1、 第第十二讲十二讲 不定方程不定方程 先看一个问题：老师和小王开了一个玩笑。他对小王说，我左、右两个手心里各写了一 个整数，它们的和是 10，你能猜出左、右手心各写的是什么整数吗？ 小王满有信心地说：能行。于是小王连续猜了三次。 第一次猜：左手心写的是 9，右手心写的是 1，老师说不对； 第二次猜：左手心写的是 5，右手心写的是 5，老师说不对； 第三次猜：左手心写的是 7，右手心写的是 3，老师说还是不对。 其实我们已经知道，这个问题的答案有许多个，不要说猜三次，就是再猜几次，可能还 是没有恰好猜出来。 如果设左、右手心写的整数分别为 x、y，那么可以列出方程 x+y=10。 由于未知数的个
2、数比方程的个数多， 于是得到的解不是唯一的， 即使再加一些附加条件， 可能还是不容易得到合理的答案。 一般情况， 我们把求这类方程整数解的问题叫做不定方程。 我们再考虑一个实际问题：在长为 158 米的地段铺设水管，用的是长度为 17 米和 8 米 的两种同样粗细的水管，问两种水管各用多少根（不截断）正好铺足 158 米长的地段。 由于总长度是 158 米， 那么 17 米长的水管至多用 9 根， 可以假设 17 米长的水管用了 9、 8、7、6、5、4、3、2、1 根，再看剩下的长度是否恰好是 8 的整数倍。 这个办法是将 17 米长的水管的各种可能性逐个列举，再看哪种情况合适，这种方法叫
3、做“穷举法”。当可取的情况很多时，这种方法当然不能令人满意，如果情况种类不太多， 这种方法还是可行的。21 世纪教育网版权所有 如设 17 米长的水管用了 x 根，8 米长的水管用了 y 根，可以列出方程 17x+8y=158， （1） 本题要求这个方程的整数解。 我们用下面的方法来求这个方程的整数解。先将方程变形为： 8y=15817x， （2） 8y=152+616xx （3） 由于 152 和 16x 都是 8 的倍数，因此 6x 也应该是 8 的倍数，x 只能取 6 才有可能，用 6 代入（2）中，可以解出 y=7，所以 17 米长的水管用了 6 根，8 米长的水管用了 7 根。 也可
4、以由方程（2）两端同除以 8 得 158 17 8 x y ， （4） 所以 1526 16 8 xx y （5） 6 192 8 x yx （6） 由于 x、 y 均为整数， 192x 也是整数， 故可知 6 8 x 也是整数， 显然只有当 x=6 时， 6 8 x 为整数，此时 6 8 x =0，y=1926=7。 这种解法叫做整数离析法或整数分离法。 一二元一次不定方程 象上面讲到的 17x+8y=158 这种方程中，有两个未知数，每个未知数的次数都是一次的 方程叫做二元一次方程。2 1 c n j y 一般地，形如 ax+by=c 的方程中，其中 a、b、c 为整数，且 a、b 均不为
5、零，称为未知 数 x、y 的二元一次不定方程，人们关心的常是求二元一次不定方程的整数解或正整数解。 对于上述方程通常要考虑下面几个问题： 1a、b、c 是什么样的整数时，方程有整数解或者无整数解； 2如果有整数解，将有多少整数解？是否有解的统一表示办法？ 3如何求出所有的解。 我们曾用整数离析法求出了 17x+8y=158 的一组正整数解 x=6，y=7。是否还有其他的正 整数解呢？www.21-cn- 以上三个问题全部解决，这个问题才算解答完毕。下面我们将通过例题把一些主要结 论介绍给大家。 如求二元一次不定方程 3x+9y=23 的整数解。 容易看到等号左端当 x、y 为整数时，能被 3
6、整除，但右边的 23 不能被 3 整除，故左右 两端不可能相等，方程没有整数解。 21*cnjy*com 一般地，当(a，b)|c 时(a，b)表示的是 a 与 b 的最大公约数，方程 ax+by=c 无整数解。 理由是当 x、y 为整数时，左式是(a，b)的倍数，但右端却不是(a，b)的倍数，所有原方程无 整数解。【来源：21cnj*y.co*m】 再看二元一次不定方程 6x+9y=21，由于(6，9)=3，而 3|21，在这种情况下，方程有无整 数解呢？21 教育名师原创作品 在方程两端同除以(6，9)=3，得 2x+3y=7，容易看出 x=2，y=1 就是这个方程的一个整 数解。由于知识
7、的限制，现在我们所学的整数只有零和自然数。在此范围内，方程可能只有 一个或几个解，甚至于可能没有解，但如果数的范围加入了负数，那么只要(a，b)|c，方程 就一定有解。21*cnjy*com 例如 21x+18y=3，这个方程中，(a，b)=(21，18)=3，方程可以变形为 7x+6y=1，这个方 程在零和自然数的范围内无整数解，在中学学习负数的概念后，还可以找到方程的整数解。 在本讲中我们只讨论用小学知识可以求解的题目，但给出的公式却具有一般性。 在 ax+by=c 中，如果(a，b)=c，那么方程两端同除以(a，b)后得 a1x+b1y=c1，如 x=x0， y=y0是方程 a1x+b1
8、y=c1的一组解，那么方程的所有解为 01 01 xxbt yyat ，其中 t 可以取任意整 数（包括负整数）。2-1-c-n-j-y 这就是说，如果能求出一组解 x=x0，y=y0，就可以直接写出方程 a1x+b1y=c1的所有解。 如求方程 4x+3y=17 的所有整数解。 由于(4，3)=1，1|17，故这个方程肯定有整数解。 容易看到 x=2，y=3 是方程的一个解，那么 4x+3y=17 的所有解是 23 34 xt yt ，其中 t 可以取任意整数。 当 t=0 时的解即为 x=2，y=3，但当 t 为正整数时，x 为正整数，y 却不是正整数了。 例 1大汽车能容纳 54 人，小
9、汽车能容纳 36 人，现有 378 人要乘车，问要大、小汽车 各几辆才能使每个人都能上车且各车都正好坐满。 解：设需要大汽车 x 辆，小汽车 y 辆，可得方程 54x+36y=378， 由(54，36)=18，18|378，原方程可以化为 3x+2y=21，且一定有整数解。 容易看到x=1， y=9就是3x+2y=21的整数解， 那么3x+2y=21的所有整数解为 12 93 xt yt ， t 为任意整数。 方程 3x+2y=21 除了 t=0 时，有整数解 x=1，y=9 之外，还有 当 t=1 时，有整数解 x=3，y=6； 当 t=2 时，有整数解 x=5，y=3； 当 t=3 时，有
10、整数解 x=7，y=0； 因此可以要大车 1 辆，小车 9 辆；或大车 3 辆，小车 6 辆；或大车 5 辆，小车 3 辆； 或大车 7 辆，小车 0 辆都能使每个人都上车且各车都正好坐满。 当 t4 时，由于 y 不再是零和正整数，从而使解失去了实际意义。 例 2解不定方程 31x+47y=265。 解：由于(31，47)=1，1|265，所以方程肯定有整数解，但要想看出一组整数解来却并不 容易，我们又不想用 x 依次取 0、1、2、3、去试求 y 的值，看看 y 什么时候会成为整 数。于是还是采用整数分离法来求这个方程的一组整数解。 将原方程变形为：31x=26547y， 两边同除以 31
11、，得 26547 31 y x ， 248+173116 31 yy x ， 17 16 8 31 y xy ， 由于 x，y 都是整数，必有17 16 31 y 为整数。 设 17 16 31 y k ，所以 31k=1716y，16y=1731k， 1731 16 k y ， 16+1 32 + 16 k k y ， 1 12 16 k yk ，由于 y，k 都是整数，所以 1 16 k 必为整数， 设 t= 1 16 k ，k=16t1，将 k=16t1 代入到 1 12 16 k yk 中， 得 y=12(16t1)+t，即 y=331t，再代入到 17 16 8 31 y xy 中
12、得 x=8(331t)+(16t1)，得 x=47t+4， 即原方程的解是 447 3 31 xt yt ，其中 t 为任意整数。 从上式可以看出当 t=0 时，x=4，y=3 是原方程的一组正整数解。且只有这一组正整数 解。 例 3解不定方程 5x+7y=978，并求正整数解的个数。 解：由于(5，7)=1，且 1|978，所以原方程一定有整数解。 由 5x=9787y 得 9787 5 y x ， 975+352 5 yy x ， 32 195 5 y xy ， 令 32 5 y k ， 所 以5k=32y ， 2y=35k ， 352 1 4 22 kkk y ， 1 12 2 k yk
13、 ， 令 1 2 k t ，于是 k=12t，把 k=12t 代入到 1 12 2 k yk 中，得 y=12(12t)+t， 即 y=5t1， 把 y=5t1 和 k=12t 代入到 32 195 5 y xy 中， 得 x=195(5t1)+(12t)， 即 x=1977t。 所以原方程的解是 1977 51 xt yt ，t 为任意整数。 要求原方程的正整数解的个数，应满足 19770 510 t t ，解得 197 7 1 5 t t ， 即 11 18 57 t ，满足这个条件的整数 t 有 1、2、3、28，一共有 28 个。 所以原方程有 28 组正整数解。 二三元一次不定方程组
14、 先从一个古代问题谈起。 “一百匹马驮一百块瓦。 大马驮三片， 中马驮两片， 两匹小马驮一片， 最后不剩马和瓦， 问有多少大马、中马和小马？”【来源：21世纪教育网】 解：设大马、中马、小马分别有 x、y、z，列出的方程是 x+y+z=100（1）和 3x+2y+ 1 2 z=100（2）. 由（1）和（2）组成的三元一次方程组比起二元一次方程多了一个方程，多了一个未知 数，设法消去一个未知数化为二元一次方程，求解后再求出消去的第三个未知数的值。 由（2）得 6x+4y+z=200 (3) （3）（1）得 5x+3y=100， 由(5，3)=1，1|100，所以此方程一定有整数解。 由 3y=
15、1005x 得 10055(20) 33 xx y ，因为 y 是整数，所以 3|(20x)， 当 x 依次取 2、5、8、11、14、17、20 时，y 依次取得 30、25、20、15、10、5、0。 把它们代入（1）依次得 z=68、70、72、74、76、78、80。 即原方程组有七组解 2 30 68 x y z ， 5 25 70 x y z ， 8 20 72 x y z ， 11 15 74 x y z ， 14 10 76 x y z ， 17 5 78 x y z ， 20 0 80 x y z 。 不过 y=0 说明不用中马，作为求正整数解可以不考虑。 例 4如果 1 只
16、兔可以换 2 只鸡，2 只兔可以换 3 只鸭，5 只兔可以换 7 只鹅，某人用 20 只兔换了鸡、鸭、鹅共 30 只，问其中鸡、鸭、鹅各多少只？21 教育网 解：设鸡、鸭、鹅的数目分别是 x、y、z， 则 30 125 20 237 xyz xyz ， 1 2 （） （ ） 方程（2）可以化为 21z+28y+30z=840 （3） 方程（1）化为 21x+21y+21z=630 （4） （3）（4）得 7y+9z=210 （5） 由（5）得 21099 30 77 zz y ，由于 y 是整数，所以 z 一定是 7 的倍数， 当 z 分别是 7、14、21 时，y 依次得 21、12、3，
17、代入到（1）中解得 x 依次为 2、4、6。 所以原方程有三组解 2 21 7 x y z ， 4 12 14 x y z ， 6 3 21 x y z 。 练练 习习 题题 1将 118 写成两个整数的和，使得一个整数是 11 的倍数，另一个整数是 17 的倍数。 解：设一个整数是 11 的 x 倍，另一个整数是 17 的 y 倍，则 11x+17y=118， 由于(11，17)=1，1|118，所以该不定方程一定有整数解。 11x=11817y， 118 171108 11686 10 111111 yyyy xy ， 由于 x，y 是整数，所以 86 11 y 也是整数。设 k= 86
18、11 y ，得 11k=86y， 6y=811k， 8 1162 122 1 2 666 kkkk yk ， 2 6 k 是整数， 令 t= 2 6 k ，所以 k=6t2，代入得 y=12(6t2)+t=511t，x=10(511t)+(6t2)=3+17t。 所以方程的解是 3 17 5 11 xt yt ， 当 t=0 时，x=3，y=5。即 118=311+517。 2不定方程 5x14y=11 的最小正整数解是 x= ；y= 。 解：5x=11+14y， 11 1410 1 151 23 555 yyyy xy ， 所以1 5 y 是整数，当 y=1 时，x=5。所以最小正整数解是
19、x=5，y=1。 3解不定方程 7x+11y=1288，并确定正整数解的组数是 组。 解：7x=128811y， 1288 113 1842 77 yy xy ，当 y=0 时，解得 x=184， 所以 x=184，y=0 是一组整数解，原方程的所有解是 184 11 7 xt yt ，其中 t 是整数。 对于正整数解的条件式 184 110 70 t t ，解得 8 1611 0 t t ，所以 t 可以取 1、2、3、 15、16，一共 16 个整数，所以原方程有 16 组正整数解。【出处：21 教育名师】 4大小两种盒子，大盒可装 48 粒巧克力，小盒可装 30 粒巧克力，现有 306
20、粒巧克力，问 要大、小盒子各几个才能将巧克力全部装入盒内，且每盒都装满。【版权所有：21 教育】 解：设需要大盒子 x 个，小盒子 y 个，则 48x+30y=306， 因为(48，30)=6，6|306，方程两边同除以 6 得 8x+5y=51， 51 5483 8333 6 888 yyyy xy ， 因为 x，y 都是整数，所以 33 8 y 是整数。可以看出当 y=7 时，x=2 是原方程的一组解， 所以原方程的所有解是 25 78 xt yt ，且只有这一组正整数解， 答：需要 2 个大盒子和 7 个小盒子。 5三元一次方程组 57325 362 xyz xyz 的正整数解是 。 解
21、：把方程（1）乘以 2 得 10x+14y+6z=25，与第二个方程相加得 13x+13y=52， 两边同除以 13 得 x+y=4，所以正整数解为 1 3 x y ， 2 2 x y ， 3 1 x y ， 把它们代入到方程（2）中分别得 z= 1 3 ，z= 1 3 ，z=1. 所以原方程的正整数解只有 x=3，y=1，z=1。 6在 1500 年前的“张立建算经”里，曾提出“百钱买百鸡”这个有名的数学问题：“今有 鸡翁一值钱五， 鸡母一值钱三， 鸡雏三值钱一， 凡百钱买百鸡， 问鸡翁、 鸡母、 鸡雏各几何？” 解：设有鸡翁 x 只，鸡母 y 只，鸡雏 z 只， 则 100 53100 3
22、 xyz z xy ，把方程（2）乘以 3 得 15x+9y+z=300， （3） 方程（3）减去方程（1）得 14x+8y=200，(14，8)=2， 2|200， 所以方程两边同除以 2 得 7x+4y=100，可以看出当 x=0，y=25 时是方程的一组解， 所以该方程的所有解是 4 257 xt yt ，其中 t 是整数， 代入到（1）中，可以解得 z=75+3t，求原方程的正整数解， 条件是 0 4 3 7 t t ， 当 t=1 时， 有 4 18 x y ， 此时 z=78； 当 t=2 时， 有 8 11 x y ， 此时 z=81； 当 t=3 时，有 12 4 x y ，此
23、时 z=84；21 cn jy com 所以方程有三组正整数解：(4，18，78)；(8，11，81)；(12，4，84)。 7 求不定方程 5x3y=7 的一组正整数解并写出所有解的表达式，这个方程有多少组正整数 解？ 解： 3732 1 55 yy x ，所以 32 5 y 是整数，当 y=4 时，x=1， 所以原方程的一组正整数解是 x=1，y=4，所以方程的所有解是 1 3 45 xt yt ，t 是任意整 数，对于正整数解的条件式 t0，所以原方程有无穷多组正整数解。 8由一个同学把他的生日的月份乘以 31，再把出生的日期乘以 12，然后加起来，把总数告 诉你，你能准确推算出他的生日
24、吗？如果小李告诉你的是 170，小李的生日是哪一天？ 解：设出生的月份是 x 月，出生的日期是 y 日， 则 31x+12y=170，(31，12)=1，1|170，所以该方程一定有整数解。 由 170 12155 15 1215 12 5 313131 yyy x ，所以15 12 31 y 是整数。 令 k= 15 12 31 y ，则 31k=1512y， 153112336535 1 3 121212 kkkk yk ， 所以 35 12 k 是整数，令 m= 35 12 k ，12m=3+5k， 这个方程的一组解是 m=4，k=9，所以 m=45t，k=912t， 代入到 35 1
25、3 12 k yk 得 y=13(912t)+(45t)=31t22，x=5+(912t)=1412t。 当 t=1 时，x=2，y=9。所以小李的生日是 2 月 9 日。 9甲说：“我和乙、丙共有 100 元”，乙说：“如果甲的钱是现在的 6 倍，我的钱是现有 的 1 3 ，丙的钱不变，我们三人仍然有 100 元”，丙说：“我的钱连 30 元都不到”，问三人 原来各有多少钱？21世纪*教育网 解：设甲、乙、丙三人原来各有 x、y、z 元， 则 100 1 6100 3 xyz xyz ，（2）式乘以 3 得 18x+y+3z=300 (3) （3）式（1）式得 17x+2z=200，由于(1
26、7，2)=1，1|200，所以该方程一定有整数解， 很明显当 x=0，z=100 是方程的一组整数解， 所以方程的所有解是 2 100 17 xt zt ，其中 t 是整数。 根据题目的要求知 x0，0z30，所以 20 0100 1730 t t ，解得 0 215 45 1717 t t ， 由于 t 为整数，所以只有 t=5 这一个解，此时 x=10，z=15，y=75。 答：甲、乙、丙三人原来分别有 10、75、15 元。 10小赵买胶卷要付 19 元，但是小张身上的钱全是两元一张的，商店的钱全是五元一张的， 问小赵怎样付钱，商店有如何找钱？www-2-1-cnjy-com 解：设小赵
27、付给商店 x 张 2 元的钱，商店找给小赵 y 张 5 元的钱， 则 2x5y=19，由于(2，5)=1，1|19，所以方程一定有整数解， 5y=2x19， 219220 112 4 555 xxx y ， 因为 y 是整数，所以1 2 5 x 是整数。 令 k= 12 5 x ，所以 5k=1+2x， 51411 2 222 kkkk xk ， 令 t= 1 2 k ，所以 2t=k1，k=2t+1， 代入到方程得 x=2(2t+1)+t=5t+2，y=(2t+1)4=2t3。由于 y 是正整数，所以 t2， 当 t=2 时，x=12，y=1。 答：小赵付给商店 12 张 2 元的钱，商店找给小赵 1 张 5 元的钱。
