1、江西省五市八校协作体 2020 届高三第一次联考 数学（文科） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1、设 2 2 i z i ，则复数z的模为（ ） A、 12 2 3 i B、12 2i C、1 D、3 2、已知全集UR，集合 2 20AxR xx，集合 2 1ByR yx ，则右边 Venn 图中阴影 部分对应的集合为（ ） A、01xRx B、01xRx C、20xRx D、12xRx 3、已知抛物线方程 2 4xy，则其准线方程为（ ） A、2y B、2y C、1y D、1y 4、已知 2 log 6a ， 3 log
2、 4b ， 0.3 0.2c ，则, ,a b c的大小关系为（ ） A、cba B、abc C、bca D、cab 5、已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（ ） A、若/ / , / / ,mn则/ /mn B、若m，n，则mn C、若m，mn，则/ /n D、若/ /m，mn，则n 6、已知点( 3,1)A，(1, 3)B，则与向量AB同方向的单位向量为（ ） A、 22 , 22 B、1,1 C、 13, 31 D、 22 , 22 7、已知ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，sinsincosABC，5bc，则tanA的 值是（ ） A、 5 5 B、2
3、C、 2 5 5 D、 1 2 8、汹涌湍急的底格里斯河与幼发拉底河所灌溉的美索不达米亚平原，是人类文明的发祥地之一.美索不达米 亚的学者在发展程序化算法方面表现出了熟练技巧，他们创造了许多成熟的算法，求正数平方根近似值 的算法是最具有代表性的.耶鲁大学收藏的一块古巴比伦泥板（编号 7289） ，其上载有2的近似值，结果精 确到六十进制的三位小数，用十进制写出来是 1.414213，这个结果是相当精确的.下面给出了求2的近似 值的算法.执行下面程序框图，若输入的被开方数2a ，2的首次近似值1b ，输出2的近似值 b 为 1.414216，则空白判断框中的条件可能为（ ） （ 577 1.41
4、4216 408 ） A、3i B、4i C、4i D、5i 9、函数 2 sinln1fxxxx的大致图像为（ ） A. B. C. D. 10、在不等式组 20, 20, 2, xy xy y 所确定的三角形区域内随机取一点，则该点到此三角形的三个顶点的距离 均大于 1 的概率是（ ） A、 8 B、4 2 C、1 8 D、1 4 11、若 12 ,0, 443 xx ，使得不等式 11211 sintancosxxxmxx成立，则正实数m的取值 范围是（ ） A、 43 3 2,2 B、 0,2 C、 3 3 0,2 D、 4 02 ， 12、已知双曲线E的方程为 2 2 1 4 y x
5、 ，其左右焦点分别为 1 F， 2 F，已知点Q的坐标为1 1 ，双曲线E 上的点P满足 12 12 PF PQPFPQ PFPF ，则三角形 1 PQF与三角形 2 PQF面积之差为（ ） A、2 B、1 C、5 D、4 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上. 13、某个年级有男生 390 人，女生 210 人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为 20 的样 本，则此样本中男生人数为_. 14、已知函数 sin,0 3 fxx 在区间0,上单调，求的取值范围_. 15、直三棱柱 111 ABCABC中， 1 2ABACAA，且 2 3
6、 BAC ，若该三棱柱的所有顶点都在同 一球面上，则该球的表面积为_. 16、已知数列 n a满足 1 1 2 a ， 2 1 2 nnn aaa .记 12nn Saaa，其中 m表示不超过 m 的最大整数，求 2019 S的值为_. 三、解答题：本题共 6 小题，每小题 12 分. 17、已知向量sin , 1mx，向量1,cosnx，函数 2f xm n. （）若0,，且 1f，求cos的值； （） 在ABC中， 角A，B，C的对边分别为a，b，c， 若s i n 4 f AaB ， 且 3 B ， 求ABC 面积的取值范围. 18、 某商场举行双 12 有奖促销活动， 顾客购买 168
7、 元的商品后即可抽奖， 抽奖方法是： 从装有 2 个红球 12 ,A A 和 1 个白球B的甲箱与装有 2 个红球 12 ,a a和 1 个白球b的乙箱中，各随机摸出 1 个球，这些球除颜色，标 号外都一样.若摸出的 2 个球颜色相同则中奖，否则不中奖. （）用球的标号列出所有可能的摸出结果； （）小明根据经验认为：摸到同色球一般来说更为难得，所以猜测中奖的概率小于不中奖的概率，你认 为小明的猜想正确吗?请说明理由. 19、中国古代的数学名著九章算术商功中，称以矩形为底，另有一棱与底面垂直的四棱锥为“阳马”. 如图所示的“阳马”PABCD中，底面ABCD为矩形，PA 平面ABCD，E为PD的中
8、点. （）求证：/ /PB平面ACE； （）设直线PC与平面ABCD所成角的正切值为3，且3AP ， 求“阳马“PABCD体积的最大值. 20、平面直角坐标系内有三定点2,0A ，2,0B， 3,0F.P是曲线E上任意一点，若满足 1 4 PAPB kk 恒成立. （）求曲线E的轨迹方程； （）过点F的直线与曲线E交于,C D两点，过点F且与直线CD垂直的直线与曲线E交于,M N两点， 若2CDMN，求直线CD的方程. 21、已知函数 32 31f xxxx. （）求曲线 yf x在点 ,P t f t处的切线方程； （）设1m ，若过点,Q m n可做曲线 yf x的三条切线，证明： 2mn
9、f m. 选考题：请考生在第 22、23 题中任选一题解答.如果多选，则按所做的第一题计分. 22、选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分） 已知曲线 1 C的参数方程为 2 2 2 1 2 1 x t t y t （t为参数） ，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标 系，曲线 2 C的极坐标方程为 2 2 sin 4 . （）写出曲线 1 C的普通方程和曲线 2 C的直角坐标方程； （）求曲线 1 C上的点P与曲线 2 C上的点Q之间距离的最小值. 23、选修 4-5：不等式选讲（10 分） 已知函数 2f xxax. （）当1a 时，求不等式 2f x 的解集； （）若不等式
10、 1f xx的解集包含0 1 ，求a的取值范围. 江西省五市八校 2020 届高三第一次联考 文科数学答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C A C A B D B B D C D B 13、13 14、 5 0 6 ， 15、20 16、0 17、解： （） 22 sincos2sin 4 fxm nxxx 1f，所以 1 sin 42 因为0,，所以 3 , 444 . 解得 64 62 coscoscoscossinsin 4646464 . （）由题意可得2sinsinAaB，由正弦定理可得，2aab，故2b . 由正弦定理可得，外接圆半径r满足： 4 2 si
11、n3 b r B ， 11 sin2 sin2 sinsin 22 ABC SacBrArCB 1222 cos2,0, 3333 CC ， 所以(0, 3 ABC S .12 分 18、解： （）所有可能的结果为： 1 11212122212 ,Aa AaAb A a A aA b Ba Ba Bb （）不正确. 所有可能的结果有 9 种，并且每种结果出现的可能性相同. 中奖的结果一共有 5 种，所以中奖的概率是 5 9 ，不中奖的概率是 4 9 54 99 故小明的猜想不正确. 19、 解：（） 连接AC与BD交于点O.点O与点E分别为BD，PD的中点， 由中位线定理可知，/ /PBOE，
12、 又OE 平面ACE，PB 平面AEC，所以/ /PB平面ACE. （）因为PA 平面ABCD，所以直线PC与平面ABCD所成角等于PCA，所以tan3PCA， 3AP ，所以1AC 1333 cossinsin2 3366 P ABCD VPA AD CDCADCADCAD ， 等号成立时 4 CAD 故“阳马”PABCD体积的最大值为 3 6 . 20、解： （）设点P的坐标为, x y，由于 1 4 PAPB kk ， 即 1 ,2 224 yy x xx ， 整理可得，曲线E的轨迹方程为 2 2 1 4 x y0y . （）由题意知，直线CD不与x轴和y轴垂直，可设直CD线的方程为30
13、xtyt 与曲线E的方程联立，可得 22 42 3100tytyy 2 1610t， 22 22 14 1 44 tt CD tt （） 可设直线MN的方程为 1 30xyt t ， 同理可得 2 2 22 1 4 1 4 1 14 1 4 tt MN t t （） （） 2CDMN，可得 22 22 4 14 1 2 414 tt tt （）（） ， 解得 7 2 t 故直线CD的方程为 7 3 2 xy ，即2760xy. 21、解： （） 2 ( )361fxxx 则在点P处的切线方程为 yf tftxt 整理得 232 361231yttxtt （） 232 361231nttmtt
14、构造函数 232 361231g tttmttn ， 即 32 23(1)61g ttm tmtmn 过点,Q m n可做曲线 yf x的三条切线等价于函数 g t有三个不同的零点. 61g tttm 故函数 g t在1，上单调递减，1,m上单调递增，,m 上单调递减 所以 10 0 g g m ，即 32 20 310 mn mmmn 可得 2mnf m 22、解： （） 2 2 ,0,2 , 1 xx t ， 2 2 ,1,1 1 t yy t ，式除以式可得 y t x ， 将式代入式可得 2 2 1 x y x ， 整理可得曲线 1 C的普通方程为 2 2 11,0xyx. 曲线 2 C的直角坐标方程为40xy （）圆心1,0到直线40xy的距离 1043 2 22 d 故PQ的最小值为 3 2 1 2 23、解： （）当1a 时， 1 31, 2 1 211,0 2 13 ,0 xx f xxxxx x x ， 当 1 312, 2 xx ，故 1 1 2 x； 当 1 012, 2 xx，可得 1 0 2 x； 当01 32xx，可得 1 0 3 x. 综上所述，不等式的解集为 1 1 3 ， （）由题知21xaxx在区间0 1 ，上恒成立. 故21xaxx，可得21xa，即121xa 故2121xax 对于0 1x，恒成立. 因此11a，故 1a.
