1、导数导数的的概念概念说课稿说课稿 常州市第五中学 张志勇 一一. 内容和内容解析内容和内容解析 本节课的教学内容选自苏教版普通高中课程标准实验教科书数学选修 22 第一章第一 节的导数的概念第 2 课时“瞬时变化率导数”，导数的概念包括三部分教学内容， 即平均变化率、瞬时变化率、导数，其中瞬时变化率包括曲线上一点处的切线和瞬时速度、 瞬时加速度，本节课之前学生已完成平均变化率的学习 导数是研究现代科学技术必不可少的工具，是进一步学习数学和其他自然科学的基础， 在物理学、 经济学等领域都有广泛的应用。 对于中学阶段而言， 导数是研究函数的有力工具， 在求函数的单调性、极值、曲线的切线以及一些优化
2、问题时有着广泛的应用，同时对研究几 何、不等式起着重要作用导数的概念毫无疑问是教学的关键，考虑到学生的可接受性，教 材中并没有引进极限概念，而是通过实例引导学生经历由平均变化率到瞬时变化率的过程， 直至建立起导数的数学模型。 而从平均变化率到瞬时变化率， 教材中所选取的实例是曲线上 一点处的切线和瞬时速度、瞬时加速度，笔者以为从学生的知识背景出发，与其用切线来引 入导数，还不如将之视为导数知识的几何解释，因此教学处理时采用数值逼近、几何直观感 受、解析式抽象三种方式实现由平均变化率到瞬时变化率的过渡。 教学时需关注：一是逻辑主线是以问题为背景，按照“问题情境建立模型解释应用 与拓展”的程序展开
3、；二是学生极限思想的形成，需设计活动让学生经历从平均变化率到瞬 时变化率的过程， 先通过求物体在某一时刻的平均速度的极限去得出瞬时速度， 再由此抽象 出函数在某点的平均变化率的极限就是瞬时变化率的的模型，并将瞬时变化率定义为导数； 三是从特殊到一般， 通过若干个特殊时刻的瞬时速度过渡到任意时刻的瞬时速度； 从物体运 动的平均速度的极限是瞬时速度过渡到函数的平均变化率的极限是瞬时变化率。 二二目标和目目标和目标解析标解析 1、知识与技能目标： 理解并能复述导数的概念， 掌握利用求函数在某点的平均变化率的极限实现求导数的基 本步骤，初步学会求解简单函数在一点处的切线方程。 2、过程与方法目标： 通
4、过数值逼近计算的方法经历从平均变化率到瞬时变化率的过程， 并在归纳抽象的过程 中建构导数的概念，尝试几何解释的过程中领悟数学发现的全过程。 3、情感、态度、价值观目标： 通过数学建模的过程感受数学研究方法， 并在使用手持技术过程中改善学习方法， 即初 步形成向技术学数学的基本理念。 教学重点教学重点 数值逼近法生成建构导数概念及导数的计算。 教学难点教学难点 导数的几何解释及切线概念的形成。 三三教学问题诊断分析教学问题诊断分析 本节课需要用到的知识储备包括平均变化率、 直线的斜率、 物理中物体运动的瞬时速度、 解析几何中的切线等，而所要用到的归纳、概括、类比、抽象思维能力等也已具备，特别地
5、实验班的学生均能熟练操作图形计算器，也多次经历过数学再创造的过程，对“问题情境 建立模型解释应用与拓展”这样的学习程序并不陌生，这些都是开展本节课学习的基础。 可能存在的问题： 一是之前学生基本没有接触过极限的概念； 二是数值逼近运算很繁琐， 而经历从平均变化率到瞬时变化率的过程又不能采取简单告诉的方式； 三是平均变化率、 瞬 时变化率的几何解释需要有几何直观作支持；四是尽管学生的图形计算器操作较熟练，但 CAS 系统还很陌生。 四四教学支持条件分析教学支持条件分析 如前所述，利用 HP Prime 的表征优势，为学生提供如下发现问题的平台： 一是数值逼近计算平台，在电子表格中设置图 2 所示
6、的情境，其中0.1xRow ， ()JIEGUOgx，而( )g x则在 CAS 中设置（如图 1）； 二是几何直观解释平台，在几何学模块中，设置好图 3 所示的 APP，学生在操作时可 以改变 Q 点位置，观察割线斜率的变化，然后再与相应的瞬时变化率作比较； 三是导数求值验证平台： 导数运算对学生而言是含有字母的运算， 过程中涉及因式分解 问题，操作中可以让学生先进行纸笔运算，然后再作计算器验证。 教学过程中前两个平台通过 Connkit 课堂管理系统发送给学生，让他们进行自主操作、 探索发现。后面一个平台用于教师演示，必要时还可开发 GeoGebra 用于几何解释演示。 五五教学教学过程过
7、程设计设计 1、情境创设、情境创设 问题一、气球膨胀率 我们都吹过气球，回忆一下吹气球的过程可以发现，随着 气球内空气容量的增加，气球的半径增加越来越慢，能否从数 学角度来描述这种现象呢？ 气球的体积为 V，半径为 r，则 1 1 3 3 3 43 34 Vrrr 问题二、高台跳水 在高台跳水运动中，运动员的助跑、起跳、空中和入水动作都是评判的依据，科学训 练时需要测量每一瞬间的运算速度。如果假设某次跳水中，运动员相对于水面的高度 h 与 起跳后的时间 t 存 在 函 数 关 系 2 ( )4,96.510h ttt，那么你是否能描述该运动员每 一瞬间的运动状态？ 设计意图： 通过实例来体会平
8、均变化率的应用局限性， 使学生有机会经历由平均变化率 过渡到瞬时变化率的过程。 2、数学探究、数学探究 教师讲授： 问 题 1 、 如 何 对 瞬 时 变 化 率 进 行 数 学 刻 画 ？ 当0x 时 ， 平 均 变 化 率 2111 21 21 ()( )()( ) (= f xf xf xxf x x xx xxx 其中）就趋近于瞬时变化率。 问 题 2 、 如 何 体 现0x ？ 让 平 均 变 化 率 的 取 值 间 隔x逐 渐 缩 小 ， 如 0.10.010.0010.00010.00001 问题 3、这么繁琐的运算怎么实现？借助图形计算器进行数值计算。 教师示范：以计算2t 时
9、高台跳水的跳水速度为例，进入“电子表格”模块，在 CAS 系 统 中 先 定 义 两 个 函 数 2 ( )4,96.510h ttt、 (2)(2) ( ) hxh g x x ， 然 后 计 算 (0.1), (0.01), (0.001), (0.0001)gggg，可以发现当0x 时，运动速度稳定在13.1（如图 1）； 也可以“电子表格”模块中进行即时运算（如图 2）。 学生活动：借助于教师发送的 APP，分组计算（共同完成下表的填写）。如 V=1，2 时 气球的变化率，t=1，3 时高台跳水运动员的跳水速度等。 t 值 跳水瞬时速度 V 值 气球膨胀率 0.5 1.6 0.5 0.
10、32825 1 -3.3 1 0.20678 1.5 -8.2 1.5 0.157805 2 -13.1 2 0.13026 设计意图：导数概率中涉及的极限思想不能采取简单的“告诉”方式，而是在图形计算 器的支持下，让学生有一个亲身操作的过程，通过学生的亲身操作，在x的取值逐渐变小 （0.10.010.0010.00010.00001）中观察相应的变化率的变化，从而经历由平均 变化率过渡到瞬时变化率的过程， 切实感知极限的涵义， 以保证导数概念的建构 “水到渠成” 。 图 1 图 2 操作说明：在学生操作时，需要将教师提供的 APP 进行适当修改，先在 cas 系统中拖 曳改动（如图 1-1）
11、，然后再在电子表格模块中重新运算（如图 2-1，按 JIEGUO 列名后编 辑完成）。 3、模型建构模型建构 教师带领学生就操作过程中得到的表格（图 2、图 2-1 或通过 Connkit 课堂管理系统截 取的任何学生操作界面）， 进行归纳总结并进行形式化表述 （可逐步递进）， 形成导数模型： （1）x无限趋近于 0 时， (2)(2)hxh x 无限趋近常数-13.1， (2)(2)rxr x 无限趋 近常数 0.13026， （2）这个常数可称为导数，记作 0 ()fx，即(2)13.1 h 、(2)0.13026 r 、 （ 3 ） 设 函 数( )yf x在 区 间, a b上 有 定
12、 义 ， 0 ,xa b， 若0x 时 ， 00 ()()f xxf x A x 常数， 则称( )f x在 0 xx处可导， 并称该常数 A 为函数( )f x在 0 xx 处的导数，记作 0 ()fx。 设计意图：导数的概念比较抽象，从具体案例的归纳提炼出发，层层递进逐步抽象，可 以帮助学生实现导数概念的生成和建构；教学中一方面需要需要关注形式化抽象的进阶性， 另一方面要关注学生的参与度， 尤其是归纳的过程让学生多参与， 随机截图分析概括是一个 比较理想的组织形式。 4、几何解释几何解释 提问：我们已经知道“0x 时， 00 ()()f xxf x A x 常数”，这是从代数的角度 刻画的
13、，那么是不是可以从几何角度加以描述呢？ （1）教师解释几何构造：如图 3，设点 1111 , ( ) , ()P x f xQ xx f xx， 则 2111 21 ()( )()( )f xf xf xxf x xxx 可表示曲线的割线 PQ 的斜率； （2）学生活动：在几何学的 APP（如图 4）中进行操作，探索x无限趋近于 0（即 Q 向 P 无限靠近），那么 11 ()()f xxf x x 的无限逼近值的何几何意义； （3）总结概括：Q 向 P 无限靠近，割线 PQ 逼近曲线在点 P 处的切线，如图 5 所示； 图 1-1 图 2-1 （4）学生验证：在几何学中，将图形放大可以发现，
14、曲线接近于一条直线，而此直线 与相应的切线非常接近，经计算可以发现切线的斜率即是相应的导数值。 完善结论如下： 设曲线C上一点( , ( )P x f x，过点 P 的一条割线交曲线C于另一点(, ()Q xx f xx， 则割线 PQ 的斜率为 ()( )()( ) () PQ f xxf xf xxf x k xxxx 当点 Q 沿曲线C向点 P 运动，并无限靠近点 P 时，割线 PQ 逼近点 P 的切线l的斜率， 即当x无限趋近于 0 时， ()( )f xxf x x 无限趋近于点( , ( )P x f x处的切线的斜率。 设计意图：“割线斜率切线斜率”是“平均变化率瞬时变化率”的“
15、视觉化”，让 学生动手实验感知“切线的存在性”以及“局部以直代曲”的思想。 5、数学应用、数学应用 1、求函数 2 ( )2f xx在1x 处的导数。 简解： (1)(1) 2 fxf x x 0x 时，22x (1)2 f 说明：在学生纸笔运算后可用图形计算器 CAS 命令进行检验（如图 5），在运算时可借助 于“simplify”命令将解析式化简。 2、求曲线 1 y x 在点 1 2, 2 处的切线方程。 3、已知酒杯的形状为倒立的圆锥，杯深 8cm，上口宽 6cm，水以 2 20cm / s的流量倒入 杯中，当水深为 4cm 时，求水深的瞬时变化率。 4、航天飞机发射后的一段时间内，第
16、 ts 时的 32 ( )530454h tttt，其中 h 的单位 为 cm，t 的单位为 s。求：（1）第 1s 末的瞬时速度；（2）经过多长时间，飞机的速度达到 75cm/s？ 设计意图： 1、采用多层次、多角度的变式训练方式，由易到难，梯度明显，实现了从知觉水平的 图 3 图 4 图 5 应用到思维水平应用的自然过渡； 2、考虑到学生在运算中可能有的问题，于是图形计算器成了学生学习导数中的必要工 作。 3、求导的基本方法“求函数的增量、求平均变化率、取极限得导数”。 必要说明：“函数在某一点的导数”、“导函数”以及“导数”三个不同的概念： （1）“函数在某一点的导数”是一个值，而“导函数”或“导数”是一个函数 （2）“函数在某一点的导数”就是导函数在这点的函数值 0 fx与 fx的关系 0 0 x x fxfx
