1、 2018-2019 学年选修 1-1 第二章训练卷 圆锥圆锥曲线与方程曲线与方程（一）（一） 注意事项：注意事项： 1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并 将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目 的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。 写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题一、选择题(本大题共本大题共 12 个小题，个小题，每小题每小题 5 分，
2、共分，共 60 分，在每小题给出的四个选分，在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的项中，只有一项是符合题目要求的) 1若椭圆 22 1 2 xy m 的离心率为 1 2 ，则实数m （ ） A 3 2 或 8 3 B 3 2 C 3 8 D 3 2 或 3 8 2已知双曲线 E 的中心为原点，F(3,0)是 E 的焦点，过 F 的直线 l 与 E 相交于 A， B 两点，且 AB 的中点为 N(12，15)，则 E 的方程为（ ） A 22 1 36 xy B 22 1 45 xy C 22 1 63 xy D 22 1 54 xy 3双曲线 22 1 4 xy k 的离心率1,
3、2e，则 k 的取值范围是（ ） A(，0) B(12,0) C(3,0) D(60，12) 4 若点 P 到直线 x1 的距离比它到点(2,0)的距离小 1， 则点 P 的轨迹为 （ ） A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线 5已知两定点 1 1,0F ， 2 1,0F，且 12 1 2 FF是 1 PF与 2 PF的等差中项，则动点 P 的轨迹是（ ） A椭圆 B双曲线 C抛物线 D线段 6设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点，且与 C 的一条对称轴垂直，l 与 C 交于 A，B 两点，|AB|为 C 的实轴长的 2 倍，则 C 的离心率为（ ） A2 B3 C2 D3 7过抛物线 2 4yx
4、的焦点作一条直线与抛物线相交于 A、B 两点，它们的横坐标 之和等于 5，则这样的直线（ ） A有且仅有一条 B有且仅有两条 C有无穷多条 D不存在 8 已知(4,2)是直线 l 被椭圆 22 1 369 xy 所截得的线段的中点， 则 l 的方程是 （ ） Ax2y0 Bx2y40 C2x3y40 Dx2y80 9过椭圆 22 1 42 xy 的右焦点作 x 轴的垂线交椭圆于 A、B 两点，已知双曲线的 焦点在 x 轴上，对称中心在坐标原点且两条渐近线分别过 A、B 两点，则双曲线的 离心率e为（ ） A 1 2 B 2 2 C 6 2 D 3 2 10 双曲线 22 10 xy mn mn
5、 有一个焦点与抛物线 2 4yx的焦点重合， 则mn的 值为（ ） A3 B2 C1 D以上都不对 11设 1 F， 2 F是双曲线 22 22 10,0 xy ab ab 的左、右焦点，点 P 在双曲线上， 若 12 0PF PF，且 22 12 2PFPFac cab，则双曲线的离心率为（ ） A1 5 2 B1 3 2 C2 D1 2 2 12已知 1 F， 2 F分别为双曲线 22 22 10,0 xy ab ab 的左、右焦点，P 为双曲线 此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 右支上的任意一点，若 2 1 2 PF PF 的最小值为8a，则双曲线的离心率e的取值范
6、围是 （ ） A(1，) B(1,2 C1, 3 D(1,3 二、填空题二、填空题（本大题共本大题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，把正确答案填在题中横分，把正确答案填在题中横 线上线上） 13若双曲线的渐近线方程为 1 3 yx ，它的一个焦点是 10,0，则双曲线的标 准方程是_ 14椭圆 22 1 92 xy 的焦点为 1 F， 2 F，点 P 在椭圆上，若 1 4PF ， 则 2 PF _， 12 F PF的大小为_ 15已知 1 F、 2 F是椭圆 22 22 1 xy ab 的左、右焦点，点 P 是椭圆上任意一点，从 1 F 引 12 F PF的外角
7、平分线的垂线，交 2 F P的延长线于 M，则点 M 的轨迹方程是 _ 16 设 1 F， 2 F分别为椭圆 2 2 1 3 x y的左， 右焦点， 点 A， B 在椭圆上， 若 12 5F AF B， 则点 A 的坐标是_ 三、解答题三、解答题(本大题共本大题共 6 个个大大题，共题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算分，解答应写出文字说明，证明过程或演算 步骤步骤) 17(10 分)求与椭圆 22 1 94 xy 有公共焦点，并且离心率为 5 2 的双曲线方程 18(12 分)已知椭圆 22 22 10 xy ab ab 的离心率 3 2 e ，连接椭圆的四个顶点 得到的菱形
8、的面积为 4 （1）求椭圆的方程； （2） 设直线 l 与椭圆相交于不同的两点 A， B 已知点 A 的坐标为,0a， 点 0 0,Qy 在线段 AB 的垂直平分线上，且4QA QB，求 0 y的值 19(12 分)已知过抛物线 2 20yPx P的焦点 F 的直线交抛物线于 11 ,A x y， 22 ,B x y两点求证： （1） 12 x x为定值； （2） 11 FAFB 为定值 20(12 分)已知 2,0A、 2,0B 两点，动点 P 在 y 轴上的射影为 Q， 2 2PA PBPQ （1）求动点 P 的轨迹 E 的方程； （2）设直线 M 过点 A，斜率为 k，当 0k1 时，曲
9、线 E 的上支上有且仅有一点 C 到直线 M 的距离为2，试求 k 的值及此时点 C 的坐标 21(12 分) 图 2 设椭圆 22 1 22 :10 xy Cab ab ，抛物线 22 2: Cxbyb （1）若 2 C经过 1 C的两个焦点，求 1 C的离心率； （2）设()0,Ab， 5 3 3, 4 Qb ，又 M，N 为 1 C与 2 C不在 y 轴上的两个交点， 若AMN 的垂心为 3 0, 4 Bb ，且QMN 的重心在 2 C上，求椭圆 1 C和抛物线 2 C的 方程 22(12 分) 000 ,P x yxa 是双曲线 22 22 :10,0 xy Eab ab 上一点，M，
10、N 分别是双曲线 E 的左、右顶点，直线 PM，PN 的斜率之积为 1 5 （1）求双曲线的离心率； （2）过双曲线 E 的右焦点且斜率为 1 的直线交双曲线交于 A，B 两点，O 为坐标 原点，C 为双曲线上一点，满足OCOAOB，求 的值 2018-2019 学年选修 1-1 第二章训练卷 圆锥圆锥曲线与方程曲线与方程（一）（一）答答 案案 一、选择题一、选择题(本大题共本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选分，在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的项中，只有一项是符合题目要求的) 1 【答案】A 【解析】如果2m ，则
11、2cm，故 21 22 m ，所以 3 2 m ； 如果2m ，则2cm，故 21 2 m m ，则 8 3 m 故选 A 2 【答案】B 【解析】F(3,0)，AB 的中点 N(12，15)， 150 1 123 AB k 又F(3,0)，可设双曲线的方程为 22 22 1 xy ab ，易知 22 9ab 再设 11 ,A x y， 22 ,B x y，则有 22 11 22 1 xy ab 22 22 22 1 xy ab 由可得 2222 1212 22 xxyy ab ，即 12121212 22 xxxxyyyy ab 2 1212 2 1212 1 AB yyxxb k xxay
12、y 又 12 12 2 xx ， 12 15 2 yy ，式可化为 2 2 12 1 15 b a ， 2 2 5 4 b a 由和可知 2 5b ， 2 4a ，双曲线的方程为 22 1 45 xy ，故选择 B 3 【答案】B 【解析】 2 4a ， 2 bk ， 2 4ck1,2e， 2 2 4 1,4 4 ck a ， k(12,0) 4 【答案】D 【解析】 设 M(2,0)， 由题设可知， 把直线 x1 向左平移一个单位即为直线2x ， 则点 P 到直线 x2 的距离等于|PM|，所以动点 P 的轨迹为抛物线，故选 D 5 【答案】D 【解析】依题意知 1212 2PFFFPF，作
13、图可知点 P 的轨迹为线段，故选 D 6 【答案】B 【解析】不妨设双曲线 C 为 22 22 10,0 xy ab ab ，并设 l 过 2 ,0F c且垂直于 x 轴， 则易求得 2 2b AB a ， 2 2 22 b a a ， 22 2ba， 离心率 2 2 13 cb e aa ， 故选 B 7 【答案】B 【解析】过抛物线 2 4yx的焦点作一条直线与抛物线相交于 A，B 两点，若直线 AB 的斜率不存在，则横坐标之和等于 2，不适合 故设直线 AB 的斜率为 k，则直线 AB 为1yk x代入抛物线 2 4yx 得 2222 220k xkxk，A，B两点的横坐标之和等于 5，
14、 2 2 22 5 k k ， 2 4 3 k ，这样的直线有且仅有两条故选 B 8 【答案】D 【解析】设 l 与椭圆的两交点分别为 11 ,x y、 22 ,xy，则得 22 12 22 12 9 36 yy xx ， 所以 12 12 1 2 yy xx 故方程为 1 24 2 yx ，即280xy故选 D 9 【答案】C 【解析】 2,1A， 2, 1B，设双曲线为 22 22 10,0 xy ab ab ，渐近线方程 为 b yx a ，因为 A、B 在渐近线上，所以12 b a ， 2 2 b a ， 2 22 2 6 1 2 cabb e aaa 故选 C 10 【答案】C 【解
15、析】抛物线 2 4yx的焦点为 F(1,0)，故双曲线 22 1 xy mn 中0m ，0n ， 且 2 1mncC 选项正确 11 【答案】A 【解析】由 12 0PF PF可知 12 PFF为直角三角形，则由勾股定理， 得 22 2 12 4PFPFc， 由双曲线的定义，得 2 2 12 4PFPFa 又 12 2PFPFac， 由得 22 0caca，即 2 10ee ， 解得 15 2 e 或 15 2 e (舍去)故选 A 12 【答案】D 【解析】 2 2 2 2 1 2 222 2 4 4448 aPFPF a PFaaaa PFPFPF ，当且仅当 2 2 2 4a PF PF
16、 ，即 2 2PFa时取等号这时 1 4PFa由 1212 PFPFFF， 得62ac，即3 c e a ，得1,3e，故选 D 二、填空题二、填空题（本大题共本大题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，把正确答案填在题中横分，把正确答案填在题中横 线上线上） 13 【答案】 2 2 1 9 x y 【解析】由双曲线的渐近线方程为 1 3 yx ，知 1 3 b a ，它的一个焦点是 10,0， 知 22 10ab，因此3a ，1b ，故双曲线的方程是 2 2 1 9 x y 14 【答案】2，120 【解析】 由椭圆的定义知 12 22 36PFPFa ， 因为
17、1 4PF ， 所以 2 2PF 在 12 PFF中， 222 1212 12 12 1 cos 22 PFPFFF FPF PF PF 12 120FPF 15 【答案】 2 2222 4xabya 【解析】由题意知 1 MPFP， 122 2PFPFMFa点 M 到点 2 F的距离 为定值 2a点 M 的轨迹是以点 2 F为圆心，以 2a 为半径的圆，其方程为 2 2222 4xabya 16 【答案】0, 1 【解析】设 11 (),A x y， 22 (),B xy，由 1 2,0F ， 2 2,0F，且 12 5F AF B得 21 1 6 2 5 xx， 21 1 5 yy又 A、
18、B 两点在椭圆上，故有 2 21 1 2 2 1 1 1 3 6 2 1 7525 x y x y ， 消去 1 y得 2 2 11 6 2 24 3 xx ，有 1 0x ，从而 1 1y ，故点 A 的坐标为(0,1)和 (0,) 1 三、解答题三、解答题(本大题本大题共共 6 个个大大题，共题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算分，解答应写出文字说明，证明过程或演算 步骤步骤) 17 【答案】 2 2 1 4 x y 【解析】由椭圆方程 22 1 94 xy ，知长半轴 1 3a ，短半轴 1 2b ，焦距的一半 22 111 5cab，焦点是 1 5,0F ， 2 5,0
19、F，因此双曲线的焦点也是 1 5,0F ， 2 5,0F，设双曲线方程为 22 22 10,0 xy ab ab ，由题设条件及双 曲线的性质，得 222 5 5 2 c cab c a ，解得 2 1 a b ，故所求双曲线的方程为 2 2 1 4 x y 18 【答案】 （1） 2 2 1 4 x y； （2） 0 2 2y 或 0 2 14 5 y 【解析】 （1）由 3 2 c E a ，得 22 34ac再由 222 cab，得2ab 由题意可知 1 224 2 ab，即2ab 解方程组 2 2 ab ab ，得 a2，b1 所以椭圆的方程为 2 2 1 4 x y （2）由（1）可
20、知2,0A 设 B 点的坐标为 11 ,x y，直线 l 的斜率为 k，则直线 l 的方程为2yk x 于是 A，B 两点的坐标满足方程组 2 2 2 1 4 yk x x y ， 由方程组消去 y 并整理，得 2222 14161640kxk xk 由 2 1 2 164 2 14 k x k ，得 2 1 2 28 14 k x k 从而 1 2 4 14 k y k 设线段 AB 的中点为 M，则 M 的坐标为 2 22 82 , 1414 kk kk 以下分两种情况： 当k0时， 点B的坐标为(2,0)， 线段AB的垂直平分线为y轴， 于是 0 2,QAy ， 0 2,QBy由4QA
21、QB，得 0 2 2y 当 k0 时，线段 AB 的垂直平分线方程为 2 22 218 1414 kk yx kkk 令 x0，解得 0 2 6 14 k y k 由 0 2,QAy ， 110 ,QBx yy 2 1010 2222 2 28 646 2 14141414 k kkk QA QBxyyy kkkk 42 2 2 4 16151 4 14 kk k ， 整理得 2 72k ，故 14 7 k 所以 0 2 14 5 y 综上， 0 2 2y 或 0 2 14 5 y 19 【答案】 （1）见解析； （2）见解析 【解析】 （1）抛物线 2 2yPx的焦点为,0 2 p F ，设
22、直线 AB 的方程为 0 2 p yk xk 由 2 2 2 p yk x ypx ，消去 y，得 22 222 20 4 k p k xP kx 由根与系数的关系，得 2 12 4 p x x (定值) 当 ABx 轴时， 12 2 p xx， 2 12 4 p x x ，也成立 （2）由抛物线的定义，知 1 2 p FAx， 2 2 p FBx 1212 22 12 121212 1111 22 2422 xxpxxp pp ppppFAFB xx xxx xxx 12 12 2 2 xxp p p xxp (定值) 当 ABx 轴时，FAFBP，上式仍成立 20 【答案】 （1） 22
23、2yx； （2） 2 5 5 k ， 2 2, 10C 【解析】 （1）设动点 P 的坐标为(x，y)，则点 Q(0，y)， ,0PQx ，2,PAxy，2,PBxy ， 22 2PA PBxy 2 2PA PBPQ， 222 22xyx，即动点 P 的轨迹方程为 22 2yx （2）设直线 M： 201yk xk， 依题意，点 C 在与直线 M 平行且与 M 之间的距离为2的直线上，设此直线为 1: Mykxb 由 2 2 2 1 kb k ，即 2 2 22bkb 把ykxb代入 22 2yx，整理，得 222 1220kxkbxb， 则 2222 44120k bkb，即 22 22bk
24、 由，得 2 5 5 k ， 10 5 b 此时，由方程组 22 2 510 55 2 yx yx ，解得 2 2 10 x y ，即 2 2, 10C 21 【答案】 （1） 2 2 ； （2） 1 C： 22 1 16 4 3 xy ， 2 C： 2 24xy 【解析】（1） 因为抛物线 2 C经过椭圆 1 C的两个焦点 1 ,()0Fc， 2 ,0F c， 可得 22 cb 由 2222 2abcc，有 2 2 1 2 c a ，所以椭圆 1 C的离心率 2 2 e （2）由题设可知 M，N 关于 y 轴对称， 设 11 ,Mx y， 11 ,N x y， 1 0x ，则由AMN 的垂心
25、为 B，有0BM AN， 所以 2 111 3 0 4 xybyb 由于点 11 ,N x y在 2 C上，故有 22 11 xbyb 由得 1 4 b y ，或 1 yb (舍去)， 所以 1 5 2 xb，故 5 , 24 b Mb ， 5 , 24 b Nb ， 所以QMN 的重心为3, 4 b ，由重心在 2 C上得： 2 2 3 4 b b， 所以2b ， 1 5, 2 M ， 1 5, 2 N ， 又因为 M，N 在 1 C上，所以 2 2 2 1 5 2 1 4a ，得 2 16 3 a 所以椭圆 1 C的方程为： 22 1 16 4 3 xy ， 抛物线 2 C的方程为： 2
26、24xy 22 【答案】 （1） 30 5 ； （2）0 或 4 【解析】 （1）点 000 ,P x yxa 在双曲线 22 22 1 xy ab 上，有 22 00 22 1 xy ab 由题意又有 00 00 1 5 yy xa xa ，可得 22 5ab， 2222 6cabb，则 30 5 c e a （2）联立 222 55xyb yxc ，得 22 410350xcxb，设 11 ,A x y， 22 ,B x y， 则 12 2 12 5 2 35 4 c xx b x x 设 33 ,OCxy，OCOAOB，即 312 312 xxx yyy ， 又 C 为双曲线上一点，即 222 33 55xyb， 有 22 2 1212 55xxyyb， 化简得 222222 11221 212 55255xyxyx xy yb 又 11 ,A x y， 22 ,B x y在双曲线上，所以 222 11 55xyb， 222 22 55xyb 由式又有 22 121212121212 5545510x xy yx xxcxcx xc xxcb ， 得： 2 40，解出 0 或 4
