1、第十八章平行四边形本章知识梳理本章知识梳理思维导图思维导图考纲要求考纲要求1.理解平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念，以理解平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念，以及它们之间的关系及它们之间的关系.2.探索并证明平行四边形的有关性质定理：平行四边探索并证明平行四边形的有关性质定理：平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分；探索并证形的对边相等、对角相等、对角线互相平分；探索并证明平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边明平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分
2、的四边形是平行四边形边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形.3.了解两条平行线之间距离的意义，能度量两条平行了解两条平行线之间距离的意义，能度量两条平行线之间的距离线之间的距离.考纲要求考纲要求4.探索并证明矩形、菱形、正方形的性质定理：矩形探索并证明矩形、菱形、正方形的性质定理：矩形的四个角都是直角，对角线相等；菱形的四条边相等，的四个角都是直角，对角线相等；菱形的四条边相等，对角线互相垂直；以及它们的判定定理：三个角是直角对角线互相垂直；以及它们的判定定理：三个角是直角的四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形；四的四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形；四边相等的四边形是菱形，对
3、角线互相垂直的平行四边形边相等的四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形是菱形.正方形具有矩形和菱形的一切性质正方形具有矩形和菱形的一切性质.5.探索并证明三角形中位线定理探索并证明三角形中位线定理.考点考点1 平行四边形的性质与判定平行四边形的性质与判定一、选择题一、选择题1.（2018绥化）如图绥化）如图M18-1，下列选项中，不能判定四，下列选项中，不能判定四边形边形ABCD是平行四边形的是（是平行四边形的是（）A.ADBC，ABCDB.ABCD，AB=CDC.ADBC，AB=DCD.AB=DC，AD=BCC2.如图如图M18-2，平行四边形，平行四边形ABCD的对角线的对角线AC
4、，BD相相交于点交于点O，AE平分平分BAD，分别交，分别交BC，BD于点于点E，P,连接连接OE，ADC=60，AB=BC=1，则下列结论：，则下列结论：CAD=30;BD=;S平行四边形平行四边形ABCD=ABAC；OE=AD，正确的个数有（，正确的个数有（）A.1 B.2C.3 D.4一、选择题一、选择题D3.（2018兰州）如图兰州）如图M18-3，将，将ABCD沿对角线沿对角线BD折叠，使点折叠，使点A落在点落在点E处，交处，交BC于点于点F，若，若ABD=48，CFD=40，则，则E为（为（）A.102B.112C.122D.92一、选择题一、选择题B4.（2018黔东南）如图黔东
5、南）如图M18-4，在，在ABCD中，已知中，已知AC=4 cm,若若ACD的周长为的周长为13 cm,则则ABCD的周长的周长为（为（）A.26 cmB.24 cmC.20 cmD.18 cm一、选择题一、选择题D5.（2018兰州）如图兰州）如图M18-5，边长为，边长为4的等边三角形的等边三角形ABC中，中，D，E分别为分别为AB，AC的中点，则的中点，则ADE的面的面积是（积是（）一、选择题一、选择题A6.（2018德阳）如图德阳）如图M18-6，四边形，四边形AOEF是平行四边是平行四边形，点形，点B为为OE的中点，延长的中点，延长FO至点至点C，使，使FO=3OC，连接连接AB，A
6、C，BC，则在，则在ABC中，中，SABO SAOC SBOC=（）A.6 2 1B.3 2 1C.6 3 2D.4 3 2一、选择题一、选择题B7.（2018抚顺）如图抚顺）如图M18-7，ABCD中，中，AB=7，BC=3，连接，连接AC，分别以点，分别以点A和点和点C为圆心，大于为圆心，大于 AC的长为半径作弧，两弧相交于点的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线，作直线MN，交交CD于点于点E，连接，连接AE，则，则AED的周长是的周长是_.二、填空题二、填空题108.（2018淄博）在如图淄博）在如图M18-8所示的平行四边形所示的平行四边形ABCD中，中，AB=2，AD=3，将，
7、将ACD沿对角线沿对角线AC折叠，点折叠，点D落在落在ABC所在平面内的点所在平面内的点E处，且处，且AE过过BC的中点的中点O，则则ADE的周长等于的周长等于_.二、填空题二、填空题109.如图如图M18-9，E是是ABCD内任意一点，若平行四边内任意一点，若平行四边形的面积是形的面积是6，则阴影部分的面积为，则阴影部分的面积为 _.二、填空题二、填空题310.（2018武汉）如图武汉）如图M18-10，在，在ABC中，中，ACB=60，AC=1，D是边是边AB的中点，的中点，E是边是边BC上上一点一点.若若DE平分平分ABC的周长，则的周长，则DE的长是的长是_.二、填空题二、填空题11.
8、（2018曲靖）如图曲靖）如图M18-11，在平行四边形，在平行四边形ABCD的的边边AB，CD上截取上截取AF，CE，使得，使得AF=CE，连接，连接EF，点点M，N是线段是线段EF上两点，且上两点，且EM=FN，连接，连接AN，CM.（1）求证：）求证：AFNCEM;（2）若）若CMF=107，CEM=72，求，求NAF的度的度数数.三、解答题三、解答题三、解答题三、解答题（1）证明：）证明：四边形四边形ABCD是平行四边形，是平行四边形，CDAB.AFN=CEM.FN=EM,AF=CE,AFNCEM（SAS）.（2）解）解:AFNCEM,NAF=ECM.CMF=CEM+ECM,107=7
9、2+ECM.ECM=35.NAF=35.12.（2018黄冈）如图黄冈）如图M18-12,在在ABCD中中,分别以边分别以边BC,CD作等腰三角形作等腰三角形BCF,等腰三角形等腰三角形CDE,使使BC=BF,CD=DE,CBF=CDE,连接连接AF,AE.（1）求证）求证:ABFEDA;（2）延长）延长AB与与CF相交于点相交于点G.若若AFAE,求证求证:BFBC.三、解答题三、解答题三、解答题三、解答题证明：（证明：（1）四边形四边形ABCD是平行四边形是平行四边形,AB=CD,AD=BC,ABC=ADC.BC=BF,CD=DE,BF=AD,AB=DE.ADE+ADC+EDC=360,A
10、BF+ABC+CBF=360,EDC=CBF,ADE=ABF.ABF EDA.三、解答题三、解答题（2）如答图）如答图M18-1,延长延长FB交交AD于点于点H.AEAF,EAF=90.ABF EDA,EAD=AFB.EAD+FAH=90,FAH+AFB=90.AHF=90,即即FBAD.ADBC,FBBC.13.（2018巴中）如图巴中）如图M18-13，在，在ABCD中，过中，过B点点作作BMAC于点于点E，交，交CD于点于点M，过，过D点作点作DNAC于于点点F，交，交AB于点于点N.（1）求证：四边形）求证：四边形BMDN是平行四边形；是平行四边形；（2）已知）已知AF=12，EM=5
11、，求求AN的长的长.三、解答题三、解答题三、解答题三、解答题（1）证明：）证明：四边形四边形ABCD是平行四边形，是平行四边形，CDAB.BMAC,DNAC,DNBM.四边形四边形BMDN是平行四边形是平行四边形.（2）解：）解：四边形四边形BMDN是平行四边形是平行四边形,DM=BN.CD=AB,CDAB,CM=AN,MCE=NAF.CEM=AFN=90,CEM AFN.FN=EM=5.在在RtAFN中，中，AN=13.14.如图如图M18-14,在四边形在四边形ABCD中，对角线中，对角线AC,BD相交相交于点于点O，且，且AC=BD，E，F分别是分别是AB，CD的中点，的中点，EF分别交
12、分别交BD，AC于点于点G，H.求证：求证：OG=OH.三、解答题三、解答题三、解答题三、解答题证明：如答图证明：如答图M18-2，取，取BC边的中点边的中点M，连接，连接EM，FM.M,F分别是分别是BC,CD的中点的中点,MFBD,MF=BD.同理可得同理可得MEAC,ME=AC.AC=BD,ME=MF.MEF=MFE.MFBD,MFE=OGH.同理可得同理可得MEF=OHG.OGH=OHG.OG=OH.15.（2017舟山）舟山）如图如图M18-15，AM是是ABC的中线，的中线，D是线段是线段AM上一点上一点（不与点（不与点A重合），重合），DEAB交交AC于点于点F，CEAM，连接，
13、连接AE.（1）如图）如图M18-15，当点，当点D与点与点M重合时，求证：四重合时，求证：四边形边形ABDE是平行四边形；是平行四边形；（2）如图）如图M18-15，当点当点D不与点不与点M重合重合时，时，（1）中的结中的结论还成立吗？请说论还成立吗？请说明理由明理由.三、解答题三、解答题（1）证明：）证明：DEAB，EDC=ABM.CEAM，ECD=ADB.AM是是ABC的中线，且点的中线，且点D与点与点M重合，重合，BD=DC.ABD EDC.AB=ED.ABED，四边形四边形ABDE是平行四边形是平行四边形.三、解答题三、解答题（2）解：结论仍成立）解：结论仍成立.理由如下：理由如下：
14、如答图如答图M18-3，过点，过点M作作MGDE交交CE于点于点G.CEAM，四边形四边形DMGE是平行四边形是平行四边形.ED=GM.由（由（1）可知）可知AB=GM，AB=DE.又又ABDE，四边形四边形ABDE是平行四边形是平行四边形.三、解答题三、解答题考点考点2 特殊平行四边形的性质与判定特殊平行四边形的性质与判定1.（2018大连）如图大连）如图M18-16，在菱形，在菱形ABCD中，对角中，对角线线AC，BD相交于点相交于点O，若，若AB=5，AC=6，则，则BD的长的长是（是（）A.8 B.7C.4 D.3一、选择题一、选择题A2.（2018兰州）如图兰州）如图M18-17，在
15、矩形，在矩形ABCD中，中，AB=3，BC=4，EBDF且且BE与与DF之间的距离为之间的距离为3，则，则AE的长的长是（是（）一、选择题一、选择题C3.（2018贵阳）如图贵阳）如图M18-18，在菱形，在菱形ABCD中，中，E是是AC的中点，的中点，EFCB，交，交AB于点于点F，如果，如果EF=3，那么，那么菱形菱形ABCD的周长为（的周长为（）A.24 B.18C.12 D.9一、选择题一、选择题A4.（2018梧州）如图梧州）如图M18-19，在正方形，在正方形ABCD中，中，A，B，C三点的坐标分别是（三点的坐标分别是（-1，2），（），（-1，0），（），（-3，0），将正方形）
16、，将正方形ABCD向右平移向右平移3个单位，则平移后点个单位，则平移后点D的坐标是（的坐标是（）A.（-6，2）B.（0，2）C.（2，0）D.（2，2）一、选择题一、选择题B5.（2018十堰）菱形不具备的性质是（十堰）菱形不具备的性质是（）A.四条边都相等四条边都相等B.对角线一定相等对角线一定相等C.是轴对称图形是轴对称图形D.是中心对称图形是中心对称图形一、选择题一、选择题B6.（2018黄冈）如图黄冈）如图M18-20,在在RtABC中中,ACB=90,CD为为AB边上的高边上的高,CE为为AB边上的中边上的中线线,AD=2,CE=5,则则CD=（）A.2B.3C.4D.2一、选择题
17、一、选择题C7.（2018贵港）如图贵港）如图M18-21,将矩形将矩形ABCD折叠折叠,折痕为折痕为EF,BC的对应边的对应边BC与与CD交于点交于点M，若，若BMD=50,则则BEF的度数为的度数为_.二、填空题二、填空题708.（2018黔东南）已知一个菱形的边长为黔东南）已知一个菱形的边长为2，较长的对，较长的对角线长为角线长为 ,则这个菱形的面积是则这个菱形的面积是_.二、填空题二、填空题9.（2018南通）如图南通）如图M18-22，在，在ABC中，中，AD，CD分别平分分别平分BAC和和ACB,AECD,CEAD.若从三个若从三个条件：条件：AB=AC;AB=BC;AC=BC中，
18、选择一个作中，选择一个作为已知条件，则能使四边形为已知条件，则能使四边形ADCE为菱形的是为菱形的是_（填序号）（填序号）.二、填空题二、填空题10.（2018兰州）如图兰州）如图M18-23，M，N是正方形是正方形ABCD的边的边CD上的两个动点，满足上的两个动点，满足AM=BN，连接，连接AC交交BN于于点点E，连接，连接DE交交AM于点于点F，连接，连接CF，若正方形的边长，若正方形的边长为为6，则线段，则线段CF的最小值是的最小值是_.二、填空题二、填空题11.（2018株洲）如图株洲）如图M18-24，矩形，矩形ABCD的对角线的对角线AC与与BD相交点相交点O，AC=10，P，Q分
19、别为分别为AO，AD的的中点，则中点，则PQ的长度为的长度为_.二、填空题二、填空题2.512.（2018郴州）如图郴州）如图M18-25，在，在ABCD中，作对角中，作对角线线BD的垂直平分线的垂直平分线EF，垂足为，垂足为O，分别交，分别交AD，BC于于点点E，F，连接，连接BE，DF.求证：四边形求证：四边形BFDE是菱形是菱形.三、解答题三、解答题证明：证明：在在ABCD中，中，O为对角线为对角线BD的中点，的中点，BO=DO，EDO=FBO.在在EOD和和FOB中中,EOD FOB（ASA）.OE=OF.又又OB=OD,四边形四边形EBFD是平行四边形是平行四边形.EFBD,四边形四
20、边形BFDE为菱形为菱形.三、解答题三、解答题13.（2018舟山）如图舟山）如图M18-26，等边三角形，等边三角形AEF的顶点的顶点E，F在矩形在矩形ABCD的边的边BC，CD上，且上，且CEF=45.求求证证:矩形矩形ABCD是正方形是正方形.三、解答题三、解答题证明证明:四边形四边形ABCD是矩形是矩形,B=D=C=90.AEF是等边三角形是等边三角形,AE=AF,AEF=AFE=60.CEF=45,CFE=CEF=45.AFD=AEB=180-45-60=75.AEB AFD（AAS）.AB=AD.矩形矩形ABCD是正方形是正方形.三、解答题三、解答题14.（2018盐城）如图盐城）
21、如图M18-27,在正方形在正方形ABCD中中,对角对角线线BD所在的直线上有两点所在的直线上有两点E,F满足满足BE=DF,连接连接AE,AF,CE,CF.（1）求证）求证:ABE ADF;（2）试判断四边形）试判断四边形AECF的的形状形状,并说明理由并说明理由.三、解答题三、解答题三、解答题三、解答题（1）证明：）证明：四边形四边形ABCD是正方形，是正方形，AB=AD.ABD=ADB.ABE=ADF.在在ABE和和ADF中，中，ABE ADF.（2）解：四边形）解：四边形AECF是菱形是菱形.理由如下：理由如下：如答图如答图M18-4,连接连接AC交交EF于点于点O.在正方形在正方形A
22、BCD中中,OA=OC,OB=OD,ACEF,OB+BE=OD+DF,即即OE=OF.OA=OC,OE=OF,四边形四边形AECF是平行四边形是平行四边形.ACEF,四边形四边形AECF是菱形是菱形.15.（2018沈阳）如图沈阳）如图M18-28，在菱形，在菱形ABCD中，对角中，对角线线AC与与BD交于点交于点O.过点过点C作作BD的平行线的平行线,过点过点D作作AC的平行线的平行线,两直线相交于点两直线相交于点E.（1）求证）求证:四边形四边形OCED是矩形是矩形;（2）若）若CE=1,DE=2,则菱形则菱形ABCD的面积是的面积是_.三、解答题三、解答题证明证明:（1）四边形四边形AB
23、CD是菱形是菱形,ACBD.COD=90.CEOD,DEOC,四边形四边形OCED是平行四边形是平行四边形.又又COD=90,平行四边形平行四边形OCED是矩形是矩形.416.（2018陇南）如图陇南）如图M18-29,已知矩形已知矩形ABCD中中,E是是AD边上的一个动点边上的一个动点,点点F,G,H分别是分别是BC,BE,CE的中点的中点.（1）求证）求证:BGF FHC;（2）设）设AD=a,当四边形当四边形EGFH是正方形时是正方形时,求矩形求矩形ABCD的面积的面积.三、解答题三、解答题三、解答题三、解答题（1）证明）证明:如答图如答图M18-5,连接连接EF.点点F,G,H分别是分
24、别是BC,BE,CE的中点的中点,BF=FC,FHBE,FH=BE,BG=BE.CFH=FBG,FH=BG.BGF FHC.（2）解：如答图）解：如答图M18-5,连接连接GH.当四边形当四边形EGFH是正方形时，是正方形时，EFGH，EF=GH.在在BEC中，点中，点G，H分别是分别是BE，CE的中点，的中点，GH=BC=AD=a，GHBC.EFBC.ADBC,ABBC,AB=EF=GH=a.矩形矩形ABCD的面积的面积=ABAD=aa=a2.17.如图如图M18-30，BD是矩形是矩形ABCD的对角线，的对角线，ABD=30，AD=1.将将BCD沿射线沿射线BD方向平移到方向平移到BCD的
25、位置，使的位置，使B为为BD中点，连接中点，连接AB，CD，AD，BC，如图，如图M18-30.（1）求证：四边形求证：四边形ABCD是菱形；是菱形；（2）四边形）四边形ABCD的周长为的周长为_；（3）将四边形）将四边形ABCD沿它的两条对角线剪开，用得到沿它的两条对角线剪开，用得到的四个三角形拼成与其面积相等的矩形，直接写出所有的四个三角形拼成与其面积相等的矩形，直接写出所有可能拼成的矩形的周长可能拼成的矩形的周长.三、解答题三、解答题三、解答题三、解答题解：（解：（1）BD是矩形是矩形ABCD的对角线，的对角线，ABD=30，ADB=60.由平移可得由平移可得BC=BC=ADDBC=DBC=ADB=60，ADBC.四边形四边形ABCD是平行四边形是平行四边形.B为为BD中点，中点，在在RtABD中，中，AB=BD=DB.又又ADB=60，ADB是等边三角形是等边三角形.AD=AB.四边形四边形ABCD是菱形是菱形.（3）6+或或+3
