1、第十一节导数在研究函数中的应用第十一节导数在研究函数中的应用1函数的导数与单调性的关系函数的导数与单调性的关系函数函数yf(x)在某个区间内可导，则在某个区间内可导，则(1)若若f(x)0，则，则f(x)在这个区间内在这个区间内_；(2)若若f(x)0，则，则f(x)在这个区间内在这个区间内_；(3)若若f(x)0，则，则f(x)在这个区间内是在这个区间内是_单调递增单调递增单调递减单调递减常数函数常数函数2函数的极值与导数函数的极值与导数(1)函数的极小值与极小值点函数的极小值与极小值点若函数若函数f(x)在点在点xa处的函数值处的函数值f(a)比它在点比它在点xa附近其附近其他点的函数值他
2、点的函数值_，且，且f(a)0，而且在，而且在xa附近的附近的左侧左侧_，右侧，右侧_，则，则a点叫函数的极小点叫函数的极小值点，值点，f(a)叫函数的极小值叫函数的极小值都小都小f(x)0(2)函数的极大值与极大值点：函数的极大值与极大值点：若函数若函数f(x)在点在点xb处的函数值处的函数值f(b)比它在点比它在点xb附近其附近其他点的函数值他点的函数值_，且，且f(b)0，而且在，而且在xb附近的左附近的左侧侧_，右侧，右侧_，则，则b点叫函数的极大点叫函数的极大值点，值点，f(b)叫函数的极大值，极大值和极小值统称为极值叫函数的极大值，极大值和极小值统称为极值都大都大f(x)0f(x)
3、03函数的最值与导数函数的最值与导数(1)函数函数f(x)在在a，b上有最值的条件：上有最值的条件：如果在区间如果在区间a，b上函数上函数yf(x)的图象是一条的图象是一条_的曲线，那么它必有最大值和最小值的曲线，那么它必有最大值和最小值(2)求求yf(x)在在a，b上的最大上的最大(小小)值的步骤：值的步骤：求函数求函数yf(x)在在(a，b)内的内的_将函数将函数yf(x)的各极值与的各极值与_比较，其中比较，其中_的一个是最大值，的一个是最大值，_的一个是最小的一个是最小值值连续不断连续不断极值极值端点处的函数值端点处的函数值f(a)、f(b)最大最大最小最小1f(x)0是是f(x)在在
4、(a，b)内单调递增的充要条件吗？内单调递增的充要条件吗？【提示提示】函数函数f(x)在在(a，b)内单调递增，则内单调递增，则f(x)0，f(x)0是是f(x)在在(a，b)内单调递增的充分不必要条件内单调递增的充分不必要条件2导数值为导数值为0的点一定是函数的极值点吗？它是可导函的点一定是函数的极值点吗？它是可导函数在该点取得极值的什么条件？数在该点取得极值的什么条件？【提示提示】不一定如函数不一定如函数f(x)x3，在，在x0处，有处，有f(0)0，但，但x0不是函数不是函数f(x)x3的极值点，对于可导函数，若的极值点，对于可导函数，若xx0为其极值点，则需满足以下两个条件：为其极值点
5、，则需满足以下两个条件：f(x0)0，xx0两侧的导数两侧的导数f(x)的符号异号因此的符号异号因此f(x0)0是函数是函数yf(x)在点在点xx0取得极值的必要不充分条件取得极值的必要不充分条件【答案答案】B2函数函数f(x)的定义域为开的定义域为开区间区间(a，b)，导函数，导函数f(x)在在(a，b)内的图象如图内的图象如图2111所示，则函数所示，则函数f(x)在开区间在开区间(a，b)内有极小值点内有极小值点()A1个个 B2个个C3个个 D4个个【解析解析】导函数导函数f(x)的图象与的图象与x轴的交点中，左侧图轴的交点中，左侧图象在象在x轴下方，右侧图象在轴下方，右侧图象在x轴上
6、方的只有一个轴上方的只有一个.【答案答案】A4(2012陕西高考陕西高考)设函数设函数f(x)xex，则，则()Ax1为为f(x)的极大值点的极大值点Bx1为为f(x)的极小值点的极小值点Cx1为为f(x)的极大值点的极大值点Dx1为为f(x)的极小值点的极小值点【解析解析】f(x)xex，f(x)exxexex(1x)当当f(x)0时，时，即即ex(1x)0，即，即x1，x1时函数时函数yf(x)为增函数为增函数同理可求，同理可求，x0时，时，(xk)f(x)x10，求，求k的最大值的最大值【思路点拨思路点拨】(1)分分a0和和a0两种情况解不等式两种情况解不等式f(x)0与与f(x)0.(
7、2)分离参数分离参数k，转化为恒成立问题求解，转化为恒成立问题求解【尝试解答尝试解答】(1)f(x)的定义域为的定义域为(，)，f(x)exa.若若a0，则，则f(x)0，所以，所以f(x)在在(，)上单调递增上单调递增若若a0，则当，则当x(，ln a)时，时，f(x)0.所以，所以，f(x)在在(，ln a)上单调递减，在上单调递减，在(ln a，)上上单调递增单调递增由由(1)知，函数知，函数h(x)exx2在在(0，)上单调递上单调递增而增而h(1)0，所以，所以h(x)在在(0，)上存在唯一的零上存在唯一的零点，故点，故g(x)在在(0，)上存在唯一的零点设此零点为上存在唯一的零点设
8、此零点为，则则(1，2)当当x(0，)时，时，g(x)0.所以所以g(x)在在(0，)上的最小值为上的最小值为g()又由又由g()0，可得，可得e2，所以所以g()1(2，3)由于式等价于由于式等价于k0)，g(x)x3bx.(1)若曲线若曲线yf(x)与曲线与曲线yg(x)在它们的交点在它们的交点(1，c)处具处具有公共切线，求有公共切线，求a，b的值；的值；(2)当当a24b时，求函数时，求函数f(x)g(x)的单调区间，并求其在的单调区间，并求其在区间区间(，1上的最大值上的最大值【审题视点审题视点】(1)求出两条切线方程比较系数求解求出两条切线方程比较系数求解(2)讨论极值点与区间讨论
9、极值点与区间(，1的关系，从而确定最大的关系，从而确定最大值值a0时，时，h(x)与与h(x)的变化情况如下：的变化情况如下：1本题本题(2)中区间确定，但函数解析式不确定，因此应中区间确定，但函数解析式不确定，因此应讨论每个极值点与区间的关系，求解时可画出每一类情况的讨论每个极值点与区间的关系，求解时可画出每一类情况的大致图象，数形结合求解大致图象，数形结合求解2求函数求函数f(x)在在a，b上的最值的步骤如下：上的最值的步骤如下：(1)求求f(x)在在(a，b)内的极值；内的极值；(2)将将f(x)的各极值与端点处的函数值的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较，其比较，其中最大的一
10、个是最大值，最小的一个是最小值中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值若若k0，当，当x变化时，变化时，f(x)与与f(x)的变化情况如下：的变化情况如下：所以所以f(x)的单调递增区间是的单调递增区间是(，k)和和(k，)，单，单调递减区间是调递减区间是(k，k)若若k0，当，当x变化时，变化时，f(x)与与f(x)的变化情况如下：的变化情况如下：所以所以f(x)的单调递减区间是的单调递减区间是(，k)和和(k，)，单，单调递增区间是调递增区间是(k，k)函数最值是个函数最值是个“整体整体”概念，而函数极值是个概念，而函数极值是个“局部局部”概念概念 1.f(x)0在在(a，b)上成立，是上
11、成立，是f(x)在在(a，b)上单调递增的上单调递增的充分不必要条件充分不必要条件2对于可导函数对于可导函数f(x)，f(x0)0是函数是函数f(x)在在xx0处有处有极值的必要不充分条件极值的必要不充分条件1.求单调区间时应先求函数的定义域，遵循定义域优先求单调区间时应先求函数的定义域，遵循定义域优先的原则；的原则；2f(x0)0时，时，x0不一定是极值点；不一定是极值点；3求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时应分类讨论不确定时应分类讨论从近两年高考试题看，导数的应用是考查的热点，重点从近两年高考试题看，导数的应用是考查的热点，重点
12、是利用导数研究函数的单调性，求极是利用导数研究函数的单调性，求极(最最)值，题型全面，小值，题型全面，小题主要考查利用导数求函数的单调区间和极值，大题考查导题主要考查利用导数求函数的单调区间和极值，大题考查导数与函数单调性、极值与最值的关系，多与方程、一元二次数与函数单调性、极值与最值的关系，多与方程、一元二次不等式等知识交汇，体现转化思想、分类讨论思想的应用，不等式等知识交汇，体现转化思想、分类讨论思想的应用，同时应注意与导数有关的创新题同时应注意与导数有关的创新题创新探究之二导数在比较大小中的创新应用创新探究之二导数在比较大小中的创新应用 (2012浙江高考浙江高考)设设a0，b0，e是自
13、然对数的底数是自然对数的底数()A若若ea2aeb3b，则，则abB若若ea2aeb3b，则，则abD若若ea2aeb3b，则，则ab【解析解析】设设f(x)ex2x，则，则f(x)ex20，从而从而f(x)在在R上是增函数，上是增函数，若若ea2aeb3b，则则(ea2a)(eb2b)b0，f(a)f(b)0，ab，设设g(x)ex2x，则则g(x)ex2，f(x)在在R上不是单调函数，上不是单调函数，从而无法确定从而无法确定a与与b的大小关系的大小关系【答案答案】A创新点拨：创新点拨：(1)背景创新，已知等式，判断不等式是否成背景创新，已知等式，判断不等式是否成立，体现了立，体现了“等等”与与“不等不等”关系的相互转化关系的相互转化(2)解法创新，从等式出发，构造函数利用导数判断函数解法创新，从等式出发，构造函数利用导数判断函数的单调性，根据单调性判断的单调性，根据单调性判断a、b的关系，体现了转化与化归的关系，体现了转化与化归的思想的思想应对措施：应对措施：(1)从等式中寻找不等关系，为构造函数创造从等式中寻找不等关系，为构造函数创造了条件了条件(2)利用函数的单调性判断不等关系是常用的方法，当函利用函数的单调性判断不等关系是常用的方法，当函数关系不明确时，构造函数则是解题的关键数关系不明确时，构造函数则是解题的关键
