1、 第 1 页（共 17 页） 2019 年四川省巴中市高考数学零诊试卷（理科）年四川省巴中市高考数学零诊试卷（理科） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合 2 |4Bx x，则集合( RB ) A(2,) B2，) C(，2)(2，) D(，22，) 2 （5 分）设i是虚数单位，复数 2 1 i z i ，则| (z ) A1 B2 C3 D2 3 （5 分）下列四个函数中，既是奇函数又是定义域上的
2、单调递增的是( ) A2 x y Btanyx C 3 yx D 3 logyx 4 （5 分） 5 2 ()x x 的展开式中第 4 项的系数为( ) A10 B20 C40 D80 5 （5 分）若 1 cos() 42 ，则sin2( ) A 1 2 B 3 2 C 1 2 D 3 2 6 （5 分）记Sn为等比数列 n a的前n项和，已知 2 2S ， 3 6S 则 n a的通项公式为( ) A( 2)n n a B2n n a C( 3)n n a D3n n a 7 （5 分）若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( ) A16 B32 C48 D144 第 2 页（共
3、 17 页） 8 （5 分）将函数2sin2yx的图象向左平移 12 个单位长度后所得图象的一个对称中心为( ) A( 12 ，0) B(12 ，0) C( 6 ，0) D( 6 ，0) 9 （5 分）在ABC中， “AB ACBA BC”是“| |ACBC” ( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 10 （5 分）若双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的两条渐进线与抛物线 2 4yx的准线围成的三 角形面积为 2则双曲线的离心率为( ) A2 B 5 2 C2 D5 11 （5 分）已知三棱锥PABC中，4PA，2 3ABAC，
4、6BC ，PA 面ABC， 则此三棱锥的外接球的表面积为( ) A16 B32 C64 D128 12 （5 分）已知3 2aln ，2 3bln ， 2 3cln，则下列选项正确的是( ) Aabc Bcab Ccba Dbca 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，把答案填在答题卡的相应位置上分，把答案填在答题卡的相应位置上 13 （5 分）函数( ) |2|f xxlnx的零点个数为 14 （5 分）设x，y满足约束条件 1 0 1 0 22 0 xy xy xy ，则 1 y z x 的取值范围是 15 （5 分）过抛物线
5、2 4yx的焦点F作倾斜角为45的直线交抛物线于A、B两点，则线 段AB的长为 16 （5 分）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 cos 2cos aA cC ， 则A的取值范围为 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 70 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤骤 17 （12 分）等差数列 n a的前n项和为 n S，已知 2 4a ， 5 30S （1）求 n a的通项公式； 第 3 页（共 17 页） （2）求数列 1 n S 的前n项和 18 （12 分）某大学的一个社会实践调
6、查小组，在对大学生的良好“光盘习惯”的调査中， 随机发放了 120 份问卷对收回的 100 份有效问卷进行统计，得到如下22x列联表： 做不到光盘 能做到光盘 合计 男 45 10 55 女 30 15 45 合计 75 25 100 （1） 现已按是否能做到光盘分层从 45 份女生问卷中抽取了 9 份问卷， 若从这 9 份问卷中随 机抽取 4 份，并记其中能做到光盘的问卷的份数为，试求随机变量的分布列和数学期望 （2）如果认为良好“光盘习惯”与性别有关犯错误的概率不超过P，那么根据临界值表最 精确的P的值应为多少？请说明理由 附：独立性检验统计量 2 2 () ()()()() n adbc
7、 K ab cd ac bd ，其中nabcd， 独立性检验临界表： 2 0 ()P Kk 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0 k 1.323 2.072 2.706 3.840 5.024 19 （12 分）如甲图所示，在矩形ABCD中，4AB ，2AD ，E是CD的中点，将ADE 沿AE折起到 1 D AE位置，使平面 1 D AE 平面ABCE，得到乙图所示的四棱锥 1 DABCE （）求证：BE 平面 1 D AE； （）求二面角 1 AD EC的余弦值 20 （12 分）已知动点E到点(2,0)A与点( 2,0)B 的直线斜率之积为 1 4 ，点E的轨迹为曲 线C
8、 （1）求C的方程； 第 4 页（共 17 页） （2）过点(1,0)D作直线l与曲线C交于P，Q两点，求OP OQ的最大值 21 （12 分）已知函数( )1 x f xaelnx （1）设2x 是( )f x的极值点，求a，并求( )f x的单调区间； （2）若( ) 0f x ，求a的取值范围， 请考生在第请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分作答时，用题计分作答时，用 2B 铅笔在答题卡上把所选题对应的标号涂黑 （本小题满分铅笔在答题卡上把所选题对应的标号涂黑 （本小题满分 10 分）分）选修选修 4-4：
9、坐标系与参：坐标系与参 数方程数方程 22（10 分） 已知直线 1 :( 2 xt lt yt 为参数） ， 以坐标原点为极点，x轴为极轴建立极坐标系， 曲线:2sinC （1）求曲线C的直角坐标方程和直线Z的普通方程； （2）求与直线l平行，且被曲线C截得的弦长为3的直线 1 l的方程 （本小题满分（本小题满分 0 分）分）选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数( ) |f xxax （1）当2a 时，解不等式( ) 3f x 的解集； （2）若存在xR，使得( )3f x 成立，求实数a的取值范围 第 5 页（共 17 页） 2019 年四川省巴中市高考数学零诊试卷（理科
10、）年四川省巴中市高考数学零诊试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合 2 |4Bx x，则集合( RB ) A(2,) B2，) C(，2)(2，) D(，22，) 【解答】解： 2 |4 | 22Bx xxx剟?， 则 |2 RB x x或2x ， 故选：C 2 （5 分）设i是虚数单位，复数 2 1 i z i ，则| (z ) A1 B2 C3 D
11、2 【解答】解： 22 (1) (1)1 1(1)(1) iii ziii iii ， 则|1 12z ， 故选：B 3 （5 分）下列四个函数中，既是奇函数又是定义域上的单调递增的是( ) A2 x y Btanyx C 3 yx D 3 logyx 【解答】解：A2 x y 是非奇非偶函数； Btanyx在定义域上不具有单调性； C 3 yx是R上的奇函数且具有单调递增； D 3 logyx是非奇非偶函数 故选：C 4 （5 分） 5 2 ()x x 的展开式中第 4 项的系数为( ) A10 B20 C40 D80 【解答】解： 5 2 ()x x 的展开式中第 4 项为 1 33 2
12、45 2TCx故该项的系数为 33 5 280C， 第 6 页（共 17 页） 故选：D 5 （5 分）若 1 cos() 42 ，则sin2( ) A 1 2 B 3 2 C 1 2 D 3 2 【解答】解：由 1 cos() 42 ，得 22 11 sin2cos(2 )cos2()2()12( )1 24422 cos 故选：A 6 （5 分）记Sn为等比数列 n a的前n项和，已知 2 2S ， 3 6S 则 n a的通项公式为( ) A( 2)n n a B2n n a C( 3)n n a D3n n a 【解答】解：根据题意，设等比数列 n a的首项为 1 a，公比为q， 又由
13、2 2S ， 3 6S ， 则有 1 2 1 (1)2 (1)6 aq aqq ， 解可得 1 2a ，2q ， 则( 2)n n a ； 故选：A 7 （5 分）若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( ) A16 B32 C48 D144 【解答】解：由三视图知：几何体为四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，如图： 第 7 页（共 17 页） 其中2BC ，6AD ，6AB ，SA 平面ABCD，6SA ， 几何体的体积 126 6648 32 V 故选：C 8 （5 分）将函数2sin2yx的图象向左平移 12 个单位长度后所得图象的一个对称中心为( ) A( 12 ，0)
14、B(12 ，0) C( 6 ，0) D( 6 ，0) 【解答】解：函数2sin2yx的图象向左平移 12 个单位长度后， 得到：2sin(2) 6 yx ， 令：2() 6 xkkZ ， 解得：() 212 k xkZ ， 当0k 时， 12 x ， 故对称中心为( 12 ，0) 故选：A 9 （5 分）在ABC中， “AB ACBA BC”是“| |ACBC” ( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【 解 答 】 解 ： 因 为 在ABC中AB ACBA BC等 价 于0AB ACBA BC等 价 于 ()0AB ACBC， 因为ACBC的方
15、向为AB边上的中线的方向 即AB与AB边上的中线相互垂直，则ABC为等腰三角形，故ACBC， 第 8 页（共 17 页） 即| |ACBC，所以为充分必要条件 故选：C 10 （5 分）若双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的两条渐进线与抛物线 2 4yx的准线围成的三 角形面积为 2则双曲线的离心率为( ) A2 B 5 2 C2 D5 【解答】解：双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的两条渐近线方程为 b yx a ， 抛物线 2 4yx的准线为1x ， 可得渐近线与准线的交点为( 1,) b a ，( 1,) b a ， 由题意可得 12 12 2 b a
16、 ， 即有2ba， 可得 2 2 15 cb e aa 故选：D 11 （5 分）已知三棱锥PABC中，4PA，2 3ABAC，6BC ，PA 面ABC， 则此三棱锥的外接球的表面积为( ) A16 B32 C64 D128 【解答】解：底面ABC中，2 3ABAC，6BC ， 1212361 cos 222 32 3 BAC 3 sin 2 BAC， ABC的外接圆半径 16 2 3 23 2 r ， 所以三棱锥外接球的半径 22222 ()(2 3)216 2 PA Rr， 所以三棱锥PABC外接球的表面积 2 464SR 故选：C 12 （5 分）已知3 2aln ，2 3bln ， 2
17、 3cln，则下列选项正确的是( ) 第 9 页（共 17 页） Aabc Bcab Ccba Dbca 【解答】解： 2 62 aln ， 3 63 bln ， 6 cln ， 60， a，b，c的大小比较可以转化为 23 , 23 lnlnln 的大小比较 设( ) lnx f x x ， 则 2 1 ( ) lnx fx x ， 当xe时，( )0fx，当xe时，( )0fx，当0xe时，( )0fx ( )f x在( ,)e 上，( )f x单调递减， 34e 342 342 lnlnlnln ， bca， 故选：D 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小
18、题 5 分，共分，共 20 分，把答案填在答题卡的相应位置上分，把答案填在答题卡的相应位置上 13 （5 分）函数( ) |2|f xxlnx的零点个数为 2 【解答】解：由题意，函数( )f x的定义域为(0,)； 由函数零点的定义，( )f x在(0,)内的零点即是方程|2|0xlnx的根 令 1 |2|yx， 2 (0)ylnx x，在一个坐标系中画出两个函数的图象： 由图得，两个函数图象有两个交点， 故方程有两个根，即对应函数有两个零点 故答案为：2 14 （5 分）设x，y满足约束条件 1 0 1 0 22 0 xy xy xy ，则 1 y z x 的取值范围是 0，1 第 10
19、页（共 17 页） 【解答】解：作出x，y满足约束条件 1 0 1 0 22 0 xy xy xy 对应的平面区域如图： 1 y z x 则z的 几何意义为区域内的点( 1,0)的斜率， 由图象知z的最小为DB的斜率：0，z的最大值为AD的斜率：1 1 y z x ， 则01z剟， 故答案为：0，1 15 （5 分）过抛物线 2 4yx的焦点F作倾斜角为45的直线交抛物线于A、B两点，则线 段AB的长为 8 【解答】解：由题意得：抛物线 2 4yx的焦点F为(1,0)， 直线AB倾斜角为45， 直线AB的斜率为 1，即方程为1yx， 联立得： 2 4 1 yx yx ， 消去y得： 2 (1)
20、4xx，即 2 610xx ， 设方程的两根为 1 x， 2 x，即 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 则有 12 6xx， 12 1x x ， 则 222 12121212 |()()2()42364232648ABxxyyxxx x， 故答案为：8 16 （5 分）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 cos 2cos aA cC ， 第 11 页（共 17 页） 则A的取值范围为 (0， 6 【解答】解：由 cos 2cos aA cC 得 222 222 2 2 2 bca a bc abcc ab ，化简得2ba， 222222 4333 c
21、os2 22 244442 bcaacaacac A acaccaca ， 0A，且余弦函数在0，上是递减函数， 0 6 A ， 故答案为(0， 6 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 70 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤骤 17 （12 分）等差数列 n a的前n项和为 n S，已知 2 4a ， 5 30S （1）求 n a的通项公式； （2）求数列 1 n S 的前n项和 【解答】解： （1）设数列 n a的首项为 1 a，公差为d， 依题意可知 2151 54 4,530 2 aadSad ，
22、 解得 1 2a ，2d ，故 1 (1)2(1)22 () n aandnn nN， （2）因为 (22 ) (1) 2 n nn Sn n ， 所以 1111 (1)1 n Sn nnn ， 所以 1211 111111111111 11 22334111 n SSSSnnnn 18 （12 分）某大学的一个社会实践调查小组，在对大学生的良好“光盘习惯”的调査中， 随机发放了 120 份问卷对收回的 100 份有效问卷进行统计，得到如下22x列联表： 做不到光盘 能做到光盘 合计 男 45 10 55 女 30 15 45 合计 75 25 100 （1） 现已按是否能做到光盘分层从 45
23、 份女生问卷中抽取了 9 份问卷， 若从这 9 份问卷中随 第 12 页（共 17 页） 机抽取 4 份，并记其中能做到光盘的问卷的份数为，试求随机变量的分布列和数学期望 （2）如果认为良好“光盘习惯”与性别有关犯错误的概率不超过P，那么根据临界值表最 精确的P的值应为多少？请说明理由 附：独立性检验统计量 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd ，其中nabcd， 独立性检验临界表： 2 0 ()P Kk 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0 k 1.323 2.072 2.706 3.840 5.024 【解答】解： （1）因为 9 份女
24、生问卷是用分层抽样取到的，所以这 9 份问卷中有 6 份做不到 光盘，3 份能做到光盘 因为表示从这 9 份问卷中随机抽取的 4 份中能做到光盘的问卷份数，所以有 0，1，2， 3 的可能取值， 所以 4 6 4 9 5 (0) 42 C P C ， 31 63 4 9 10 (1) 21 C C P C ， 22 63 4 9 5 (2) 14 C C P C ， 13 63 4 9 1 (3) 21 C C P C 的分布列如下 0 1 2 3 P 5 42 10 21 5 14 1 21 所以 510514 0123 422114213 E ； （2） 2 2 100(45 1530 1
25、0) 3.03 55452575 K 因为2.7063.033.840 所以能在犯错误的概率不超过 0.10 的前提下认为良好 “光盘习惯” 与性别有关， 即0.1P 19 （12 分）如甲图所示，在矩形ABCD中，4AB ，2AD ，E是CD的中点，将ADE 沿AE折起到 1 D AE位置，使平面 1 D AE 平面ABCE，得到乙图所示的四棱锥 1 DABCE （）求证：BE 平面 1 D AE； （）求二面角 1 AD EC的余弦值 第 13 页（共 17 页） 【解答】 （）证明：如图，取AE中点F，连 1 D F， 在 1 AD E中， 11 2D AD E， 1 D FAE， 又平
26、面 1 D AE 平面ABCE， 1 D F平面ABCE， BE 平面ABCE， 1 D FBE 在ABE中，可得2 2AE ，2 2BE ，4AB ， BEAE，又 1 D FAEF， BE平面 1 D AE； （）解：由题意，取AB中点G，以E为坐标原点，分别以EG，EC为x，y轴正方向 建立空间直角坐标系Exyz 如图所示，则(0E，0，0)，(0C，2， 1 0)(1D，1，2)，(2B，2，0)， 由（）知：(2,2,0)EB 是平面 1 AD E的法向量， 设平面 1 CED的法向量为( , , )mx y z，则 1 20 20 m ECy m EDxyz ，令1z ，则2x ，
27、0y ， (2,0,1)m ， 设二面角 1 AD EC的平面角为， 则 2 23 |cos| |cos,| | 32 23 EB m 由图可知，二面角 1 AD EC的平面角为钝角， 3 cos 3 ， 即二面角 1 AD EC的余弦值为 3 3 第 14 页（共 17 页） 20 （12 分）已知动点E到点(2,0)A与点( 2,0)B 的直线斜率之积为 1 4 ，点E的轨迹为曲 线C （1）求C的方程； （2）过点(1,0)D作直线l与曲线C交于P，Q两点，求OP OQ的最大值 【解答】解： （1）设( , )E x y，则2x 因为E到点(2,0)A，与点( 2,0)B 的斜率之积为
28、1 4 ， 所以1 22 yy xx ，整理得C的方程为 2 2 1(2) 4 x yx （2）当l垂直于轴时，l的方程为1x ，代入 2 2 1 4 x y得 3 (1,) 2 P， 3 (1,) 2 Q， 所以(1OP OQ ， 3) (1 2 ， 31 ) 24 ， 当l不垂直于x轴时，依题意可设(1)(0)yk xk，代入 2 2 1 4 x y得 2222 (14)8440kxk xk 因为 2 16(13)0k， 设 1 (P x， 1) y， 2 (Q x， 2) y， 则 2 12 2 8 14 k xx k ， 2 12 2 44 14 k x x k ， 24 222222
29、 121212121212 222 2 4481171 (1)(1)(1)()(1) 141444164 kk OP OQx xy yx xkxxkx xkxxkkk kkk 综上 1 4 OP OQ，当l垂直于x轴时等号成立，故OP OQ的最大值是 1 4 21 （12 分）已知函数( )1 x f xaelnx （1）设2x 是( )f x的极值点，求a，并求( )f x的单调区间； 第 15 页（共 17 页） （2）若( ) 0f x ，求a的取值范围， 【解答】解： （1）函数( )1 x f xaelnx 0x， 1 ( ) x fxae X ， 2x 是( )f x的极值点， f
30、 （2） 2 1 0 2 ae，解得 2 1 2 a e ， 2 1 ( )1 2 x f xelnx e ， 2 11 ( ) 2 x fxe ex ， 当02x时，( )0fx，当2x 时，( )0fx， ( )f x在(0,2)单调递减，在(2,)单调递增 （2）1 0 x aelnx 恒成立，即 1 x lnx a e 恒成立 设 1 ( ) x lnx g x e ，则 1 1 ( ) x lnx x g x e ， 设 1 ( )1h xlnx x ， 2 11 ( )0h x xx ， 所以( )h x在(0,)单调递减，又h（1）0， (0,1)x ，( )0h x ；(1,)
31、x，( )0h x ， ( )g x单调增区间是(0,1)，单调减区间是(1,)，( )maxg xg（1） 1 e ， 1 a e a的取值范围： 1 e，) 请考生在第请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分作答时，用两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分作答时，用 2B 铅笔在答题卡上把所选题对应的标号涂黑 （本小题满分铅笔在答题卡上把所选题对应的标号涂黑 （本小题满分 10 分）分）选修选修 4-4：坐标系与参：坐标系与参 数方程数方程 22（10 分） 已知直线 1 :( 2 xt lt yt 为参数） ， 以坐标原点为极点，x轴为极轴建
32、立极坐标系， 曲线:2sinC （1）求曲线C的直角坐标方程和直线Z的普通方程； （2）求与直线l平行，且被曲线C截得的弦长为3的直线 1 l的方程 第 16 页（共 17 页） 【解答】解： （1）直线 1 :( 2 xt lt yt 为参数） ， 转换为直角坐标方程为：30xy 曲线:2sinC 转换为直角坐标方程为： 22 20xyy 转换为标准式为 22 (1)1xy（2）设与直线l平行的直线方程为：0xyb 则：圆心(0,1)到直线的距离 22 |1|3 1() 22 b d ， 解得： 2 1 2 b ， 直线的方程为： 2 10 2 xy 或 2 10 2 xy （本小题满分（本
33、小题满分 0 分）分）选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数( ) |f xxax （1）当2a 时，解不等式( ) 3f x 的解集； （2）若存在xR，使得( )3f x 成立，求实数a的取值范围 【解答】解： （1）由( ) |f xxax，2a 时，不等式( ) 3f x 为|2|3xx， 等价于 0 22 3 x x ， 02 2 3 x ，或 2 22 3 x x ； 解得 1 2 x或x或 5 2 x；所以不等式( ) 3f x 的解集是 1 | 2 x x或 5 2 x； （2）若存在xR，使得( )3f x 成立，则( )3 min f x， 当0a 时， 2 ,0 ( ),0 2, ax x f xaxa xa x a ， ( )minf xa，即3a ， a的取值范围是03a； 当0a 时，( )2|f xx，( )(0)03 min f xf， 0a符合题意； 当0a 时， 2 , ( ),0 2,0 ax xa f xa a x xa x ， 第 17 页（共 17 页） ( )3 min f xa ，3a ，a的取值范围是30a ； 综上，实数a的取值范围是( 3,3)
