1、 2018-2019 学年选修 2-1 第三章训练卷 空间向量与立体几何空间向量与立体几何（一）（一） 注意事项：注意事项： 1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并 将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目 的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。 写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题一、选择题(本大题共本大题共 12 个小个小题，每小题题，每小题
2、5 分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选分，在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的项中，只有一项是符合题目要求的) 1如图所示，在平行六面体 1111 ABCDA B C D 中，M为 11 AC与 11 B D的交点 若AB uuu v a，AD uuu v b， 1 AA uuu v c，则下列向量中与BM uuuv 相等的向量是（ ） A 11 22 abc B 11 22 abc C 11 22 abc D 11 22 abc 2已知 5,6,1 a，6,5,0b，则a与b（ ） A垂直 B不垂直也不平行 C平行且同向 D平行且反向 3已知 2, 1,3a ， 4
3、,2,x b ， 1,2xc ，若 abc，则x等于（ ） A4 B4 C 1 2 D6 4若 1, ,2a，2, 1,2b，且a，b的夹角的余弦值为 8 9 ，则等于（ ） A2 B2 C2或 2 55 D2 或 2 55 5已知空间四边形ABCD每条边和对角线长都等于a，点E、F、G分别是AB、 AD、DC的中点，则 2 a是下列哪个选项的计算结果（ ） A2BC CA uuu v uuv B2AD DB uuu v uuu v C2FG AC uuu v uuu v D2EF CB uuu v uuv 6若 ,5,21A xx x，1,2,2Bxx，当AB uuu v 取最小值时，x的值
4、等于（ ） A19 B 8 7 C 8 7 D 19 14 7已知ABCD，ABEF是边长为 1 的正方形，FA平面ABCD，则异面直线AC 与EF所成的角为（ ） A30 B45 C60 D90 8如图所示，正方体ABCDA B C D 中，M是AB的中点，则sin ,DB CM uuu v uuuv 的值 为（ ） A 1 2 B 210 15 C 2 3 D 11 15 9如图， 1ABACBD，AB面M，AC 面M，BDAB，BD与面M成 30 角，则C、D间的距离为（ ） A1 B2 C 2 D3 10在以下命题中，不正确的个数为（ ） 此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号
5、 座位号 abab是a、b共线的充要条件； 若ab，则存在唯一的实数，使ab； 对空间任意一点 O 和不共线的三点 A、B、C，若22OPOAOBOC uuu vuuvuuu vuuu v，则 P、 A、B、C 四点共面； 若, ,a b c为空间的一个基底，则,ab bc ca构成空间的另一个基底； a bcabc A2 B3 C4 D5 11在三棱锥 PABC 中，ABC 为等边三角形，PA平面 ABC，且 PAAB， 则二面角 APBC 的平面角的正切值为（ ） A6 B3 C 6 6 D 6 2 12如图，四棱锥 SABCD 的底面为正方形，SD底面 ABCD，则下列结论中不 正确的是
6、（ ） AACSB BAB平面 SCD CSA 与平面 SBD 所成的角等于 SC 与平面 SBD 所成的角 DAB 与 SC 所成的角等于 DC 与 SA 所成的角 二、填空题二、填空题（本大题共本大题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，把正确答案填在题中横分，把正确答案填在题中横 线上线上） 13 已知直线l的方向向量为 1, 1,2v = ， 平面的法向量 2, 1,1 u= ， 则l与 的夹角为_ 14如图所示，在空间四边形 ABCD 中，AC 和 BD 为对角线，G 为ABC 的重心， E 是 BD 上一点，BE3ED，以 ,AB AC AD uu u
7、v uuu v uuu v 为基底，则GE uuu v _ 15如图所示，在三棱锥 PABC 中，PAPBPCBC，且BAC90 ，则 PA 与底面 ABC 所成的角为_ 16已知点 E、F 分别在正方体 1111 ABCDA B C D的棱 1 BB、 1 CC上，且 1 2B EEB， 1 2CFFC，则面 AEF 与面 ABC 所成的二面角的正切值等于_ 三、解答题三、解答题(本大题共本大题共 6 个个大大题，共题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算分，解答应写出文字说明，证明过程或演算 步骤步骤) 17 （10 分）已知向量 1, 3,2a ， 2,1,1 b ，点 3,
8、 1,4A ， 2, 2,2B （1）求2 ab； （2）在直线 AB 上，是否存在一点 E，使得OE uuu v b？(O 为原点) 18 （12 分）如图，在直三棱柱 111 ABCA B C 中，AC3，BC4，AB5， 1 4AA ， 点 D 是 AB 的中点 求证： （1） 1 ACBC； （2） 1 AC 平面 1 CDB 19 （12 分） 已知 M 为长方体 1 AC的棱 BC 的中点， 点 P 在长方体 1 AC的面 11 CC D D 内，且 11 PMBB D D ，试探讨点 P 的确切位置 20（12 分）在正棱锥 PABC 中，三条侧棱两两互相垂直，G 是PAB 的重
9、心， E，F 分别是 BC，PB 上的点，且 BEECPFFB12求证： （1）平面 GEF平面 PBC； （2）EGPG，EGBC 21（12 分） 如图， 在三棱柱111 ABCA B C中， H 是正方形 11 AA B B的中心， 1 2 2AA ， 1 C H 平面 11 AA B B，且 1 5C H （1）求异面直线 AC 与 11 A B所成角的余弦值； （2）求二面角 111 AACB 的正弦值； （3）设 N 为棱 11 B C的中点，点 M 在平面 11 AA B B内，且 MN平面 111 A BC，求线 段 BM 的长 22（12 分）如图，在矩形 ABCD 中，点
10、E，F 分别在线段 AB，AD 上，AEEB AF 2 3 FD4沿直线 EF 将AEF 翻折成AEF，使平面 AEF平面 BEF （1）求二面角 AFDC 的余弦值； （2）点 M，N 分别在线段 FD，BC 上，若沿直线 MN 将四边形 MNCD 向上翻折， 使 C 与 A重合，求线段 FM 的长 2018-2019 学年选修 2-1 第三章训练卷 空间向量与立体几何空间向量与立体几何（一）（一）答答 案案 一、选择题一、选择题 1 【答案】A 【解析】平行六面体的性质可得： 111 11 22 AMAC uuuu vuuuu v ab， 则 11 111 222 BMBAAAAM uuu
11、vuuvuuu vuuuu v acababc，故选 A 2 【答案】A 3 【答案】B 【解析】2,1,3x ab，由abc，0abc 22 30xx ，得4x 故选 B 4 【答案】C 【解析】 2 8 24653 9 a b 解得2 或 2 55 故选 C 5 【答案】C 【解析】 2 2BC CAa uuu v uuv ，A 错； 2 2AD DBa uuu v uuu v ，B 错； 2 1 2 2 EF CBa uuu v uuv ，D 错；只有 C 对故选 C 6 【答案】C 【解析】 1,23, 33ABxxx uu u v ， 则 2 222 2 85 12333143219
12、14 77 ABxxxxxx uuu v ， 故当 8 7 x 时，AB uuu v 取最小值，故选 C 7 【答案】B 【解析】如图， 由于EFAB且45BAC，所以异面直线AC与EF所成的角为 45 ，故选 B 8 【答案】B 【解析】 以DA，DC，DD所在的直线分别为x，y，z轴建立直角坐标系O xyz ， 设正方体棱长为 1，则0,0,0D，1,1,1B，0,1,0C， 1 1,0 2 M ， 则1,1,1DB uuu v ， 1 1,0 2 CM uuuv ， 15 cos, 15 DB CM uuu v uuuv ， 则 210 sin, 15 DB CM uuu v uuuv
13、故选 B 9 【答案】C 【解析】 22222 222CDCAABBDCAABBDCAABABBDCABD uuu vuuvuu u vuuu vuuvuu u vuuu vuuvuu u vuu u vuuu vuuvuuu v 11100211c o s 1 2 02 |= 2CD uuu v 故选 C 10 【答案】C 【解析】错，应为充分不必要条件错，应强调0b 错，22 1 1 错，由数量积的运算性质判别故选 C 11 【答案】A 【解析】设 PAAB2，建立空间直角坐标系，平面 PAB 的一个法向量是 1,0,0m，平面 PBC 的一个法向量是 3 ,1,1 3 n 则 3 7 3
14、 cos, 721 1 3 m n m n mn 正切值tan,6m n故选 A 12 【答案】D 【解析】四边形 ABCD 是正方形，ACBD 又SD底面 ABCD，SDAC 其中 SDBDD，AC面 SDB， 从而 ACSB故 A 正确；易知 B 正确； 设 AC 与 DB 交于 O 点，连结 SO 则 SA 与平面 SBD 所成的角为ASO，SC 与平面 SBD 所成的角为CSO， 又 OAOC，SASC，ASOCSO 故 C 正确；由排除法可知选 D 二、填空题二、填空题 13 【答案】30 【解析】 212 1 cos 266 v,u，60v,u l与的夹角为 30 14 【答案】
15、113 1234 ABACAD uuu vuuu vuuu v 【解析】 21 34 GEGAADDEAMADDB uuu vuuvuuu vuuu vuuuvuuu vuuu v 211113 3241234 ABACADABADABACAD uuu vuuu vuuu vuuu vuuu vuuu vuuu vuuu v ， 故 113 1234 GEABACAD uuu vuuu vuuu vuuu v 15 【答案】60 【解析】由于 PAPBPC，故 P 在底面 ABC 上的射影为ABC 外心， 由于ABC 为直角三角形，不妨设 OBOC， 所以 OP面 ABC，PAO 为所求角，
16、不妨设 BC1，则 OA 1 2 ，cosPAO 1 2 ， 所以PAO60 16 【答案】 2 3 【解析】延长 FE、CB 相交于点 G，连结 AG， 设正方体的棱长为 3，则 GBBC3，作 BHAG 于 H，连结 EH， 则EHB 为所求二面角的平面角 3 2 2 BH ，EB1， 2 tan 3 EB EHB BH 三、解答题三、解答题 17 【答案】 （1）5 2； （2）存在，此时 E 点坐标为 614 2 , 555 E 【解析】 （1） 22, 6,42,1,10, 5,5 ab， 故 2 22 20555 2 ab （2）3, 1,41, 1, 23, 1,42OEOAAE
17、OAtABtttt uuu vuuvuuu vuuvuu u v ， 若OE uuu v b，则0OE uuu v b =， 所以 231420ttt ，解得 9 5 t ， 因此存在点 E，使得OE uuu v b，此时 E 点坐标为 614 2 , 555 E 18 【答案】 （1）见解析； （2）见解析 【解析】 （1）直三棱柱 111 ABCA B C 底面三边长 AC3，BC4，AB5， 且 1 C C垂直底面AC、BC、 1 C C两两垂直 如图，以 C 为坐标原点， 直线 CA，CB， 1 C C分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系 则0,0,0C，3,0,0A， 1 0,0
18、,4C ，0,4,0B， 1 0,4,4B ， 3 ,2,0 2 D 3,0,0AC uuu v ， 1 0, 4,4BC uuuv ， 1 0AC BC uuu v uuuv ， 1 ACBC uuu vuuuv （2）设 1 CB与 1 C B的交点为 E，连接 DE，则0,2,2E ， 3 ,0,2 2 DE uuu v ， 1 3,0,4AC uuuv ， 1 1 2 DEAC uuu vuuuv 1 DEAC DE 平面 1 CDB， 1 AC 平面 1 CDB， 1 AC 平面 1 CDB 19 【答案】点 P 在面 11 DCC D的 DC 的中垂线 EF 上 【解析】以 DA、
19、DC、 1 DD为x、y、z轴，如图建立空间直角坐标系， 设DAa，DCb， 1 DDc 根据题意可设 ,0,0A a ， ,( ,0)B a b ， 1 0,()0,Dc，,(0,)Py z，则 1 , ,0 2 Ma b 又 11 PMBB D D ，根据空间向量基本定理，必存在实数对( ),m n， 使得 1 PMmDBnDD uuuvuuu vuuuu v ， 即 1 , 2 a byzma mb nc ， 等价于 1 1 2 2 1 2 , m ama bymbyb znc znc n R ，则点 1 0, 2 Pbnc 点 P 在面 11 DCC D的 DC 的中垂线 EF 上 2
20、0 【答案】 （1）见解析； （2）见解析 【解析】 （1）以三棱锥的顶点 P 为原点， 以 PA、PB、PC 所在的直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系 令 PAPBPC3， 则 A(3,0,0)，B(0,3,0)，C(0,0,3)，E(0,2,1)，F(0,1,0)，G(1,1,0)，P(0,0,0) 于是3,0,0PA uuv ，1,0,0FG uuu v 故3PAFG uuvuuu v PAFG 又 PA平面 PBC，FG平面 PBC 又 FG平面 EFG，平面 EFG平面 PBC （2）1, 1, 1EG uuu v ，1,1,0PG uuu v ，0, 3,3BC
21、 uuu v 1 10EG PG uuu v uuu v ，330EG BC uuu v uuu v EGPG，EGBC 21 【答案】 （1） 2 3 ； （2） 3 5 7 ； （3） 10 4 【解析】 如图所示， 建立空间直角坐标系， 点 B 为坐标原点 依题意得 2 2,0,0A ， 0,0,0B，2,2, 5C， 1 2 2,2 2,0A ， 1 0,2 2,0B ， 1 2, 2, 5C （1）易得2,2, 5AC uuu v ， 11 2 2,0,0A B uuuu v ， 于是 11 11 11 42 cos, 332 2 AC A B AC A B ACA B uuu v
22、uuuu v uuu v uuuu v uuu vuuuu v 所以异面直线 AC 与 11 A B所成角的余弦值为 2 3 （2）易知 1 0,2 2,0AA uuu v ， 11 2,2, 5AC uuuu v 设平面 11 AAC的法向量, ,x y zm ，则 11 1 0 0 AC AA uuuu v uuu v m m ， 即 2 2250 2 20 xyz y ，不妨令5x ，可得 5,0,2m ， 同样地，设平面 111 A B C的法向量, ,x y zn ，则 11 11 0 0 AC A B uuuu v uuuu v n n ， 即 2 2250 2 20 xyz x
23、，不妨令5y ，可得 0, 5, 2n ， 于是 22 cos, 777 m n m n mn ，从而 3 5 sin, 7 m n 所以二面角 111 AACB 的正弦值为 3 5 7 （3）由 N 为棱 11 B C的中点，得 2 3 25 , 222 N 设 , ,0M a b ，则 23 25 , 222 MNab uuuv 由 MN平面 111 A B C，得 11 11 0 0 MN A B MN AC uuuv uuuu v uuuv uuuu v， 即 2 2 20 2 23 25 2250 222 a ab ， 解得 2 2 2 4 a b ，故 22 ,0 24 M 因此
24、22 ,0 24 BM uuuv ，所以线段 BM 的长 10 4 BM uuuv 22 【答案】 （1） 3 3 ； （2） 21 4 【解析】法一： （1）取线段 EF 的中点 H，连结 AH 因为 AEAF 及 H 是 EF 的中点，所以 AHEF 又因为平面 AEF平面 BEF，及 AH平面 AEF， 所以 AH平面 BEF 如图建立空间直角坐标系 Axyz， 则 2,2,2 2A ， 10,8,0C ， 4,0,0F ， 10,0,0D ， 故 2,2,2 2FA uuu v ，6,0,0FD uuu v 设 , ,x y zn 为平面 AFD 的一个法向量， 所以 222 20 6
25、0 xyz x ，取2z ，则 0, 2,2n 又平面 BEF 的一个法向量0,0,1m=故 3 cos, 3 n m n m nm 所以二面角的余弦值为 3 3 （2）设FMx，则4,0,0Mx， 因为翻折后，C 与 A重合，所以 CMAM， 故 2 22 222 680222 2xx ，得 21 4 x ， 经检验，此时点 N 在线段 BC 上，所以 21 4 FM 法二： （1）取线段 EF 的中点 H，AF 的中点 G，连结 AG，AH，GH 因为 AEAF 及 H 是 EF 的中点，所以 AHEF， 又因为平面 AEF平面 BEF，所以 AH平面 BEF， 又 AF平面 BEF，故 AHAF， 又因为 G，H 是 AF，EF 的中点，易知 GHAB， 所以 GHAF，于是AF 面 AGH， 所以AGH 为二面角 ADFC 的平面角， 在 RtAGH 中，2 2A H，2GH ，2 3AG， 所以 3 cos 3 AGH 故二面角 ADFC 的余弦值为 3 3 （2）设FMx，因为翻折后，C 与 A重合，所以 CMAM， 而2 2222 86CMDCDMx， 222222 A MA HMHA HMGGH 2 22 222 6802 222xx， 得 21 4 x ，经检验，此时点 N 在线段 BC 上，所以 21 4 FM
