1、? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
2、? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?槡 ? ? ? ?槡 ? ? ? ?槡 ? ? ? ?槡 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
3、? ?槡? ? ? ? ?槡? ? ? ?槡? ? ?槡? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?槡? ? ? ? ?槡? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
4、? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?槡? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
5、? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 槡? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 理科数学试题第 1页（共 4页） 2019 冬季联赛高二理科数学参考答案及解析20
6、19 冬季联赛高二理科数学参考答案及解析 一、选择题：本大题共 12 个题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1 【答案】CAB 0,1,2 2 【答案】A ln0x 01x，|1| 2x31x ，而区间(0,1)( 3,1) ，故“ln0x ”是 “|1| 2x”的充分不必要条件 3 【答案】C 选项 A，反例为直棱柱两相邻侧面与其底面；选项 B，反例为圆锥的母线与其底面；选项 C，这 两条直线均平行于二面的交线即可；选项 D，反例为直线在平面内的情形 4 【答案】B 取PB的中点N， 则CMN为异面直线PA与CM所成角， 设正四面体的棱长
7、为2， 则1MN ， 3CMCN，于是 3 cos 6 CMN 5 【答案】D 该几何体由一个半径为1的半球和一个直径与高都为2的半圆柱组合而成的组合体，其表面积为 (2)(24)54 22 6 【答案】A 由 1 2 2 k x 得 函 数( )f x的 对 称 中 心 为 1 1 (,0)() 4 k k Z， 故 函 数( )g x的 对 称 中 心 为 2 2 (,0)() 43 k k Z，所以 21 | | |() 4343 kkk abk Z，取1k 得最小值为 12 7 【答案】B 令1m 得 1 21 nn aa ，所以 1 12(1) nn aa ，1 n a 成等比数列，
8、于是不难求得 21 n n a ， 6 63a 8 【答案】A 由题，原点O到直线:0AB xaya的距离 2 2 1 1 a a a ，解得 2 a 15 2 9.【答案】C 令e ,e xy ab， 则,0a b 且2ab， 于 是 2 2 1e ee xy ab 2 1 1e ()() 2 ab ab 2 2 1e (1 e) 2 ba ab 22 2 1e(1 e) (1 e2) 22 ba ab ，当且仅当eba时等号成立 10【答案】D 设,()P x y，由 22 |12|PAPB可得点P在圆 22 :14()E xy上，由题可知E与圆 22 :(2)4C xya相切，故41a或
9、9，即3a 或5 11【答案】B 理科数学试题第 2页（共 4页） 1 2 把函数(21)yfx的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位，即可得到函数 ( )(2 ) 1g xfx的图象，故( )g x的图象关于直线对称，故选 B 12【答案】D 考虑函数ln1(0)yaxx与 2 4(0)yxaxx的图象，不难知它们有公共的零点t时， ( )0f x 恒成立于是， 2 4eatt，解得 e 4e a 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13 【答案】 7 9 由2sin()cos()3sin1 2 xxx 得 1 sin 3 x ，故 2 7 cos21 2sin
10、9 xx 14.【答案】4,) 由题， 1 y a x ，作出不等式组所表示的平面区域可知， 1 y x 表示区域内的点与点( 1,0)连线 的斜率，当( , )x y取点时(0,4)时， 1 y x 的最大值为4，所以4,)a 15【答案】131 2 |32|14(64 )abccab ，而|64 | 2 13ab ，设向量c 与64ab 的夹角为则 |32|142 13cosabc ，当时，|32|abc 取最大为131 16【答案】164 3 设过点,C M N的平面与棱 11 AD交于点P，则NPCM，故 1 1D P 体积较小的那部分为三 棱台 1 D NPDCM，该三棱台的体积为
11、128 (11 44) 4 33 ，所以体积较大的那部分的体积为 3 28164 4 33 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 （10 分） 【解析】命题p为真时，sin3cos2sin()(3,1) 3 ，1a 命题q为真时，由 2 (2 )1a得 1 2 a ，经检验， 1 2 a 时两直线重合，故 1 2 a pq为真命题，pq为假命题，命题, p q一真一假， 11 (,)(,1) 22 a （10 分） 1 2 x 理科数学试题第 3页（共 4页） 18 （12 分） 【解析】 （1）由正弦定理， sin 2(sincossincos) sin(
12、90 ) C ABBA C ， 即 sin 2sin() cos C AB C ，所以 1 cos 2 C ，60C（6 分） （2）因为60C，由余弦定理， 222 9ababc， 再有 222222 coscos0 22 ADCDbBDCDa ADCBDC AD CDBD CD ， 得 22 25 2 ab，于是 7 2 ab ， 17 3 sin 28 ABC SabC （12 分） 19 （12 分） 【解析】 （1）由已知得 12 1aa， 212 2(21) 143 nn aann ， 故 21234212 ()()() nnn Saaaaaa 2 (42) (21)2 2 nn
13、nnnn （6 分） （2）由 2 2(21) 2 nn n n S bn n ，可得 123 1 23 25 2(21) 2 n n Tn ， 231 21 23 2(23) 2(21) 2 nn n Tnn ， 由错位相减法得: 1 (23) 26 n n Tn （12 分） 20 （12 分） 【解析】 （1）由题，侧面 11 ABB A与 11 ACC A为全等的直角梯形， 易求 111 2AAABAC，又2ABBCCA， 故 222222 1111 ,ABAAABACAAAC， 1111 ,AAAB AAAC， 1 AA 平面 1 ABC （6 分） （2）取 11 ,BC BC的中
14、点 1 ,D D，连接 11 ,AD AD，ABC为等边三角形， 易知ADBC，侧面 11 BCC B为等腰梯形，故 1 D DBC， 则在四边形 11 ADD A中， 1 ADD即为二面角 1 ABCB的平面角， 易求 1 1 cos 3 ADD （12 分） 1 A 1 B 1 C A B C 理科数学试题第 4页（共 4页） 21 （12 分） 【解析】 （1） () () amam ba bmbbm b ，因为, ,0a b m ， 当ab时， aam bbm ；当ab时， aam bbm ；当ab时， aam bbm （6 分） （2）由（1）中结论，对于正整数2kn， 211 2
15、nk nk ， 取,1,21kn nn，得： 211 212212 , 221221 nnnnnn nnnnnn ， 以上n个式子相乘得 1122 (1)2 2121 n nnn nnnn （12 分） 22 （12 分） 【解析】 （1） 由题， 当,A B位于椭圆的短轴端点时， 凸四边形 12 AFBF的面积最大为2bcac， 所以 1 2 b a ， 2 2 3 1 2 b e a （5 分） （2）由（1）可设椭圆的方程为 222 44xyb，将点 3 (1,) 2 代入得椭圆 22 :44xy 由题意可知，直线AB的斜率存在且不为0，故可设直线l的方程为(0)ykxm m， 1122
16、 ( ,), (,)A x yB xy满足 22 440 ykxm xy ，消去y得 222 (14)84(1)0kxkmxm 222222 6416(14)(1)16(41)0k mkmkm ， 且 12 2 8 14 km xx k ， 2 1 2 2 4(1) 14 m x x k ， 22 12121212 ()()()y ykxm kxmk x xkm xxm 因为直线,OA AB OB的斜率依次成等比数列，所以 2 22 121 212 121 2 ()yyk x xkm xxm xxx x k ，即 2 22 2 8 14 0 k m k m ，又0m，所以 2 1 4 k ，即 1 2 k 由于直线,OA OB的斜率存在，且0 ，得 2 02m且 2 1m 设d为点O到直线AB的距离，则 2 12 2 11| |1| 22 1 OAB m Sd ABkxx k 2 1212 22 (2) 1 |()4 2 mmmxxx x， 所以 OAB S的取值范围为(0,1)（12 分）
