1、2020 届高三新题速递数学（理） 考点 07- 09 考点考点 07 立体几何立体几何 P1 考点考点 08 平面解析几何平面解析几何 P21 考点考点 09 概率与统计概率与统计 P36 考点考点 07 立体几何立体几何 1四川省宜宾市第四中学高 2020 届一诊模拟考试理科数学若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何 体的体积是 A2 B1 C D 【答案】B 2湖南省衡阳县 2020 届高三 12 月联考数学（理）试题 【答案】D 【解析】 3【全国百强校首发】四川省棠湖中学 2020 届高三一诊模拟考试数学（理）试题 在正方体 1111 ABCDABC D中，动点E在棱 1 BB上，
2、动点F在线段 11 AC上，O为底面ABCD的中心，若 1 ,BEx AFy，则四面体O AEF的体积 A与 ,x y都有关 B与 ,x y都无关 C与x有关，与y无关 D与y有关，与x无关 【答案】B 4黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学 2020 届高三上学期期中考试数学（理）试题 5四川省宜宾市第四中学高 2020 届一诊模拟考试理科数学 一个圆锥SC的高和底面直径相等，且这个 圆锥SC和圆柱OM的底面半径及体积也都相等，则圆锥SC和圆柱OM的侧面积的比值为 A 3 2 2 B 2 3 C 3 5 4 D 4 5 15 【答案】C 6辽宁葫芦岛锦化高中协作校高三上学期第二次考试数学理科试题
3、【答案】D 【解析】 7广东省三校（广州真光中学、深圳市第二中学、珠海市第二中学）2020 届高三上学期第一次联考数学 （理）试题 在如图直二面角 A- BD- C 中，ABD、CBD 均是以 BD 为斜边的等腰直角三角形，取 AD 的中点 E，将ABE 沿 BE 翻折到A1BE，在ABE 的翻折过程中，下列不可能成立的是 ABC 与平面 A1BE 内某直线平行 BCD平面 A1BE CBC 与平面 A1BE 内某直线垂直 DBCA1B 【答案】D 8湖南省衡阳县 2020 届高三 12 月联考数学（理）试题 【答案】D 【解析】 9陕西省汉中市 2020 届高三教学质量第一次检测考试理科数学
4、试题 圆锥的侧面展开图是半径为R的半 圆，则该圆锥的体积为_. 【答案】 3 3 24 R 10辽宁省本溪高级中学 2020 届高三一模考试数学（理）试卷 【答案】4 11安徽省合肥一中、安庆一中等六校教育研究会 2020 届高三上学期第一次素质测试数学（理)试题 如 图，在棱长为 1 的正方体 1111 ABCDABC D中，点M是AD的中点，动点P在底面ABCD内（不 包括边界） ，若 1 B P平面 1 A BM，则 1 C P的最小值是_ 【答案】 30 5 【解析】 【分析】 由面面平行找到点P在底面ABCD内的轨迹为线段DN，再找出点P的位置，使 1 C P取得最小值，即 1 C
5、P垂直DN于点O，最后利用勾股定理求出最小值. 【详解】 取BC中点N，连接 11 ,B D B N DN，作CO DN，连接 1 C O， 因为平面 1 B DN平面 1 A BM，所以动点P在底面ABCD内的轨迹为线段DN， 当点P与点O重合时， 1 C P取得最小值， 因为 1 115 2 2255 2 DN CODC NCCO ， 所以 22 1min11 130 ()1 55 C PCOCOCC . 故 1 C P的最小值是 30 5 . 【点睛】 本题考查面面平行及最值问题，求解的关键在于确定点P的位置，再通过解三角形的知识求最值. 12四川省成都外国语学校 2019- 2020
6、学年高三（上）期中数学试卷（理科） 已知某几何体的三视图如 图所示，则该几何体的外接球的半径为_ 【答案】 21 3 【解析】 【分析】 根据三视图还原几何体，设球心为O，根据外接球的性质可知，O与PAB和正方形ABCD中心的 连线分别与两个平面垂直，从而可得到四边形OGEQ为矩形，求得OQ和PQ后，利用勾股定理可求 得外接球半径. 【详解】由三视图还原几何体如下图所示： 设PAB的中心为Q，正方形ABCD的中心为G，外接球球心为O， 则OQ 平面PAB，OG 平面ABCD，E为AB中点， 四边形OGEQ为矩形， 1 1 2 OQGEBC， 22 3 33 PQPE， 外接球的半径： 22 2
7、1 3 RGEPQ . 故答案为 21 3 . 【点睛】本题考查多面体外接球半径的求解，关键是能够根据球的性质确定球心的位置，从而根据长 度关系利用勾股定理求得结果. 13湖南省衡阳县 2020 届高三 12 月联考数学（理）试题 【答案】 【解析】 14黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学 2020 届高三上学期期中考试数学（理）试题 【答案】 1 3 15江苏省南通市 2020 届高三第一学期期末考试第一次南通名师模拟试卷数学试题如图，在四棱锥 PABCD中，底面ABCD是平行四边形，平面ABP 平面BCP，90APB，BPBC，M 为CP 的中点求证： （1）AP/平面BDM； （2）BMAC
8、P 平面 【解析】 （1）设 AC 与 BD 交于点 O，连接 OM， 因为ABCD是平行四边形，所以 O 为 AC 中点， 因为 M 为CP的中点，所以APOM， 又AP 平面BDM，OM平面BDM， 所以AP平面BDM （2）平面ABP 平面BCP，交线为BP， 因为90APB，故APBP， 因为AP 平面ABP，所以AP 平面BCP， 因为BM 平面BCP，所以AP BM 因为BPBC，M 为CP的中点，所以BMCP 因为APCPP，APCP ，平面ACP， 所以BM 平面ACP. 16河南省新乡市高三第一次模拟考试（理科数学） 如图，在四棱锥ABCDV 中，二面角DBCV 为 60，E
9、为BC的中点. （1）证明：VEBC ； （2）已知F为直线VA上一点，且F与A不重合，若异面直线BF与VE所成角为 60，求. VA VF A B C D P M A B C D P M O 【解析】 17四川省成都外国语学校 2019- 2020 学年高三（上）期中数学试卷（理科）如图，在底面是菱形的四棱 锥 P- ABCD 中，PA平面 ABCD，ABC=60 ，PA=AB=2，点 E，F分别为 BC，PD 的中点，设直线 PC 与平面 AEF 交于点 Q （1）已知平面 PAB平面 PCD=l，求证：ABl （2）求直线 AQ与平面 PCD 所成角的正弦值 【解析】 【分析】 （1）证
10、明 AB平面 PCD，然后利用直线与平面平行的性质定理证明 ABl； （2）以点 A为原点，直线 AE、AD、AP 分别为轴建立空间直角坐标系，求出平面 PCD的法向量和直 线 AQ的方向向量，然后利用空间向量的数量积求解直线 AQ与平面 PCD所成角的正弦值即可 【详解】 （1）证明：ABCD，AB平面 PCD，CD平面 PCD AB平面 PCD， AB平面 PAB，平面 PAB平面 PCD=l， ABl； （2）底面是菱形，E 为 BC 的中点，且 AB=2， 13BEAEAEBC,， AEAD，又 PA平面 ABCD， 则以点 A 为原点，直线 AE、AD、AP 分别为 x、y、z轴建立
11、如图所示空间直角坐标系， 则0 20 ,00 2 ,310 ,3 00DPCE, ,， 0,1,1F，3 000,1131002 2AEAFDCDP, , , ,， 设平面 PCD的法向量为, ,x y zn，有 0PDn ， 0CDn ，得1 33 ， ，n， 设1AQACAP，则32 1AQ , ,， 再设( 3 , , )AQmAEnm n nAF， 则 33 2 1 m n n ，解之得 2 3 mn， 22 2 3 33 3 AQ , ,， 设直线 AQ与平面 PCD所成角为 ， 则 3 105 sincos, 35 AQ AQ AQ n n n ， 直线 AQ与平面 PCD所成角的
12、正弦值为 3 105 35 【点睛】本题考查直线与平面平行的判定定理以及性质定理的应用，直线与平面所成角的向量求法， 合理构建空间直角坐标系是解决本题的关键，属中档题. 18安徽省合肥一中、安庆一中等六校教育研究会 2020 届高三上学期第一次素质测试数学（理)试题 已 知三棱柱 111 ABCABC中， 1 ABACAA，侧面 11 ABB A 底面ABC，D是BC的中点， 1 60B BA， 1 B DAB. （1）求证：ABC为直角三角形； （2）求二面角 1 CADB的余弦值 【解析】 【分析】 （1）取AB中点O，连接OD， 1 BO，易知 1 ABB为等边三角形，从而得到 1 BO
13、AB，结合 1 B DAB，可根据线面垂直判定定理得到AB 平面 1 BOD，由线面垂直的性质知ABOD，由平 行关系可知ABAC，从而证得结论； （2）以O为坐标原点可建立空间直角坐标系，根据空间向量 法可求得平面 1 ADC和平面ADB的法向量的夹角的余弦值，根据所求二面角为钝二面角可得到最终结 果. 【详解】 （1）取AB中点O，连接OD， 1 BO， 在 1 ABB中， 1 ABB B， 1 60B BA， 1 ABB是等边三角形， 又O为AB中点， 1 BOAB， 又 1 B DAB， 111 BOB DB， 11 ,BO B D 平面 1 BOD， AB平面 1 BOD， OD平面
14、 1 BOD， ABOD， 又ODAC，ABAC， ABC为直角三角形. （2）以O为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系： 令 1 2ABACAA， 则1,2,0C ，1,0,0A ，0,1,0D，1,0,0B， 1 0,0, 3B， 1 1,0, 3BB ，0,2,0AC ，1,1,0AD ， 111 1,2, 3ACACCCACBB ， 设平面 1 ADC的法向量为, ,x y zm， 1 0 230 ADxy ACxyz m m ， 令1x ，则1y ，3z ，1, 1, 3m， 又平面ADB的一个法向量为0,0,1n， 315 cos, 51 1 3 m n， 二面角 1 CAD
15、B为钝二面角，二面角 1 CADB的余弦值为 15 5 . 【点睛】 本题考查立体几何中垂直关系的证明、空间向量法求解二面角的问题，涉及到线面垂直判定定理和性 质定理的应用；证明立体几何中线线垂直关系的常用方法是通过证明线面垂直得到线线垂直的关系. 19江西省宜春市上高二中 2020 届高三上学期第三次月考数学（理）试题 20黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学 2020 届高三上学期期中考试数学（理）试题 21辽宁葫芦岛锦化高中协作校高三上学期第二次考试数学理科试题 【解析】 22【全国百强校首发】四川省棠湖中学 2020 届高三一诊模拟考试数学（理）试题 如图，在四棱锥 PABCD中， 底面AB
16、CD为矩形， 平面PCD平面ABCD,2AB ,1BC ， 2PCPD ，E 为PB中点 （1）求证：PD平面ACE； （2）求二面角EACD的余弦值； （3）在棱PD上是否存在点M，使得AM BD？若存在，求 PM PD 的值；若不存在，说明理由 【解析】（1）设BD交AC于点F，连接EF. 因为底面ABCD是矩形，所以F为BD中点 . 又因为E为PB中点，所以EFPD. 因为PD平面,ACE EF 平面ACE，所以PD平面ACE. （2）取CD的中点O，连接PO，FO. 因为底面ABCD为矩形，所以BCCD. 因为PCPD，OCD为中点，所以 ,POCD OF BC，所以OFCD. 又因为
17、平面 PCD平面 ABCD，PO平面,PCD平面 PCD平面 ABCD=CD. 所以 PO平面 ABCD， 如图，建立空间直角坐标系Oxyz， 则 1 1 1 (1, 1,0)(0,1,0)(1,1,0), (0,0,1), ( , ) 2 2 2 ACBPE，,， 设平面ACE的法向量为( , , )x y zm， 1 3 1 ( 1,2,0),(, ) 2 2 2 ACAE ， 所以 20, 2 ,0, 131 .00 222 xy xyAC zyxyzAE m m 令 1y ，则2,1xz ，所以2,11（， ）m. 平面ACD的法向量为(0,0,1)OP ，则 6 cos, 6 OP
18、OP OP m m |m | . 如图可知二面角EACD为钝角，所以二面角EACD的余弦值为 6 6 . （3）在棱PD上存在点M，使AMBD. 设(0,1),( , , ) PM M x y z PD ，则 ,01,0PMPD D（ ，）. 因为( , ,1)(0, 1, 1)x y z ，所以(0,1)M. ( 1,1,1),( 1, 2,0)AMBD . 因为AMBD，所以 0AM BD . 所以1 2(1)0，解得 1 =0,1 2 . 所以在棱PD上存在点M，使AMBD，且 1 2 PM PD . 考点考点 08 平面解析几何平面解析几何 1湖北省武汉市部分学校 2020 届高三上学
19、期起点质量监测数学（理)试题 已知双曲线 22 2 :1 16 xy E m 的 离心率为 5 4 ，则双曲线E的焦距为 A4 B5 C8 D10 【答案】D 【解析】 【分析】 通过离心率和a的值可以求出c，进而可以求出焦距. 【详解】 由已知可得 5 4 c a ，又4a ，5c ，焦距210c ，故选 D. 【点睛】 本题考查双曲线特征量的计算，是一道基础题. 2四川省宜宾市第四中学高 2020 届一诊模拟考试理科数学若椭圆 2 2 2 1 x y a 经过点 6 1, 3 P ，则椭圆 的离心率e= A 3 2 B 31 C 3 3 D 6 3 来 【答案】D 3【全国百强校首发】四川
20、省棠湖中学 2020 届高三一诊模拟考试数学（理）试题 已知直线l过抛物线 2 8yx的焦点F，与抛物线交于A，B两点，与其准线交于点C.若点F是AC的中点，则线段BC的 长为 A 8 3 B3 C16 3 D6 【答案】C 4 陕西省汉中市 2020 届高三教学质量第一次检测考试理科数学试题若双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的 一条渐近线被曲线 22 420xyx所截得的弦长为 2，则双曲线C的离心率为 A3 B 2 3 3 C5 D 2 5 5 【答案】B 5安徽省合肥一中、安庆一中等六校教育研究会 2020 届高三上学期第一次素质测试数学（理)试题 椭圆 22 2
21、2 1(0) xy ab ab 的左、右焦点分别是 1 F、 2 F，以 2 F为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点 P，若直线 1 PF恰好与圆 2 F相切于点P，则椭圆的离心率为 A31 B 31 2 C 2 2 D 51 2 【答案】A 【解析】 【分析】 根据 12 PFPF及椭圆的定义可得 1 2PFac，利用勾股定理可构造出关于 , a c的齐次方程，得到关 于e的方程，解方程求得结果. 【详解】 由题意得： 12 PFPF，且 2 PFc， 又 12 2PFPFa， 1 2PFac， 由勾股定理得 2 222 24220acccee，解得31e . 故选 A. 6安徽省合肥一中
22、、安庆一中等六校教育研究会 2020 届高三上学期第一次素质测试数学（理)试题 如图， 12 ,F F是双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左、右焦点，过 2 F的直线与双曲线C交于,A B两点若 11 :3:4:5ABBFAF ，则双曲线的渐近线方程为 A2 3yx B2 2yx C3yx D2yx 【答案】A 【解析】 【分析】 设 112 3,4,5,ABBFAFAFx ，利用双曲线的定义求出3x 和a的值，再利用勾股定理求c，由 b yx a 得到双曲线的渐近线方程. 【详解】 设 112 3,4,5,ABBFAFAFx ， 由双曲线的定义得：345xx，解得3x
23、 ， 所以 22 12 |464 13FF 13c， 因为2521axa，所以 2 3b ， 所以双曲线的渐近线方程为2 3 b yxx a . 【点睛】 本题考查双曲线的定义、渐近线方程，解题时要注意如果题干出现焦半径，一般会用到双曲线的定义， 考查运算求解能力. 7河南省新乡市高三第一次模拟考试（理科数学）P为椭圆1 91100 22 yx 上的一个动点，NM,分别为 圆1)3( : 22 yxC与圆)50()3( : 222 rryxD上的动点， 若|PNPM 的最小值为17， 则r A1 B2 C3 D4 【答案】B 【解析】 8四川省宜宾市第四中学高 2020 届一诊模拟考试理科数学
24、 如果 123 ,P P P是抛物线 2 :4C yx上的 点，它们的横坐标 123 ,x xx，F是抛物线C的焦点，若 122018 20xxx，则 12 |PFP F 2018 |PF A2028 B2038 C4046 D4056 【答案】B 9湖南省衡阳县 2020 届高三 12 月联考数学（理）试题 【答案】C 【解析】 10湖北省武汉市部分学校 2020 届高三上学期起点质量监测数学（理)试题已知P是椭圆 22 :1 4 xy E m 上任意一点，M，N是椭圆上关于坐标原点对称的两点，且直线PM，PN的斜率分别为 1 k， 21 2 0kk k ，若 12 kk的最小值为 1，则实
25、数m的值为 A1 B2 C1 或 16 D2或 8 【答案】A 【解析】 【分析】 先假设出点M，N，P的坐标，然后表示出两斜率的关系，再由 12 kk最小值为 1 运用基本不等 式的知识求最小值，进而可以求出m. 【详解】 设 0000 (,),(,), ( ,)M xyNxyP x y， 00 00 12 , yyy k xxx k y x 0000 00 2 0 1 0 2 yyyyyyyy xxxxxx k xx k 22 0 22 0 2 yy xx 22 0 22 0 (1)(1) 44 2 xx x m x m 2 4 m =1， 1m. 故选 A. 【点睛】 本题大胆设点，表示
26、出斜率，运用基本不等式求参数的值，是一道中等难度的题目. 11 四川省成都外国语学校 2019- 2020 学年高三 （上） 期中数学试卷 （理科） 已知双曲线 22 22 1(0, xy a ab 0)b 的左、 右焦点分别为 1 F， 2 F， 过 1 F作圆 222 xya的切线， 交双曲线右支于点M， 若 12 FMF 45，则双曲线的离心率为 A3 B2 C 2 D 5 【答案】A 【解析】 【分析】 设切点为 N，连接 ON，过 2 F作 2 F NMN，垂足为 A，由ONa，得到 1 2F Ab，在 2 RtMF A 中，可得 2 2 2MFa，得到 1 22MFba，再由双曲线
27、的定义，解得 2ba ，利用双曲线的离 心率的定义，即可求解. 【详解】设切点为 N，连接 ON，过 2 F作 2 F NMN，垂足为 A， 由ONa，且ON为 12 FF A的中位线，可得 22 21 2 ,F Aa FNcab， 即有 1 2F Ab， 在 2 RtMF A中，可得 2 2 2MFa，即有 1 22MFba， 由双曲线的定义可得 12 222 22MFMFbaaa，可得 2ba ， 所以 22 3caba ，所以3 c e a . 故选 A. 【点睛】本题考查了双曲线的几何性质离心率的求解，其中求双曲线的离心率(或离心率的取值范 围)，常见有两种方法：求出 , a c ，代
28、入公式 c e a ；只需要根据一个条件得到关于, ,a b c的齐次 式，转化为 , a c的齐次式，然后转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e(e的取值范 围) 12安徽省 2020 届高三期末预热联考理科数学 【答案】C 13四川省宜宾市第四中学高 2020 届一诊模拟考试理科数学双曲线 22 1 2516 yx 的渐近线方程为 _. 【答案】 5 4 yx 14【全国百强校首发】四川省棠湖中学 2020 届高三一诊模拟考试数学（理）试题 双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的一条渐近线方程为 2yx，则离心率等于 . 【答案】5 15 陕 西 省 汉
29、中 市2020届 高 三 教 学 质 量 第 一 次 检 测 考 试 理 科 数 学 试 题 已 知 圆 022 22 byaxyx)0, 0(ba关于直线022 yx对称，则 ba 21 的最小值为_ 【答案】 2 9 16江苏省南通市2020届高三第一学期期末考试第一次南通名师模拟试卷数学试题已知AB是圆 C: 222 xyr的直径,O为坐标原点,直线l: 2 r x c 与x轴垂直,过圆C上任意一点P(不同于,A B) 作直线PA与PB分别交直线l于,M N两点, 则 2 OM ON r 的值为 . 【答案】1 【解析】设直线,PA PB的倾斜角分别为, ,则 2 , tantan1，记
30、直线l: 2 r x c 与x轴的交点为H,如图， () ()OM ONOHHMOHHN，则 2 (,0) r H c , 0,0OH HNOH HM, 22 | |OM ONOHHM HNOHHMHN 224 2 2 | | | tan| tan| ()() rrr HMHNAHBHrrr ccc 24 222 2 ()() rr OM ONrr cc .即 2 OM ON r 的值为 1. 17 四川省宜宾市第四中学高 2020 届一诊模拟考试理科数学已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左、 右 焦点分别是 12 FF，, A B是其左、 右顶点， 点P是椭圆C上任一点
31、， 且 12 PFF的周长为 6， 若 12 PFF 面积的最大值为3. （1）求椭圆C的方程； （2）若过点 2 F且斜率不为 0 的直线交椭圆C于,M N两个不同点，证明：直线AM于BN的交点在 一条定直线上. 【解析】 （1）由题意得 222 226, 1 23, 2 , ac bc abc 1, 3, 2, c b a 椭圆C的方程为 22 1 43 xy ； （2）由（1）得2,0A ，2,0B， 2 1,0F， 设直线MN的方程为1xmy， 11 ,M x y， 22 ,N xy， 由 22 1 1 43 xmx xy ，得 22 43690mymy， 12 2 6 43 m yy
32、 m ， 12 2 9 43 y y m ， 1212 3 2 my yyy， 直线AM的方程为 1 1 2 2 y yx x ，直线BN的方程为 2 2 2 2 y yx x ， 12 12 22 22 yy xx xx ， 21 122 12121 232 3 22 yxmy yyx xyxmy yy ， 4x ，直线AM与BN的交点在直线4x 上. 18安徽省合肥一中、安庆一中等六校教育研究会 2020 届高三上学期第一次素质测试数学（理)试题 已 知B是抛物线 2 1 1 8 yx上任意一点，0, 1A，且点P为线段AB的中点 （1）求点P的轨迹C的方程； （2） 若F为点A关于原点O
33、的对称点， 过F的直线交曲线C于M、N 两点， 直线OM交直线1y 于点H，求证：NFNH 【解析】 【分析】 （1）设,P x y， 00 ,B xy，根据中点坐标公式可得 0 0 2 21 xx yy ，代入曲线方程即可整理得到所求 的轨迹方程； （2）设:1MN ykx， 11 ,M x y， 22 ,N xy，将直线MN与曲线C联立，可得 12 4x x ； 由抛物线定义可知， 若要证得NFNH， 只需证明HN垂直准线1y ， 即H N y轴； 由直线OM的方程可求得 1 1 , 1 x H y ，可将H点横坐标化简为 1 2 1 x x y ，从而证得HNy轴，则 可得结论. 【详解
34、】 （1）设,P x y， 00 ,B xy， P为AB中点， 0 0 2 21 xx yy ， B为曲线 2 1 1 8 yx上任意一点， 2 00 1 1 8 yx， 代入得 2 4xy， 点P的轨迹C的方程为 2 4xy. （2）依题意得0,1F，直线MN的斜率存在，其方程可设为：1ykx， 设 11 ,M x y， 22 ,N xy， 联立 2 1 4 ykx xx 得： 2 440xkx，则 2 16160k ， 12 4x x ， 直线OM的方程为 1 1 y yx x ，H是直线与直线1y 的交点， 1 1 , 1 x H y ， 根据抛物线的定义NF等于点N到准线1y 的距离，
35、 H在准线 1y 上，要证明NFNH，只需证明HN垂直准线1y ， 即证HNy轴， H的横坐标： 1112 22 1111 4 4 xxx x x xyxx ， HNy轴成立，NFNH成立. 【点睛】 本题考查圆锥曲线中轨迹方程的求解、直线与圆锥曲线综合应用中的等量关系的证明问题；证明的关 键是能够利用抛物线的定义将所证结论转化为证明HNy轴， 通过直线与抛物线联立得到韦达定理的 形式，利用韦达定理的结论证得HNy轴. 19河南省新乡市高三第一次模拟考试（理科数学）在直角坐标系xOy中，点)0 , 2(M，N是曲线 2 4 1 2 yx上的任意一点，动点C满足MCNC 0. （1）求点C的轨迹
36、方程； （2）经过点)0 , 1 (P的动直线l与点C的轨迹方程交于BA,两点，在x轴上是否存在定点D（异于点 P） ，使得BDPADP？若存在，求出D的坐标；若不存在，请说明理由. 20四川省成都外国语学校 2019- 2020 学年高三（上）期中数学试卷（理科）已知椭圆 22 2 1 2 xy C a ： 过 点 P（2，1） （1）求椭圆 C 的方程，并求其离心率； （2）过点 P 作 x 轴的垂线 l，设点 A 为第四象限内一点且在椭圆 C 上（点 A 不在直线 l 上） ，点 A 关于 l 的对称点为 A，直线 AP 与 C 交于另一点 B设 O 为原点，判断直线 AB 与直线 OP
37、 的位置关系，并 说明理由 【解析】 【分析】 （1）将点P代入椭圆方程，求出a，结合离心率公式即可求得椭圆的离心率； （2）设直线 :12PA yk x ，:12PB yk x ，设点A的坐标为 11 xy， 22 B xy，分别求出 12 xx， 12 yy，根据斜率公式，以及两直线的位置关系与斜率的关系即可得结果. 【详解】 （1）由椭圆 22 2 1 2 xy C a ： 过点 P（2，1） ，可得 2 8a 所以 22 2826ca， 所以椭圆 C 的方程为 2 8 x + 2 2 y =1， 则离心率 e= 6 2 2 = 3 2 . （2）直线 AB 与直线 OP 平行证明如下：
38、 设直线:12PA yk x ，:12PB yk x ， 设点 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 由 22 1 82 21 xy ykxk 得 222 4181 2161640kxkk xkk， 2 1 2 16164 2 41 kk x k ， 2 1 2 882 14 kk x k ， 同理 2 2 2 882 41 kk x k ， 所以 12 2 16 41 k xx k ， 由 11 21ykxk， 21 21ykxk ， 有 1212 2 8 4 41 k yyk xxk k ， A 在第四象限，0k ，且 A 不在直线 OP 上， 12 12 1 2 AB yy k xx
39、 ， 又 1 2 OP k，故 ABOP kk， 所以直线AB与直线OP平行 【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，训练了斜率和直线平行的关 系，是中档题 21陕西省汉中市 2020 届高三教学质量第一次检测考试理科数学试题双曲线 2 2 1 5 x y焦点是椭圆 C： 22 22 1(0) xy ab ab 顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数. （1）求椭圆 C 的方程； （2）设动点NM,在椭圆 C 上，且 4 3 3 MN ，记直线MN在y轴上的截距为m，求m的最大值. 【解析】 （1）双曲线 2 2 1 5 x y的焦点坐标为 6,0，离心率为 30 5 .
40、 因为双曲线 2 2 1 5 x y的焦点是椭圆C： 22 22 1(0) xy ab ab 的顶点， 且椭圆与双曲线的离心率互为倒数， 所以6a ，且 22 30 6 ab a ，解得1b . 故椭圆C的方程为 2 2 1 6 x y. （2）因为 4 3 2 3 MN ，所以直线MN的斜率存在. 因为直线MN在y轴上的截距为m，所以可设直线MN的方程为ykxm. 代入椭圆方程 2 2 1 6 x y，得 222 1 612610kxkmxm. 因为 2 22 1224 1 61kmkm 22 24 1 60km， 所以 22 1 6mk . 设 11 ,M x y， 22 ,N xy， 根
41、据根与系数的关系得 12 2 12 1 6 km xx k ， 2 12 2 61 1 6 m x x k . 则 2 12 1MNkxx 2 2 1212 14kxxx x 2 2 2 22 241 12 1 1 61 6 m km k kk . 因为 4 3 3 MN ，即 2 2 2 22 241 12 1 1 61 6 m km k kk 4 3 3 ， 整理得 42 2 2 18397 9 1 kk m k . 令 2 11kt ，则 2 1kt . 所以 2 2 187550 9 tt m t 150 7518 9 t t 752 305 93 . 等号成立的条件是 5 3 t ，
42、 此时 2 2 3 k ， 2 5 3 m ，满足 22 1 6mk ，符合题意. 故m的最大值为 15 3 . 22【全国百强校首发】四川省棠湖中学 2020 届高三一诊模拟考试数学（理）试题 ）已知椭圆C的两个 焦点分别为 12 1,0 ,1,0FF，长轴长为2 3 （1）求椭圆C的标准方程及离心率； （2） 过点0,1的直线l与椭圆C交于A，B两点， 若点M满足MA MBMO 0， 求证： 由点M 构成的曲线L关于直线 1 3 y 对称 【解析】（1）由已知，得3,1ac， 所以 13 33 c e a ， 又 222 abc，所以2b ， 所以椭圆C的标准方程为 22 1 32 xy
43、，离心率 3 3 e . （2）设 11 ,A x y， 22 ,B xy，, mm M xy， 直线l 与x轴垂直时，点, A B的坐标分别为0,2，0, 2 因为0,2 mm MAxy， 0, 2 mm MBxy，0,0 mm MOxy， 所以3, 3 mm MAMBMCxy 0 uuu ruuu ruuu r 所以0,0 mm xy，即点M与原点重合; 当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为1ykx， 由 22 1 32 1 xy ykx 得 22 32630kxkx， 222 3612 3272240kkk 所以 12 2 6 32 k xx k ， 则 12 2 4 0 32 yy k ， 因为 11 , mm MAxxyy， 22 , mm MBxxyy，, mm MOxy ， 所以 1212 03,03 mm MAMBMOxxxyyy 0 uuu ruuu ruuu r 所以 12 3 m xxx， 12 3 m yyy
