重合为止求出四边形MDNA 的面积S与运动时间t之间的关系式， 并写出自变量t的取 值范围； （3）当t为何值时，四边形MDNA的面积S有最大值， 并求出此最大值； （4） 在运动过程中， 四边形MDNA能否形成矩形？若能， 求出此时t的值；若不能，请说明理由 解 （1）点( 40)A ，点( 20)B ，点(08)E，关于原点的对称点分别为(4 0)D ，(2 0)C， (08)F， 特殊四边形为
10、背景； 点动带线动得出动三角形； 探究动三角形问题（相似、等腰三角形、面积函数关系式） ； 求直线、抛物线解析式； 设抛物线 2 C的解析式是 2 (0)yaxbxc a， 则 1640 420 8 abc abc c ， ， 解得 1 6 8 a b c ， ， 所以所求抛物线的解析式是 2 68yxx （2）由（1）可计算得点( 31)(31)MN， ， 过点N作NHAD，垂足为H 当运动到时刻t时，28 2ADODt ，1 2NHt 根据中心对称的性质OAOD OMON，所以四边形MDNA是平行四边形 所以2 ADN SS 所以，四边形MDNA的面积 2 (82 )(1 2 )4148S
11、tttt 因为运动至点A与点D重合为止，据题意可知04t 所以，所求关系式是 2 4148Stt ，t的取值范围是04t （3） 781 4 44 St ， （04t ） 所以 7 4 t 时，S有最大值 81 4 提示：也可用顶点坐标公式来求 （4）在运动过程中四边形MDNA能形成矩形 由（2）知四边形MDNA是平行四边形，对角线是ADMN，所以当ADMN时四边形 MDNA是矩形 所以ODON所以 2222 ODONOHNH 所以 22 420tt解之得 12 6262tt，（舍） 所以在运动过程中四边形MDNA可以形成矩形，此时62t 点评本题以二次函数为背景，结合动态问题、存在性问题、最
12、值问题，是一道较传统的压 轴题，能力要求较高。 2. （06 福建龙岩卷）如图，已知抛物线 2 3 4 yxbxc 与坐标轴交于A B C， ，三点， 点A的横坐标为1， 过点(0 3)C，的直线 3 3 4 yx t 与x轴交于点Q， 点P是线段BC上 的一个动点，PHOB于点H若5PBt，且01t （1）确定bc，的值：_bc，； （2）写出点BQP， ，的坐标（其中QP，用含t的式子表示） ： (_ _)(_ _)(_ _)BQP，； （3）依点P的变化，是否存在t的值，使PQB为等腰三角形？若存在，求出所有t的值； 若不存在，说明理由 解 （1） 9 4 b 3c （2）(4 0)B，
13、 (4 0)Qt， (44 3 )Pt t， （3）存在t的值，有以下三种情况 当PQPB时 PHOB，则GHHB 4 444ttt 1 3 t 当PBQB时 得4 45tt 4 9 t 当PQQB时，如图 解法一：过Q作QDBP，又PQQB 则 5 22 BP BDt 又BDQBOC y C A O Q H B P x C O P Q D B BDBQ BOBC 5 44 2 45 t t 32 57 t 解法二：作RtOBC斜边中线OE 则 5 22 BC OEBEBE， 此时OEBPQB BEOB BQPB 5 4 2 445tt 32 57 t 解法三：在RtPHQ中有 222 QHP
14、HPQ 222 (84)(3 )(44 )ttt 2 57320tt 32 0 57 tt ，（舍去） 又01t 当 1 3 t 或 4 9 或 32 57 时，PQB为等腰三角形 解法四： 数学往往有两个思考方向：代数和几何，有时可以独立思考，有 时需要综合运用。 代数讨论：计算出PQB 三边长度，均用 t 表示，再讨论分析 RtPHQ 中用勾股定理计算 PQ 长度，而 PB、BQ 长度都可以直 接直接用 t 表示，进行分组讨论即可计算。 点评此题综合性较强，涉及函数、相似性等代数、几何知识，1、2 小题不难，第 3 小题 是比较常规的关于等腰三角形的分类讨论， 需要注意的是在进行讨论并且得
15、出结论后应当检 验，在本题中若求出的t值与题目中的01t 矛盾，应舍去 3.如图 1，已知直线 1 2 yx 与抛物线 2 1 6 4 yx 交于AB，两点 （1）求AB，两点的坐标； （2）求线段AB的垂直平分线的解析式； （3）如图 2，取与线段AB等长的一根橡皮筋，端点分别固定在AB，两处用铅笔拉着这 C O P Q E B C O P Q H B 根橡皮筋使笔尖P在直线AB上方的抛物线上移动，动点P将与AB，构成无数个三角形， 这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在， 求出最大面积， 并指出此时P点 的坐标；如果不存在，请简要说明理由 解 （1）解：依题意得 2 1 6 4
16、 1 2 yx yx 解之得 12 12 64 32 xx yy ( 63)( 4 2 )AB， （2）作AB的垂直平分线交x轴，y轴于CD，两点，交AB于M（如图 1） 由（1）可知：3 52 5OAOB 5 5AB 15 22 OMABOB 过B作BEx轴，E为垂足 由BEOOCM，得： 5 4 OCOM OC OBOE ， 同理： 555 00 242 ODCD ， ， 设CD的解析式为(0)ykxb k 5 20 4 5 5 2 2 kkb b b y x O y x O P A 图 2 图 1 B B A y x O 图 1 D M A C B 第 26 题 AB的垂直平分线的解析式
17、为： 5 2 2 yx （3）若存在点P使APB的面积最大，则点P在与直线AB平行且和抛物线只有一个交 点的直线 1 2 yxm 上，并设该直线与x轴，y轴交于GH，两点（如图 2） 2 1 2 1 6 4 yxm yx 2 11 60 42 xxm 抛物线与直线只有一个交点， 2 11 4(6)0 24 m ， 2523 1 44 mP ， 在直线 125 24 GHyx ：中， 2525 00 24 GH ， ， 25 5 4 GH 设O到GH的距离为d， 11 22 125 512525 24224 5 5 2 GH dOG OH d d ABGH ， P到AB的距离等于O到GH的距离d
18、 另解：过 P 做 PCy 轴，PC 交 AB 于 C，当 PC 最大时PBA 在 AB 边上的高 h 最大（h 与 PC 夹角固定） ，则 SPBA最大 问题转化为求 PC 最大值，设 P（x, ）,C （x, ）,从而可以表示 PC 长度，进行极值求取。 y x O P A 图 2 H G B 最后，以 PC 为底边，分别计算 SPBC和 SPAC即可。 点评这是一道涉及二次函数、方程、几何知识的综合压轴题，有一定的能力要求，第 3 小题是一个最值问题，解此类题时需数形结合方可较轻松的解决问题。 4.如图，正方形ABCD的顶点A B，的坐标分别为 0108 4， ，顶点CD，在第一象 限点
19、P从点A出发，沿正方形按逆时针方向匀速运动，同时，点Q从点4 0E，出发，沿 x轴正方向以相同速度运动当点P到达点C时，PQ，两点同时停止运动，设运动的时 间为t秒 （1）求正方形ABCD的边长 （2）当点P在AB边上运动时，OPQ的面积S（平方单位）与时间t（秒）之间的函数 图象为抛物线的一部分（如图所示） ，求PQ，两点的运动速度 （3）求（2）中面积S（平方单位）与时间t（秒）的函数关系式及面积S取最大值时点P 的坐标 （4）若点PQ，保持（2）中的速度不变，则点P沿着AB边运动时，OPQ的大小随着 时间t的增大而增大；沿着BC边运动时，OPQ的大小随着时间t的增大而减小当点P 沿着这两
20、边运动时，使90OPQ 的点P有 个 （抛物线 2 0yaxbxc a的顶点坐标是 2 4 24 bacb aa ， 解 （1）作BFy轴于F 01084AB， ， 86FBFA， 10AB 图 y D A C P B O E Q x 图 O 10 t 20 28 s （2）由图可知，点P从点A运动到点B用了 10 秒 又1010 10 1AB， PQ ，两点的运动速度均为每秒 1 个单位 （3）方法一：作PGy轴于G，则PGBF GAAP FAAB ，即 610 GAt 3 5 GAt 3 10 5 OGt 4OQt， 113 410 225 SOQ OGtt 即 2 319 20 105
21、Stt 19 19 5 323 2 10 b a ，且 19 010 3 ， 当 19 3 t 时，S有最大值 此时 476331 10 51555 GPtOGt， 点P的坐标为 76 31 155 ， （8 分） 方法二：当5t 时， 163 79 22 OGOQSOG OQ， 设所求函数关系式为 2 20Satbt 抛物线过点 63 10 285 2 ， ， ， 100102028 63 25520. 2 ab ab ， 3 10 19 . 5 a b ， 2 319 20 105 Stt 19 19 5 323 2 10 b a ，且 19 010 3 ， 当 19 3 t 时，S有最大
22、值 此时 7631 155 GPOG， 点P的坐标为 76 31 155 ， （4）2 点评本题主要考查函数性质的简单运用和几何知识， 是近年来较为流行的试题， 解题的关 键在于结合题目的要求动中取静，相信解决这种问题不会非常难。 5. 如图，RtABC中，90B，30CAB它的顶点A的坐标为(10 0)，顶点 B的坐标为(5 5 3)，10AB，点P从点A出发，沿ABC的方向匀速运动，同 时点Q从点(0 2)D ，出发，沿y轴正方向以相同速度运动，当点P到达点C时，两点同时停 止运动，设运动的时间为t秒 （1）求BAO的度数 （2）当点P在AB上运动时，OPQ的面积S（平方单位）与时间t（秒
23、）之间的函数图 象为抛物线的一部分， （如图） ，求点P的运动速度 （3）求（2）中面积S与时间t之间的函数关系式及面积S取最大值时点P的坐标 （4）如果点PQ，保持（2）中的速度不变，那么点P沿AB边运动时，OPQ的大小随 着时间t的增大而增大；沿着BC边运动时，OPQ的大小随着时间t的增大而减小，当点 P沿这两边运动时，使90OPQ的点P有几个？请说明理由 解: （1）60BAO （2）点P的运动速度为 2 个单位/秒 （3）(103 )Ptt ，（05t ） 1 (22)(10) 2 Stt 2 9121 24 t 当 9 2 t 时，S有最大值为121 4 ， 此时 11 9 3 22
24、 P ， （4）当点P沿这两边运动时，90OPQ 的点P有 2 个 当点P与点A重合时，90OPQ ， 当点P运动到与点B重合时，OQ的长是 12 单位长度， 作90OPM 交y轴于点M，作PHy轴于点H， 由OPHOPM得： 20 3 11.5 3 OM ， 所以OQOM，从而90OPQ 所以当点P在AB边上运动时，90OPQ 的点P有 1 个 同理当点P在BC边上运动时，可算得 10 3 1217.8 3 OQ （第 29 题图） A C B Q D O P x y 30 10 O 5 t S （第 29 题图） 第 29 题图 y Q M H D O A x C B ( )P 而构成直角
25、时交y轴于 35 3 0 3 ， 35 3 20.217.8 3 ， 所以90OCQ ，从而90OPQ 的点P也有 1 个 所以当点P沿这两边运动时，90OPQ 的点P有 2 个 6. （本题满分 14 分）如图12，直线4 3 4 xy与x轴交于点A，与y轴交于点C，已 知二次函数的图象经过点A、C和点0,1B. （1）求该二次函数的关系式； （2）设该二次函数的图象的顶点为M，求四边形AOCM的面积； （3）有两动点D、E同时从点O出发，其中点D以每秒 2 3 个单位长度的速度沿折线OAC 按OAC的路线运动，点E以每秒4个单位长度的速度沿折线OCA按OC A的路线运动， 当D、E两点相遇
26、时， 它们都停止运动.设D、E同时从点O出发t秒 时，ODE的面积为 S . 请问D、E两点在运动过程中，是否存在DEOC，若存在，请求出此时t的值； 若不存在，请说明理由； 请求出 S 关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围； 设 0 S是中函数 S 的最大值，那么 0 S = . 解： （1）令0x，则4y； 令0y则3x30A ，0 4C， 二次函数的图象过点0 4C， 可设二次函数的关系式为 4 2 bxaxy E C A y O B F x M D 又该函数图象过点3 0A，1 0B ， 0934 04 ab ab ， 解之，得 3 4 a， 3 8 b 所求二次函数的关系式为
27、4 3 8 3 4 2 xxy （2）4 3 8 3 4 2 xxy = 3 16 1 3 4 2 x 顶点 M 的坐标为 16 1 3 ， 过点 M 作 MFx轴于 F AFMAOCMFOCM SSS 四边形梯形 =101 3 16 4 2 1 3 16 13 2 1 四边形 AOCM 的面积为 10 （3）不存在 DEOC 若DEOC， 则点D， E应分别在线段OA， CA上， 此时12t ， 在RtAOC中，5AC 设点 E 的坐标为 11 xy， 5 44 3 1 t x ， 5 1212 1 t x DEOC， t t 2 3 5 1212 3 8 t 3 8 t2，不满足12t 不
28、存在DEOC 根据题意得 D，E 两点相遇的时间为 11 24 4 2 3 543 （秒） 现分情况讨论如下： ）当01t 时， 2 13 43 22 Sttt； ）当12t 时，设点 E 的坐标为 22 xy， 5 445 4 2 t y ， 5 1636 2 t y E C A y O B x M D tt t tS 5 27 5 12 5 1636 2 3 2 1 2 ）当 2 0） ， 则 N（r+1，r） ， 代入抛物线的表达式，解得 2 171 r 7 分 R R r r 1 1 N N M M AB D Ox y 圆的半径为 2 171 或 2 171 7 分 （4）过点 P 作
29、 y 轴的平行线与 AG 交于点 Q， 易得 G（2，3） ，直线 AG 为1xy8 分 设 P（x，32 2 xx） ，则 Q（x，x1） ，PQ2 2 xx 3)2( 2 1 2 xxSSS GPQAPQAPG 9 分 当 2 1 x时，APG 的面积最大 此时 P 点的坐标为 4 15 , 2 1 ， 8 27 的最大值为 APG S 10 分 11 （本小题 12 分）解： （1）解方程 x210x160 得 x12，x28 点 B 在 x 轴的正半轴上，点 C 在 y 轴的正半轴上，且 OBOC 点 B 的坐标为（2，0） ，点 C 的坐标为（0，8） 又抛物线 yax2bxc 的对
30、称轴是直线 x2 由抛物线的对称性可得点 A 的坐标为（6，0） A、B、C 三点的坐标分别是 A（6，0） 、B（2，0） 、C（0，8） （2）点 C（0，8）在抛物线 yax2bxc 的图象上 c8，将 A（6，0） 、B（2，0）代入表达式 yax2bx8，得 036a6b8 04a2b8 解得 a2 3 b8 3 所求抛物线的表达式为 y2 3x 28 3x8 （3）AB8，OC8 SABC 1 2 8 8=32 （4）依题意，AEm，则 BE8m， OA6，OC8， AC10 EFAC BEFBAC EF AC BE AB 即 EF 10 8m 8 EF405m 4 过点 F 作
31、FGAB，垂足为 G，则 sinFEGsinCAB4 5 FG EF 4 5 FG 4 5 405m 4 8m SSBCESBFE1 2（8m） 8 1 2（8m） （8m） 1 2（8m） （88m） 1 2（8m）m 1 2m 24m 自变量 m 的取值范围是 0m8 （5）存在 理由： S1 2m 24m1 2（m4） 28 且1 20， 当 m4 时，S 有最大值，S最大值最大值8 m4，点 E 的坐标为（2，0） BCE 为等腰三角形 12. （12 分） 已知： 如图 14， 抛物线 2 3 3 4 yx 与x轴交于点A， 点B， 与直线 3 4 yxb 相交于点B，点C，直线 3
32、 4 yxb 与y轴交于点E （1）写出直线BC的解析式 （2）求ABC的面积 （3） 若点M在线段AB上以每秒 1 个单位长度的速度从A向B运动 （不与A B，重合） ， 同时，点N在射线BC上以每秒 2 个单位长度的速度从B向C运动设运动时间为t秒， 请写出MNB的面积S与t的函数关系式， 并求出点M运动多少时间时，MNB的面积 最大，最大面积是多少？ 解： （1）在 2 3 3 4 yx 中，令0y 2 3 30 4 x 1 2x， 2 2x ( 2 0)A ，(2 0)B， 1 分 x y A B C E M D P N O 又点B在 3 4 yxb 上 3 0 2 b 3 2 b B
33、C的解析式为 33 42 yx 2 分 （2）由 2 3 3 4 33 42 yx yx ，得 1 1 1 9 4 x y 2 2 2 0 x y 4 分 9 1 4 C ，(2 0)B， 4AB， 9 4 CD 5 分 199 4 242 ABC S 6 分 （3）过点N作NPMB于点P EOMB NPEO BNPBEO 7 分 BNNP BEEO 8 分 由直线 33 42 yx 可得： 3 0 2 E ， 在BEO中，2BO， 3 2 EO ，则 5 2 BE 2 53 22 tNP ， 6 5 NPt 9 分 1 6 (4) 2 5 Stt 2 312 (04) 55 Sttt 10 分 2 312 (2) 55 St 11 分 此抛物线开口向下，当2t 时， 12 5 S 最大 当点M运动 2 秒时，MNB的面积达到最大，最大为12 5 12 分
