1、第 1页，共 7页 2018-2019 学年安徽省合肥市六校联盟高一（上）期末数学试卷学年安徽省合肥市六校联盟高一（上）期末数学试卷 一、选择题（本大题共 10 小题，共 40.0 分） 1.已知集合 M=-1，0，1，N=y|y=x2-1，xM，则 MN 等于（） A.0，B.C.D. 2.已知向量 =（1，m）， =（2，-4），若 ，则实数 m=（） A.2B.C.D. 3.已知 cos（-）=- ，则 sin（+ ）=（） A.B.C.D. 4.点 P 从点 O 出发，按逆时针方向沿周长为 10 的图形运动一周，O，P 两点间 距离 y 与点 P 走过的路程 x 的函数关系如图，则点
2、P 所走的图形是（） A. B. C. D. 5.已知 a=log1.2，b=（ ）-0.8，c=1.2，则 a，b，c 的大小关系为（） A.B.C.D. 6.设函数 f（x）=2sin（x+）（0，0 ），已知函数 f（x）的图象相邻的两个对称中心的距离 是 2，且当 x= 时，f（x）取得最大值，则下列结论正确的是（） A.函数的最小正周期是B.函数在上单调递增 C.的图象关于直线对称D.的图象关于点对称 7.设 cos2019=a，则（） A.B.C.D. 8.已知 sin（+）= ，sin（-）= ，则 log（）=（） A.B.C.2D. 9.函数 f（x）=1-cos x-log
3、4|x|的所有零点之和等于（） A.0B.8C.14D.18 10. 已知函数 f（x）=，则方程 f（f（a）=1 的 a 的个数是（） A.5B.4C.3D.2 二、填空题（本大题共 5 小题，共 20.0 分） 11. 计算：（ ）-2+8-（lg5+lg20）=_ 12. 若幂函数 y=（k-2）xm-1（k，mR）的图象过点（），则 k+m=_ 13. 已知函数 f（x）=sinxcosx+cos2x-在 x=时取得最大值，则 cos（4+ ）=_ 14. 平行四边形 ABCD 中，E 为 BC 的中点，若=+，则+=_ 15. 已知函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，对任意的
4、xR，均有 f（x+2）=f（x），当 x0，1）时，f（x） =10x-10，则 f（lg2019）_ 三、解答题（本大题共 5 小题，共 60.0 分） 16. 已知函数 f（x）=2x- （1）判断 f（x）在其定义域上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论； 第 2页，共 7页 （2）解关于 x 的不等式 f（log2x）f（1） 17. 已知函数 （1）若 a=1，求函数 f（x）的零点； （2）若函数 f（x）在-7，+）上为增函数，求 a 的取值范围 18. 已知 ， ， 是共面的三个向量，其中 =（1，2），| |=，| |=2且 与 反向 （1）求| - |； （2）若 +2
5、 与 2 -3 垂直，求 （ + ）的值 19. 已知函数 f（x）=2sin（2x+ ） （1）写出由函数 y=sinx 的图象，经过怎样的变换得到 f（x）的图象； （2）若方程 f（x）-a=0 在0， 上有解，求实数 a 的取值范围 20. 如图，以坐标原点 O 为圆心的单位圆与 x 轴正半轴相交于点 A，点 B、M 在单位圆上，且 B（）， M（-，），BOM= （1）求 tan的值； （2）若 OC 为AOB 的平分线，点 P 在劣弧上运动，且 EPOC 交 OA 于点 E，EPQF 为扇形 OAB 的内接矩形，记POC=，求角为何值时，矩形 EPQF 的面积最大？并求出这个最大面
6、积 第 3页，共 7页 答案和解析答案和解析 1.【答案】B 【解析】 解：集合 M=-1，0，1， N=y|y=x2-1，xM=-1，0， MN=-1，0 故选：B 分别求出集合 M，N，由此能求出 MN 本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 2.【答案】D 【解析】 解：向量=（1，m），=（2，-4）， 若，则 2m-1（-4）=0， 解得 m=-2 故选：D 根据两向量平行的坐标表示，列方程求出 m 的值 本题考查了平面向量的共线定理应用问题，是基础题 3.【答案】B 【解析】 解：cos（-）=-， cos=， sin（+）=cos= 故选：B 由已
7、知利用诱导公式即可求解 本题主要考查了诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题 4.【答案】C 【解析】 解：观察函数的运动图象，可以发现两个显著特点： 点 P 运动到周长的一半即 x=5 时，OP 最大； 点 P 的运动图象是抛物线 A，B 对应的图象一开始为直线，排除 A，B， 选项 D 中，OMOP，不符合条件，排除 D， 故选：C 认真观察函数的图象，根据其运动特点，采用排除法求解 本题考查动点问题的函数图象，考查对于运动问题的深刻理解，解题关键是认真分析函数图象 的特点选项 C 中出现了椭圆，增加了试题的难度 5.【答案】B 【解析】 解：a=log 1.20，
8、 b=（）-0.81 c=1.2（0，1）， 故 acb， 故选：B 根据指数函数和对数函数的单调性，分析三个式子值的范围，可得答案 本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，难度中档 6.【答案】A 【解析】 解：由题意，f（x）的最小正周期为 4， =， 当 x=时，f（x）取得最大值即+=2k+，kZ =2k+，kZ 0， 可得：= 那么 f（x）=2sin（x+）， 对于 A，正确； 对于 B，当 x0，x+，由正弦函数的单调性可知错误； 对于 C，由 2sin（+）2，故错误； 对于 D，由 2sin（+）0，故错误； 故选：A 根据 f（x）的最小正周期为 4，可得，当 x=时，f（
9、x）取得最大值可得的值，得到了 f（x）的 解析式，利用正弦函数的性质逐项判断即可 本题考查了三角函数的图象变换规律，以及正弦函数的性质的应用，属于基础题 第 4页，共 7页 7.【答案】A 【解析】 解：39（30，45）， cos39（，），可得：-cos39（-，-）， a=cos2019=cos（3605+180+39）=-cos39（-，-） 故选：A 根据角的范围和余弦函数的图象和性质可求 cos39（，），根据诱导公式化简已知即可 求解 本题主要考查了余弦函数的图象和性质，诱导公式在解题中的应用，属于基础题 8.【答案】C 【解析】 解：已知 sin（+）=，sin（-）=，si
10、ncos+cossin=，sincos-cossin=， sincos=，cossin=，相除可得=7， 则 log（）=2， 故选：C 由题意利用两角和差的正弦公式，求得 sincos和 cossin，相除可得的值，从而得到要 求式子的值 本题主要考查两角和的三角公式的应用，属于基础题 9.【答案】A 【解析】 解：根据题意，函数 f（x）=1-cosx-log4|x|， 有 f（-x）=1-cos（-）-log4|-x|=1-cosx-log4|x|=f（x）， 则 f（x）为偶函数， 则函数 f（x）=1-cosx-log4|x|的零点也关于原点对称，则其所有零点之和等于 0； 故选：A
11、 根据题意，由函数的解析式可得 f（-x）=f（x），可得函数 f（x）为偶函数，结合偶函数的性质分析 可得答案 本题考查函数奇偶性的性质以及应用，注意分析函数 f（x）的奇偶性 10.【答案】B 【解析】 解：设 t=f（a）， 解方程 f（t）=1，得：t1=1，t2=2， 方程 f（f（a）=1 的 a 的个数等价于 t=f（a）的图象 与直线，t1=1 和 t2=2 的交点个数之和， 由图可知：t=f（a）的图象与直线，t1=1 和 t2=2 的 交点个数之和为 4， 故选：B 由方程的解的个数与函数图象交点个数的关系 得：方程 f（f（a）=1 的 a 的个数等价于 t=f（a）的
12、图象与直线，t1=1 和 t2=2 的交点个数之和， 再结合数形结合的数学思想方法作 t=f（a）的图象与直线，t1=1 和 t2=2 的图象观察即可得解 本题考查了数形结合的数学思想方法及方程的解的个数与函数图象交点个数的关系，属中档 题 11.【答案】6 【解析】 解：（）-2+8 -（lg5+lg20） =4+4-2 =6 故答案为：6 利用指数、对数的性质、运算法则直接求解 本题考查指数式、对数式化简求值，考查指数、对数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求 解能力，是基础题 12.【答案】2 【解析】 解：函数为幂函数，则 k-2=1，得 k=3， 则幂函数为 y=f（x）=xm-1
13、， 函数过点（）， f（）=（）m-1=4，即 21-m=4， 得 1-m=2， 得 m=1-2=-1， 则 k+m=3-1=2 故答案为：2 第 5页，共 7页 根据幂函数的定义求出 k 的值，结合幂函数过定点，代入求出 m 的值即可 本题主要考查幂函数的应用，结合漫幂函数的定义求出 k，m 是解决本题的关键 13.【答案】0 【解析】 解：函数函数 f（x）=sinxcosx+cos2x-= =， 故当 2+=2k+，kZ，即=k+，kZ 时，函数 f（x）取得最大值为 1 则 cos（4+）=cos（4k+）=cos（）=0 故答案为：0 利用辅助角公式化简函数的解析式为函数 f（x）s
14、in（2x+）由题意可得 2+=2k+， kZ，求出，再代入 cos（4+）求解即可 本题主要考查辅助角公式的应用，正弦函数的最大值，两角和的余弦函数公式，属于中档题 14.【答案】1 【解析】 解：根据题意得，=+ =- +=）+（-）=（+）+（-）= +=1 故答案为：1 运用向量的数乘运算可解决此问题 本题考查向量的数乘运算的简单应用 15.【答案】- 【解析】 解：根据题意，f（x+2）=f（x），则 f（x）是周期为 2 的周期函数， 又由 lg103lg2019lg104，即 3lg20194，则-1lg2019-40， 又由函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数， 则 f（lg
15、2019）=f（lg2019-4）=-f（4-lg2019）， 若 x0，1）时，f（x）=10x-10，则 f（4-lg2019）=104-lg2019-10=-10=， 则 f（lg2019）=-， 故答案为：- 根据题意，分析可得 f（x）是周期为 2 的周期函数，分析 lg2019 的范围，结合函数的奇偶性可得 f（lg2019）=f（lg2019-4）=-f（4-lg2019），结合函数的解析式计算 f（4-lg2019）的值，变形可得答 案 本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及对数的运算性质，属于基础题 16.【答案】解：（1）f（-x）=2-x-2x=-（2x- ）=-f（x）
16、，则函数 f（x）是奇函数， 则当 x0 时，设 0x1x2， 则 f（x1）-f（x2）=-+=-+ =（-）， 0x1x2， 1，即-0，1， 则 f（x1）-f（x2）0，即 f（x1）f（x2）， 则 f（x）在0，+）上是增函数， f（x）是 R 上的奇函数， f（x）在 R 上是增函数 （2）f（x）在 R 上是增函数， 不等式 f（log2x）f（1）等价为不等式 log2x1， 即 0x2 即不等式的解集为（0，2） 【解析】 （1）先判断函数的奇偶性，然后利用函数单调性的定义进行证明即可 （2）利用函数单调性的性质将不等式进行转化求解即可 本题考查函数的单调性的判定以及应用，
17、关键是分析证明函数 f（x）的单调性利用函数单调性 的定义是解决本题的关键 17.【答案】解：（1）若 a=1，则 当 x1 时，由得，x=2；（2 分） 当 x1 时，由 x2+2x=0 得，x=0 或 x=-2（4 分） 所以，f（x）的零点为-2，0，2（6 分） （2）显然，函数在1，+）上递增，且 g（1）=-2； 函数 h（x）=x2+2ax-3a+3 在-a，1上递增，且 h（1）=4-a 故若函数 f（x）在-7，+）上为增函数， 第 6页，共 7页 则， a7（10 分） 故 a 的取值范围为7，+）（12 分） 【解析】 （1）利用分段函数，分段求解函数的零点即可 （2）利
18、用函数的单调性，列出不等式组，求解即可 本题考查分段函数的应用，函数的单调性的应用，考查转化思想以及计算能力 18.【答案】解： =（1，2），| |=2且 与 反向， = ，0， | |=| |， 2=|， 解得=-2， =-2（1，2）=（-2，-4）， - =（-3，-6） | - |=3 （2） +2 与 2 -3 垂直， （ +2 ）（2 -3 ）=2-6+ =0， =63-25=8， （ + ）= + =8+（1，2）（-3，-6）=8-3-12=-7 【解析】 （1）先求出向量的 C 的坐标，再根据向量的坐标运算和向量模即可求出， （2）根据向量的垂直求出=8，再根据向量的数量积
19、即可求出 本题考查了向量的模的运算向量的数量积和向量的坐标运算，属于基础题 19.【答案】（本题满分为 10 分） 解：（1）把函数 y=sinx 的图象向左平移 的单位，可得函数 y=sin（x+ ）的图象， 再把所得图象上点的横坐标变为原来的 倍，可得函数 ysin（2x+ ）的图象 再把所得图象上点的纵坐标变为原来的 2 倍，可得函数 f（x）2sin（2x+ ）的图象（5 分） （2）x0， ，可得：2x+ ， sin（2x+ ）- ，1， 方程 f（x）=a 在 x0， 上有解， 实数 a 的取值范围为：- ，1；（10 分） 【解析】 （1）根据函数 y=Asin（x+）的图象变换
20、规律，得出结论 （2）利用三角函数的图象与性质即可求出 a 的取值范围； 本题主要考查由函数 y=Asin（x+）的部分图象求解析式，函数 y=Asin（x+）的图象变换规 律，正弦函数的减区间，属于中档题 20.【答案】解：（1）由题意知，tanBOA=， tanMOA=-2， 又BOM=， tan=tan（MOA-BOA）=； （2）由条件得AOB= ，AOC= ， 且 CP=sin， EP=cos-=cos-sin， 矩形 EPQF 的面积为 S（）=2CPEP =2sin（cos-sin） =2sincos-2sin2 =sin2-（1-cos2） =2sin（2+ ）-， 当 2+ = ，即= 时，矩形 EPQF 的面积取得最大值，为 2- 【解析】 （1）由题意知 tanBOA 和 tanMOA 的值，利用两角差的正切公式计算 tan的值； 第 7页，共 7页 （2）用的三角函数值表示出 CP、EP 的值，求出矩形 EPQF 的面积，计算它的最大值以及对应 的值 本题考查了三角函数的运算与性质的应用问题，也考查了矩形的面积计算问题和两角和与差 的运算问题，是中档题
