1、 2018-2019 学年必修二第二章训练卷 点点、直线、直线、平面之间的位置关系平面之间的位置关系（一）（一） 注意事项：注意事项： 1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并 将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目 的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。 写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题一、选择题（本大题共本大题共 1 12 2 个小题，每小
2、题个小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分，在每小题给出的四个分，在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1长方体 ABCDA1B1C1D1中，异面直线 AB，A1D1所成的角等于（ ） A30 B45 C60 D90 2已知平面 和直线 l，则 内至少有一条直线与 l（ ） A平行 B相交 C垂直 D异面 3下列命题中，错误的是（ ） A一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，则必与另一个平面相交 B平行于同一平面的两个不同平面平行 C若直线 l 不平行于平面 ，则在平面 内不存在与 l 平行的直线 D如果平面 不垂直于平面 ，那么平
3、面 内一定不存在直线垂直于平面 4已知 、 是两个平面，直线ll，若以l；l； 中两 个为条件，另一个为结论构成三个命题，则其中正确的命题有（ ） A； B； C； D； 5对于两条不相交的空间直线 a 与 b，必存在平面 ，使得（ ） Aa，b Ba，b Ca，b Da，b 6设直线 l平面 ，过平面 外一点 A 与 l， 都成 30 角的直线有（ ） A1 条 B2 条 C3 条 D4 条 7如图，A 是平面 BCD 外一点，E、F、G 分别是 BD、DC、CA 的中点，设过这 三点的平面为 ，则在图中的 6 条直线 AB、AC、AD、BC、CD、DB 中，与平面 平行的直线有（ ） A0
4、 条 B1 条 C2 条 D3 条 8已知三棱柱 ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面 ABC 内的射影 为ABC 的中心 O，则 AB1与底面 ABC 所成角的正弦值为（ ） A 1 3 B 2 3 C 3 3 D 2 3 9等腰 RtABC 中，ABBC1，M 为 AC 的中点，沿 BM 把它折成二面角， 折后 A 与 C 的距离为 1，则二面角 CBMA 的大小为（ ） A30 B60 C90 D120 10如图，l，A，B，A，B 到 l 的距离分别是 a 和 b，AB 与 ， 所成的角分别是 和 ，AB 在 ， 内的射影长分别是 m 和 n，若ab， 则（ ） Amn
5、， Bmn， Cmn， Dmn， 11如图，在三棱柱 ABCABC中，点 E，F，H，K 分别为 AC，CB，AB，BC 的中点，G 为ABC 的重心，从 K，H，G，B中取一点作为 P，使得该三棱柱恰 有 2 条棱与平面 PEF 平行，则点 P 为（ ） 此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 AK BH CG DB 12如图，四边形 ABCD 中，ADBC，ADAB，BCD45 ，BAD90 ，将 ABD 沿 BD 折起， 使平面 ABD平面 BCD， 构成四面体 ABCD， 则在四面体 ABCD 中，下列结论正确的是（ ） A平面 ABD平面 ABC B平面 ADC平面
6、BDC C平面 ABC平面 BDC D平面 ADC平面 ABC 二、填空题二、填空题（本大题共本大题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，把正确答案填在题中横分，把正确答案填在题中横 线上线上） 13直线 l 与平面 所成角为 30 ，lA，m，Am，则 m 与 l 所成角的取 值范围是_ 14如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，M、N 分别是棱 AA1和 AB 上的点， 若B1MN 是直角，则C1MN 等于_ 15如图所示，在四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，且底面各边都相等，M 是 PC 上的一动点，当点 M 满足_时，平面 MBD平面 P
7、CD（只要填写一 个你认为是正确的条件即可） 16如图正方体 ABCDA1B1C1D1，棱长为 1，P 为 BC 中点，Q 为线段 CC1上的 动点，过 A、P、Q 的平面截该正方体所得的截面记为 S，则下列命题正确的是 _ （写出所有正确命题的编号） 当 1 0 2 CQ时，S 为四边形 当 CQ 1 2 时，S 为等腰梯形 当 CQ 3 4 时，S 与 C1D1交点 1 R满足 C1R1 1 3 当 3 1 4 CQ时，S 为六边形 当 CQ1 时，S 的面积为 6 2 三、解答题三、解答题（本大题共本大题共 6 个小题，共个小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演分，解答应写
8、出文字说明，证明过程或演 算步骤算步骤） 17 （10 分）如图，在三棱锥 PABC 中，D、E、F 分别为棱 PC、AC、AB 的中 点，已知 PAAC，PA6，BC8，DF5 求证： （1）直线 PA面 DEF； （2）平面 BDE平面 ABC 18(12 分)如下图所示，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，AC3，BC4，AB5， AA14，点 D 是 AB 的中点 （1）求证：ACBC1； （2）求证：AC1平面 CDB1； （3）求异面直线 AC1与 B1C 所成角的余弦值 19 （12 分）如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，侧棱 AA1底面 ABC，ABAC 2AA12，BAC1
9、20 ，D，D1分别是线段 BC，B1C1的中点，P 是线段 AD 上异 于端点的点 （1）在平面 ABC 内，试作出过点 P 与平面 A1BC 平行的直线 l，说明理由，并证 明直线 l平面 ADD1A1； （2）设（1）中的直线 l 交 AC 于点 Q，求三棱锥 A1QC1D 的体积 （锥体体积公 式：V 1 3 Sh，其中 S 为底面面积，h 为高） 20 （12 分）如下图所示，在四棱锥 PABCD 中，PA平面 ABCD，AB4， BC3，AD5，DABABC90 ，E 是 CD 的中点 （1）证明：CD平面 PAE； （2）若直线 PB 与平面 PAE 所成的角和 PB 与平面 A
10、BCD 所成的角相等，求四棱 锥 PABCD 的体积 21 （12 分）如图，三棱锥 PABC 中，PA平面 ABC，PA1，AB1，AC2， BAC60 ， （1）求三棱锥 PABC 的体积； （2）证明：在线段 PC 上存在点 M，使得 ACBM，并求 PM MC 的值 22 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形，已知 AB3，AD 2，PA2，PD2 2，PAB60 （1）求证：AD平面 PAB； （2）求异面直线 PC 与 AD 所成的角的正切值； （3）求二面角 PBDA 的正切值 2018-2019 学年必修二第二章训练卷 点点、直线、直线、平面之间的
11、位置关系平面之间的位置关系（一）（一） 答答 案案 一、选择题一、选择题（本大题共本大题共 1212 个小题，每小题个小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分，在每小题给出的四个分，在每小题给出的四个 选项中，只有一项是选项中，只有一项是符合题目要求的符合题目要求的） 1 【答案】D 【解析】由于 ADA1D1，则BAD 是异面直线 AB，A1D1所成的角， 很明显BAD90 故选 D 2 【答案】C 【解析】1直线 l 与平面 斜交时，在平面 内不存在与 l 平行的直线，A 错； 2l 时，在 内不存在直线与 l 异面，D 错； 3l 时，在 内不存在直线与 l 相交 无论哪种情形在
12、平面 内都有无数条直线与 l 垂直故选 C 3 【答案】C 【解析】直线 l 不平行于平面 ，可能直线 l 在平面 内，此时，在平面 内存在 与 l 平行的直线故选 C 4 【答案】A 【解析】因为 ，所以在 内找到一条直线 m，使 m， 又因为 l，所以 lm又因为l，所以 l，即； 因为 l，所以过 l 可作一平面 n，所以 ln， 又因为 l，所以 n，又因为 n，所以 ，即故选 A 5 【答案】B 【解析】 因为已知两条不相交的空间直线 a 和 b 所以可以在直线 a 上任取一点 A， 则Ab过 A 作直线 cb，则过 a，c 必存在平面 且使得 a，b 6 【答案】B 【解析】如图，
13、和 成 30 角的直线一定是以 A 为顶点的圆锥的母线所在直线， 当ABCACB30 且 BCl 时，直线 AC，AB 都满足条件，故选 B 7 【答案】C 【解析】显然 AB 与平面 相交，且交点是 AB 中点，AB，AC，DB，DC 四条直线 均与平面 相交在BCD 中，由已知得 EFBC，又 EF，BC， BC同理，AD，在题图中的 6 条直线中，与平面 平行的直线有 2 条， 故选 C 8 【答案】B 【解析】由题意知三棱锥 A1ABC 为正四面体，设棱长为 a，则 AB13a， 棱柱的高 A1O 22 1 A AAO 2 2 23 32 aa 6 3 a （即点 B1到底面 ABC
14、的 距离） ，故 AB1与底面 ABC 所成角的正弦值为 1 1 AO AB 2 3 故选 B 9 【答案】C 【解析】如图，由 ABBC1，ABC90 ，知 AC2 M 为 AC 的中点，MCAM 2 2 ，且 CMBM，AMBM， CMA 为二面角 CBMA 的平面角 AC1，MCMA 2 2 ，MC2MA2AC2，CMA90 ，故选 C 10 【答案】D 【解析】由勾股定理得 22222 =anbmAB又ab，mn 由已知得 sin b AB ，sin a AB ，而ab，sinsin，又 ，0, 2 ， 故选 D 11 【答案】C 【解析】应用验证法：选 G 点为 P 时，EFAB且
15、EFAB，此时恰有 AB和 AB 平行于平面 PEF，故选 C 12 【答案】D 【解析】由平面图形易知BDC90 平面 ABD平面 BCD，CDBD， CD平面 ABDCDAB又 ABAD，CDADD，AB平面 ADC 又 AB平面 ABC，平面 ADC平面 ABC故选 D 二、填空题二、填空题（本大题共本大题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，把正确答案填在题中横分，把正确答案填在题中横 线上线上） 13 【答案】30 ，90 【解析】直线 l 与平面 所成的 30 的角为 m 与 l 所成角的最小值，当 m 在 内适 当旋转就可以得到 lm，即 m 与 l
16、所成角的最大值为 90 14 【答案】90 【解析】因为 C1B1平面 ABB1A1，MN平面 ABB1A1，所以 C1B1MN 又因为 MNMB1， MB1， C1B1平面 C1MB1， MB1C1B1B1， 所以 MN平面 C1MB1， 所以 MNC1M，所以C1MN90 15 【答案】DMPC（或 BMPC） 【解析】连接 AC，则 BDAC，由 PA底面 ABCD，可知 BDPA，BD平面 PAC，BDPC故当 DMPC(或 BMPC)时，平面 MBD平面 PCD 16 【答案】 【解析】设截面与 DD1相交于 T，则 ATPQ，且 AT2PQDT2CQ 对于，当 1 0 2 CQ时，
17、则01DT，所以截面 S 为四边形，且 S 为梯形， 所以为真 对于，当 CQ 1 2 时，DT1，T 与 D 重合，截面 S 为四边形 APQD1， 所以 APD1Q，截面为等腰梯形，所以为真 对于，当 CQ 3 4 ，QC1 1 4 ，DT 3 2 ，D1T 1 2 ，利用三角形相似解得， C1R1 1 3 ，所以为真 对于，当 3 1 4 CQ时， 3 2 2 DT，截面 S 与线段 A1D1，D1C1相交，所以四边 形 S 为五边形，所以为假 对于，当 CQ1 时，Q 与 C1重合，截面 S 与线段 A1D1相交于中点 G，即即为 菱形 APC1G，对角线长度为2和3，S 的面积为 6
18、 2 ，所以为真， 综上，选 三、解答题三、解答题（本大题共本大题共 6 个小题，共个小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演分，解答应写出文字说明，证明过程或演 算步骤算步骤） 17 【答案】 （1）见解析； （2）见解析 【解析】 （1）在PAC 中，D、E 分别为 PC、AC 中点， 则 PADE，PA面 DEF，DE面 DEF，因此 PA面 DEF （2）DEF 中，DE 1 2 PA3，EF 1 2 BC4，DF5， DF2DE2EF2，DEEF，又 PAAC，DEAC DE面 ABC，面 BDE面 ABC 18 【答案】 （1）见解析； （2）见解析； （3） 2 2
19、5 【解析】 （1）证明：在直三棱柱 ABCA1B1C1中，底面三边长 AC3，BC4， AB5，ACBC又C1CACAC平面 BCC1B1BC1平面 BCC1B， ACBC1 （2）证明：设 CB1与 C1B 的交点为 E，连接 DE，又四边形 BCC1B1为正方形 D 是 AB 的中点，E 是 BC1的中点，DEAC1 DE平面 CDB1，AC1平面 CDB1，AC1平面 CDB1 （3）解：DEAC1，CED 为 AC1与 B1C 所成的角 在CED 中，ED 1 2 AC1 5 2 ，CD 1 2 AB 5 2 ，CE 1 2 CB12 2， 22 2 5 5 2 cosCED异面直线
20、 AC1与 B1C 所成角的余弦值为 2 2 5 19 【答案】 （1）见解析； （2） 3 6 【解析】 （1）在平面 ABC 内，过点 P 作直线 l 和 BC 平行理由如下： 由于直线 l 不在平面 A1BC 内，lBC，故直线 l 与平面 A1BC 平行 在ABC 中，ABAC，D 是线段 AC 的中点，ADBC，lAD 又AA1底面 ABC，AA1l而 AA1ADA，直线 l平面 ADD1A1 （2）过点 D 作 DEAC 于点 E侧棱 AA1底面 ABC， 三棱柱 ABCA1B1C1为直三棱柱，则易得 DE平面 AA1C1C 在 RtACD 中，AC2，CAD60 ，ADAC co
21、s60 1， DEAD sin60 3 2 SQA1C1 1 2 A1C1 AA1 1 2 2 11， 三棱锥 A1QC1D 的体积 1111 1 1 1133 1 3326 AQC DDQACQAC sVDEV 20 【答案】 （1）见解析； （2）128 5 15 【解析】 （1）证明：如下图所示，连接 AC，由 AB4，BC3，ABC90 ， 得 AC5又 AD5，E 是 CD 的中点，所以 CDAE PA平面 ABCD，CD平面 ABCD，所以 PACD 而 PA，AE 是平面 PAE 内的两条相交直线，所以 CD平面 PAE （2）过点 B 作 BGCD，分别与 AE，AD 相交于
22、F，G，连接 PF 由（1）CD平面 PAE 知，BG平面 PAE于是BPF 为直线 PB 与平面 PAE 所 成的角，且 BGAE由 PA平面 ABCD 知，PBA 为直线 PB 与平面 ABCD 所 成的角由题意，知PBABPF，因为sinPBA PA PB ，sinBPF BF PB ，所以 PABF 由DABABC90 ，知 ADBC，又 BGCD，所以四边形 BCDG 是平行四 边形，故 GDBC3于是 AG2在 RtBAG 中，AB4，AG2，BGAF， 所以 22 2 5ABBGAG， 2 168 5 52 5 AB BG BF于是 PABF 8 5 5 又梯形 ABCD 的面积
23、为 S 1 2 (53) 416， 所以四棱锥 PABCD 的体积为 V 1 3 S PA 1 3 168 5 5 128 5 15 21 【答案】 （1） 3 6 ； （2）见解析， 1 3 【解析】 （1）在ABC 中，AB1，AC2，BAC60 SABC 1 2 AB AC sinBAC 1 2 1 2 sin60 3 2 又PA面 ABC，PA 是三棱锥 PABC 的高， 1133 =1= 3326 ABCP ABC VPA S 三棱锥 （2）过点 B 作 BN 垂直 AC 于点 N，过 N 作 NMPA 交 PC 于 M， 则 MNABC ACABC 面 面 MNAC MNBNN A
24、CBMN BMBMN 面 面 ACBM， 此时 M 即为所找点， 在ABN 中， 易知 AN 1 2 CM PC CN AC 3 2 2 3 4 PM MC 1 3 22 【答案】 （1）见解析； （2） 7 2 ； （3） 39 4 【解析】 （1）证明：在PAD 中，PA2，AD2，PD2 2， PA2AD2PD2，ADPA在矩形 ABCD 中，ADAB PAABA，AD平面 PAB （2）BCAD，PCB 是异面直线 PC 与 AD 所成的角 在PAB 中，由余弦定理得 PB 22 2?cos= 7PAABPA ABPAB 由（1）知 AD平面 PAB，PB平面 PAB，ADPB，BCP
25、B， 则PBC 是直角三角形，故 tanPCB PB BC 7 2 异面直线 PC 与 AD 所成的角的正切值为 7 2 （3）过点 P 作 PHAB 于点 H，过点 H 作 HEBD 于点 E，连结 PE AD平面 PAB，PH平面 ABCD，ADPH 又ADABA，PH平面 ABCD 又PH平面 PHE，平面 PHE平面 ABCD 又平面 PHE平面 ABCDHE，BDHE，BD平面 PHE 而 PE平面 PHE，BDPE，故PEH 是二面角 PBDA 的平面角 由题设可得，PHPA sin60 3，AHPA cos60 1，BHABAH2， BD 22 = 13ABAD，HE AD BD BH 4 13 在 RtPHE 中，tanPEH PH HE 39 4 二面角 PBDA 的正切值为 39 4
