1、 一元一次方程的应用专题突破一元一次方程的应用专题突破 专题 4 一元一次方程的应用专题突破 . 1 知识框架 2 一、基础知识点 2 知识点 1 列方程解应用题的合理性 2 知识点 2 建立书写模型常见的数量关系 3 知识点 3 分析数量关系的常用方法 3 二、典型题型 6 题型 1 和差倍分问题 . 6 题型 2 总（分）量问题 . 6 题型 3 调配问题 . 7 题型 4 配套问题 . 7 题型 5 分段计费问题 . 8 题型 6 方案优化问题 . 9 题型 7 利润问题、打折问题、盈亏问题 9 题型 8 储蓄问题 . 10 题型 9 行程问题 . 11 题型 10 工程问题 . 12
2、题型 11 等积问题 . 13 题型 12 数字问题 . 13 题型 13 积分问题 . 14 三、难点题型 16 题型 1 设辅助未知数 . 16 题型 2 商品销售问题（复杂） 16 题型 3 行程问题（复杂） . 17 题型 4 工程问题（多个未知数） 19 题型 5 浓度问题 . 20 知识框架知识框架 一一、基础知识点基础知识点 知识点知识点 1 列方程解应用题的合理性列方程解应用题的合理性 列方程解实际问题，对于方程的解转为为实际问题的解答，一定要注意检验它是否符合实际情况。若不 符合，必须舍去。有时，要根据实际问题与数学问题的区别，对实际问题的解进行修正。同时，在设与答 时，单位
3、要同一。 例例 1.一队学生去校外进行军事训练，他们以 5 千米/小时的速度行进，走了 18 分钟，学校要将一紧急通知传 达给队长，通讯员从学校出发，骑自行车以 14 千米每小时的速度按原路追上去，通讯员用多少分钟可以追 上学生队伍？ 【答案】设经过 x 小时可以追上学生队伍 18 分=0.3h 依据题意，等量关系式为：学生走的路程=通讯员走的路程 方程为：5（0.3+x）=14x 解得：x= =10min 答：需要 10 分钟追上队伍。 本题中，时间单位不统一，需要先换算成相同的时间单位，在进行计算。 知识点知识点 2 建立书写模型常见的数量关系建立书写模型常见的数量关系 1）公式形数量关系
4、 生活中许多数学应用情景涉及如周长、面积、体积等公式。在解决这类问题时，必须通过情景中的信息， 准确联想有关的公式，利用有关公式直接建立等式方程。 长方形面积=长宽 长方形周长=2（长+宽） 正方形面积=边长边长 正方形周长=4 边长 2）约定型数量关系 利息问题，利润问题，质量分数问题，比例尺问题等涉及的数量关系，像数学中的公式，但常常又不算 数学公式。我们称这类关系为约定型数量关系。 3）基本数量关系 在简单应用情景中，与其他数量关系没有什么差别，但在较复杂的应用情景中，应用方法就不同了。我 么把这类数量关系称为基本数量关系。 单价数量=总价 速度时间=路程 工作效率时间=总工作量等。 例
5、例 1.一只船在逆水中航行，船上一只救生圈掉入水中，5 分钟后船员发现救生圈落水，船掉头追赶救生圈， 几分钟能够追上救生圈（调转船头时间不计）？ 【答案】设 x 分钟能够追上救生圈，船静水的速度为 v1，水流速度为 v2 依据题意，等量关系式为：救生圈走的路程=船走的路程 v2 （5+x）=x 解得：x=5 答：需要 5 分钟追上救生圈。 常见的几种等量关系公式，我们需要熟练掌握 知识点知识点 3 分析数量关系的常用方法分析数量关系的常用方法 1）译式法分析数量关系 将题中关键性的数量关系的语句译成含有未知数的代数式，并找出没有公国的等量关系，翻译成含有 未知数的等式。 例例 1. 一个三位数
6、，百位上的数字比十位上的数字大 1，个位上的数字比十位上的数字的 3 倍少 2，若将个 位与百位数字调换位置后，所得的三位数与原来三位数的和是 1171，求这个三位数。 【答案】设原十位数字为 x，则百位数字为 x+1，个位数字为 3x2 依据题意，等量关系式为：原来三位数+变换后的三位数=1171 100（x+1）+10x+（3x2）+100（3x2）+10x+（x+1）=1171 解得：x=3 故原数百位数为：3+1=4，十位数为：3，个位数为 332=7 三位数为：437 译式法时最常见的列写等式方程的方法之一 2）列表分析数量关系 当题目中条件较多，关系较复杂时，要列出表格，把已知量和
7、未知量填入表格，利用表格进行分析。 这种方法的好处在于把已知量和未知量“对号入座” ，便于正确理解各数量之间的关系。 例例 2.超市以每支 4 元的价格购进 100 支钢笔，卖出时每支的标价为 6 元，当卖出一部分钢笔后，剩余的以 9 折出售，卖完时超市盈利 188 元，其中打 9 折的钢笔有几支？ 【答案】题干中数量比较多，利用列表法分析数量关系 售价（元） 数量（支） 售出总价（元） 按标价出售 6 100x 6（100x） 打折出售 690% x 690%x 设有 x 支钢笔打 9 折，则不打折的钢笔为（100x）支 依据题意，等量关系式为：售出的费用进货费用=利润 6（100x）+6
8、90%100=188 解得：x=20 答：有 20 支钢笔打折出售。 3）图解法分析数量关系 用图形表示题目中的数量关系，这种方法能帮助我们透彻地理解题意，并可直观形象的体会题意。在 行程问题中，我们常常用此类方法。 例例 3.甲、乙两人相距 285m，相向而行，甲从 A 地除法每秒走 8 米，乙从 B 地出发每秒走 6 米。如果甲先走 12 米，那么甲出发几秒后与乙相遇？ 【答案】在行程问题当中，我们往往利用图解法来分析题干中的等量关系 设甲出发 x 秒后与乙相遇 依据题意，等量关系为：甲走的距离+乙走的距离=285 8x+6（x）=285 解得：x=21 答：甲出发 21 秒后与乙相遇 二
9、、典型题型二、典型题型 题型题型 1 和差倍分问题和差倍分问题 解题技巧：解题技巧：此类题型，需要弄清楚“倍数” “多” “少”等关系。 （1）甲是乙的 a 倍：甲=乙a （2）甲比乙多 ：甲=乙 （1+ ） （3）甲比乙少 ：甲=乙 （1 ） 例例 1.今年收入比去年提高 20%，今年人均收入比去年的 1.5 倍少 1200 元，求去年的人均收入是多少？ 【答案】设去年的人均收入为 x 元，则今年收入为（1+20%）x 元 依据题意，等量关系式为：今年收入=去年收入1.51200 （1+20%）x=1.5x1200 解得：x=4000 答：去年人均收入为 4000 元。 例例 2.把一根长
10、100cm 的木棍据成两段，使其中一段长比另一段的 2 倍少 5cm，求分成的两段木棍的长度。 【答案】设一根长为 xcm，则另一根长为（100x）cm 依据题意，等量关系式为：一根长=另一根长25 x=2（100x）5 解得：x=65 则另一根木棍长为：10065=35cm 答：一根木棍长为 65cm，另一根木棍长为 35cm。 题型题型 2 总（分）量问题总（分）量问题 解题技巧：解题技巧：此类题型，总量始终是不变的量，类似与工程问题，多利用这个不变量来列写等式方程。 例例 1.把一批图书分给同学，若每人分 3 本，则剩下 20 本；若每人分 4 本，则还差 25 本。问有多少同学？ 【答
11、案】无论如何分，同学数量不变，图书数量始终不变。 则等量关系式为：第一种方法分书时书本数量=第二种方法分书时书本数量 设有 x 名同学。 3x+20=4x25 解得：x=45 答：有 45 名同学。 例例 2.用 A 型机器和 B 型机器生产同样的产品，5 台 A 型机器生产一天的产品装满 8 箱后还剩 4 个；7 台 B 型机器生产一天的产品装满 11 箱后还剩 1 个， 每台 A 型机器比 B 型机器一天多生产 1 个产品， 求每箱产品 有多少个产品？ 【答案】每箱产品的数量始终是不变的，利用这个不变的关系，可以求解出 A 型机器和 B 型机器生产的产 品数量。然后利用 A 型机器比 B
12、型机器多生产 1 个产品列等量关系是。 依据题意，等量关系是为：1 台 A 型机器每天生产产品数量=1 台 B 型机器每天生产产品数量+1 设每箱产品有 x 个 （8x+4）= （11x+1）+1 解得：x=12 答：每箱产品的数量为 12 个。 题型题型 3 调配问题调配问题 解题技巧：解题技巧：调配问题中，调配前后总量始终保持不变，可利用这个关系列写等式方程，有时又在调配前后 的变化中找等量关系。 调出者的数量=原有的数量调出的数量 调进者的数量=原有的数量+调入的数量 例例 1.第一组有 36 人，第二组有 24 人。因工作需要，从第二组调了几个人到第一组，结果第一组的人数是 第二组的
13、2 倍，求从第二组调了几人到第一组。 【答案】调动前后，第一组人数增加，第二组人数对应减少。 依据题意，等量关系式为：调动后第一组人数=调动后第二中人数2 设从第二种调动了 x 人到第一组，则第一组人数为（36+x）人，第二组人数为（24x）人 36+x=2（24x） 解得：x=4 答：从第二组调 4 人到第一组 例例 2.第二组比第一组人数的 少 30 人，从第二组调出 10 人到第一组，那么第一组的人数比第二组多 60 人， 求第一组原来有多少人？ 【答案】调动前后，第一组人数增加 10 人，第二组人数对应减少 10 人。 依据题意，等量关系式为：调动后第一组人数=调动后第二中人数+60
14、设原来第一组有 x 人，则第二组原来有（ x30）人。 x+10=（ x30）10+60 解得：x=50 答：第一组原来有 50 人。 题型题型 4 配套问题配套问题 解题技巧：解题技巧：因工艺上的特点，某几个工序之间存在比例关系，需这几道工序的成对应比例才能完全配套完 成，这类题型为配套问题。配套问题，主要利用配套的比例来列写等式方程。 例例 1.某水利工程派 35 人去挖土和运土，如果每人每天挖 2 方或运 3 方土，那么应该怎么安排人员，正好使 挖出的土能及时运走？ 【答案】挖土与运土之间的比例为 2:3，要能够刚好把挖出的土运走，则挖出的土和运走的土相同 依据题意，等量关系式为：挖出的
15、土=运走的土 设 x 人挖土，则（35x）人运土 2x=3（35x） 解得：x=21 则运土人数为：3521=14 答：挖土 21 人，运土 14 人。 例例 2.某车间有工人 68 人，平均每人每天可以加工大齿轮 8 个或小齿轮 10 个，又知一个大齿轮和三个小齿 轮配为一套，问应该如何安排劳力使生产的产品刚好配套？ 【答案】大齿轮和小齿轮的数量比为 1:3 依据题意，等量关系式为：大齿轮生产数量：小齿轮生产数量=1:3 设分配 x 人生产大齿轮，则（68x）人生产小齿轮 8x：10（68x）=1:3 解得：x=20 则生产小齿轮人数为：6820=48 人 答：生产大齿轮 20 人，小齿轮
16、48 人。 题型题型 5 分段计费问题分段计费问题 解题技巧：解题技巧：此类题型，收费往往因为不同的分段，标准会不一样。因此，在列写此类问题的等式方程时， 需要先依据题意将路程进行合理分段，然后在按照不同分段中的收费标准列写等式方程。 例例 1. 某种出租车的收费标准是：起步价 7 元（即行驶距离不超过 3 千米需付 7 元车费） ，超过 3 千米后， 每增加 1 千米加收 2.4 元 （不足 1 千米按 1 千米计算） ， 某人乘坐这种出租车从甲地到乙地共支付车费 19 元， 则此人从甲地到乙地经过的路程是多少千米？ 【答案】设他乘此出租车从甲地到乙地行驶的路程是 x 千米，依题意： 7+2
17、.4（x-3）=19， 解得： x=8 答：他乘此出租车从甲地到乙地行驶路程不超过 8 千米 例例2. 一出租车起步价是 5 元， 8公里内按起步价收费， 8公里以上20公里以内按每增加1公里另收费0.5 ； 20 公里以上按每增加 1 公里另收费 1 元，一乘客付出车费 21 元，问他乘坐多少公里？ 【答案】设他乘此出租车从甲地到乙地行驶的路程是 x 千米，依题意： 5+（20-8）*0.5+（x-20）*1=21 解得：x=30 例例 3.某市居民用电基本价格为每度 0.4 元，若每月用电量超过 a 度，超过部分按基本电价的 70收费。 （1）某户 5 月份用电 84 度，共交电费 30.
18、72 元，求 a. （2）若该户 6 月份的电费平均每度 0.36 元，求 6 月份共用电多少度？应交电费多少元？ 【答案】 （1）0.4a+（84-a）*0.4*0.7=30.72 解得：a=60 （2）设共用电 x 度 0.4*60+（x60）*0.4*0.7=0.36x 解得：x=90 应交费： 90*0.36=32.4 元 题型题型 6 方案优化问题方案优化问题 解题技巧：解题技巧：此类题型，一般会提供多种方案供选择，要求我们选出最合算的方案。解此类题型，有 2 种思 路。 思路 1：分别求解出每种方案的最终费用，在比较优劣 思路 2：求解出每种方案费用相同时的临界点，在根据临界点进行
19、讨论分析。 例例 1. 某单位急需用车，但又不需买车，他们准备和一个个体车主或一国营出租公司中的一家签定月租车合 同，个体车主的收费是 3 元/千米，国营出租公司的月租费为 2000 元，另外每行驶 1 千米收 2 元， (1) 这个单位若每月平均跑 1500 千米，租用哪个公司的车比较合算？ (2) 每月跑多少千米两家公司的费用一样 ? 【答案】设当路程为 x 时，两种方案的费用一样 3x=2000+2x 解得：x=2000 所以当 x2000 时，个体合算 当 x2000 时，公司合算 例例 2 运送一批木材，甲公司收费是 3000 元起步，每公里另收 5 元；乙公司起步价位 1000 元
20、，每公里另收 8 元。 （1）当路程为 100 千米时，选用哪家公司？ （2）什么情况下，两家公司的收费一样？ 【答案】 （1）甲公司费用为：3000+5100=3500 元 乙公司费用为：1000+8100=1800 元 （2）设当路程为 x 千米时，两家公司收费一样 依据题意，等量关系式为：甲公司费用=乙公司费用 3000+5x=1000+8x 解得：x= 答：当路程为千米时，两家公司的收费一样。 题型题型 7 利润问题、打折问题、盈亏问题（利润问题、打折问题、盈亏问题（P77；P90） 解题技巧：解题技巧：此类题型，需要我们找出利润和利润率之间的关系来列写等式方程。 利润=售价进价 利润
21、率= 售价=标价销售折扣 例例 1.七年级社会实践小组调查发现， 某衬衫进价为 80 元， 购进了 500 件， 并以每件 120 元的价格销售了 400 件。剩下衬衫，准备降价销售。请你帮忙计算一下，每件衬衫降价多少元时，销售完这批衬衫正好盈利 45% 的预期目标？ 【答案】等量关系式为：=45% 设每件降价 x 元 =45% 解得：x=20 答：每件降价 20 元刚好盈利 45%。 例例 2.书店举行购书优惠活动： （1）一次性购书不超过 100 元，不享受优惠； （2）一次性购书超过 100 元，但不超过 200 元，一律九折； （3）一次性购书 200 元或以上，一律七折 小林在这次活
22、动中，两次购书总共付费 229.4 元，第二次购书原价是第一次购书原价的 3 倍，那么小林两次 购书原价的总和是多少？ 【答案】设第一次购书原价为 x 元，则第二次购书原价为 3x 元 假设 x100，当 x 最小为 100，则 3x 为 300 时，优惠后的价格为：1000.9+3000.7=300229.4 所以 x 必定小于 100 假设 3x100，则 x100，则两次的费用不足 200 元 所以 3x 必定大于 100 情况一： 则方程为：x+3x 解得：x=62 则第一次够书原价为 62 元，第二次购书原价为 186 元，成立 情况二： 则方程为：x+3x 解得：x=74 则第一次
23、购书原价为 74 元，第二次购书原价为 222 元，成立。 综上得：第一次购书和第二次购书原价为 62 元、186 元或 74 元、222 元。 题型题型 8 储蓄问题储蓄问题 解题技巧：解题技巧：本金、利息、年利率、利息税税率和实得本利和之间的相等关系： 本金 利率=利息 利息 税率=利息税 本金+利息利息税=实得本利和 例例 1. 小明把压岁钱按定期一年存入银行。当时一年期存款的年利率为 1.98，利息税的税率为 20.到期 支取时，扣除利息税后小明实得本利和为 507.92 元。问小明存入银行的压岁钱有多少元？ 【答案】设小明存入银行的压岁钱为 x 元。 依据题意，等量关系式为：本金+利
24、息利息税=实得本利和 x+1.98%x=507.92 解得：x=500 答：小明存入银行的压岁钱为 500 元。 例例 2.老王把 5000 元按一年期的定期储蓄存入银行。到期支取时，扣去利息税后实得本利和为 5080 元。已 知利息税税率为 20，问当时一年期定期储蓄的年利率为多少？ 【答案】设老王存入银行的年利率为 x%。 依据题意，等量关系式为：本金+利息利息税=实得本利和 5000+5000x=5080 解得：x=2 答：利率为 2%。 题型题型 9 行程问题行程问题 解题技巧：解题技巧：行程问题总公式为：路程=速度时间。行程问题可分为 3 大类，不同类型的问题，在求解速度 时有所不同
25、，具体如下： （1）相遇问题： 总速度=甲的速度+乙的速度 （2）追击问题： 总速度=追击者速度被追击者速度（快慢） （3）航行问题： 顺水（风）速度=静水（风）速度+水（风）速 逆水（风）速度=静水（风）速度水（风）速 例例 1.甲、乙两地相距 100 千米，小张与小王分别从甲、乙两地同时出发，相向而行，小张的速度比小王的 速度每小时快 10 千米，经过 2 小时相遇，小张和小王的速度分别是多少？ 【答案】设小王的速度为 xkm/h，则小张的速度为（x+10）km/h。 依据题意，等量关系式为：小张走的路程+小王走的路程=总路程 2x+2（x+10）=100 解得：x=20 则小王的速度为
26、20km/h，小张的速度为 20+10=30km/h。 答：小王的速度为 20km/h，小张的速度为 20+10=30km/h。 例例 2.一列火车匀速行驶，完全通过一条长 300 米的隧道需要 20 秒的时间，隧道的顶上有一盏灯，垂直向下 发光，灯光照在火车上的时间是 10 秒，求火车的速度。 【答案】设火车的速度为 xm/s 依据题意，等量关系式为：火车速度时间=隧道长度+火车长度 20x=300+10x 解得：x=30 答：火车的速度为 30m/s。 例例 3.一辆慢车从 A 地开往 300 千米的 B 地，一辆快车同时从 B 地开往 A 地，若慢车速度为 40 千米每小时， 快车速度是
27、慢车速度的 1.5 倍，他们出发多久后相距 100 千米？ 【答案】出发后相距 100 千米，有 2 种情况。一种为还未相遇，距离为 100 千米；另一种为相遇后，再次 相距 100 千米。 情况一：两车还未相遇，之间的距离为 100 千米 设出发时间为 xh 依据题意，等量关系式为：快车走的距离+慢车走的距离=300100 40x+1.5=300100 解得：x=2 情况二：两车相遇后，之间的距离再次为 100 千米 设出发时间为 xh 依据题意，等量关系式为：快车走的距离+慢车走的距离=300+100 40x+1.5=300+100 解得：x=4 综上得：出发 2 小时和出发 4 小时时，
28、相距 100 千米。 题型题型 10 工程问题工程问题 解题技巧：解题技巧：我们常常把工作总量看做单位“1” ，工作效率则用几分之几表示。在工程问题中，常常用“不 同的对象所完成的工作量之和等于总工作量”这个关系来列写等式方程。 例例 1.一件工程单独甲做 20 小时，乙要 12 小时，现由甲先单独做 4 小时，然后乙加入合做，一共需要合做 几个小时？ 【答案】设一共需要 x 个小时，工程量为单位“1” 依据题意，等量关系式为：甲独做的工程量+甲乙合作的工程量=1 解得：x=6 答：合作一共需要做 6 小时。 例例 2.加工一批零件，由一人做需要 100 小时，现在计划先由若干人做 2 小时，
29、再增加 5 人做 9 小时，恰好 完成任务，先安排多少人做 2 小时？ 【答案】先安排 x 人做 2 小时，工程量为单位“1” ，一个人的工作效率为 依据题意，等量关系式为：先做 2 小时的工程量+增加 5 人的完成的工作量=1 解得：x=5 答：先安排 5 人做 2 小时。 题型题型 11 等积问题等积问题 解题技巧：解题技巧：图形无论如何切割或边形，其面积或体积始终不变，利用这个不变的特点，列写等式方程。 例例 1.某工厂锻造直径为 60 毫米，高 20 毫米的圆柱形零件毛坯，需要截取直径 40 毫米的圆钢多长？ 【答案】构造成零件，虽然形状改变，但是总体积始终不变，依次来列写等量方程。
30、依据题意，等量关系式为：零件的体积=圆钢的体积 设圆钢长度为 x 毫米 解得：x=45 答：需要截取 40mm 的圆钢 45mm。 例例 2. 如图一个铁片长 30cm,宽 20cm，打算从四个角各截去一个小正方形，然后把四边折起来做一个无盖的 铁盒，铁盒的底面周长为 60cm,问铁盒的高是多少？ 【答案】设铁盒的高为 xcm 依据题意，等量关系式为：铁盒的底面周长+截取正方形边长=铁片周长 60+2=2（30+20） 解得：x=5 答：铁盒的高是 5cm 题型题型 12 数字问题数字问题 30cm 20cm 解题技巧：解题技巧：任何一个正数 N=都可以表示为 +。利用这个特点和题干中的关系，
31、寻找等式方程。 例例 1.一个两位数，它的十位上的数字比个位上的数字大 5，并且这个两位数比它的两个数位上的数字之和的 8 倍还要大 5，求这个两位数。 【答案】设这个两位数的个位数字为 x，则十位数字为（x+5） 依据题意，等量关系式为：这个两位数=各位数字之和8+5 10（x+5）+x=8（x+5+x）+5 解得：x=1 所以这个数个位数字为 1，十位数字为 1+5=6 所以这个两位数为 61 答：这个两位数为 61 例例 2.一个两位数，十位上的数与个位上的数字之和为 11，如果十位上的数字与个位上的数字对调，则所得 的新数比原来的数大 63，求原来的两位数。 【答案】设个位数字为 x,
32、则十位数字为(11x) 依据题意,等量关系式为:新的两位数=原两位数+63 10x+(11x)=10(11x)+x+63 解得:x=9 所以原数个位数为:9,十位数为:119=2 所以原来的两位数为 29 答:原来的两位数为 29. 题型题型 13 积分问题积分问题 解题技巧：解题技巧：此类问题，主要是通过积分来列写等式方程。需要注意，有些比赛结果只有胜负；有的比赛结 果又胜负和平局。 比赛总场数=胜场数+负场数+平场数 比赛积分=胜场积分+负场积分+平场积分 例例 1.足球赛 8 轮，胜一场记 3 分，平一场记 1 分，输一场不得分。在这次足球比赛中，猛虎队平的场次是 负的场次的 2 倍，且
33、 8 场比赛共得 17 分，该队共胜多少场？ 【答案】设该队共负 x 场，则平 2x 场，胜（83x）场 依据题意，等量关系式为：平场分数+胜场分数=总得分 2x+3（83x）=17 解得：x=1 所以负 1 场，平 2 场，胜 83=5 场 答：该队共胜 5 场。 例例 2.足球比赛，胜一场记 3 分，平一场记 1 分，输一场不得分。一支足球队在某个赛季中共比赛 14 场，现 在已比 8 场，输了 1 场，共得 17 分。问： （1）前 8 场比赛中，这支球队共胜多少场？ （2）打满 14 场，最高能得多少分？ （3）通过比赛分析，到比赛结束，得分不低于 29 分，则后面的 6 场比赛至少要
34、胜几场才能达到预期目标？ 【答案】 （1）设前 8 场比赛，该队共胜 x 场，则平（7x）场 依据题意，等量关系式为：平场分数+胜场分数=总得分 3x+（7x）=17 解得：x=5 答：这支球队共胜 5 场 （2）打满 14 场，还剩下 148=6 场，要想得到最高分，则剩下的比赛全胜。 得分为：17+63=35 分 （3）要求最少的胜场，则未胜的场次为平局。设至少要胜 y 场，则平（6y）场 依据题意，等量关系式为：胜场分数+平局分数=2917 3y+（6y）=2917 解得：y=3 答：至少需要胜 3 场。 三、难点题型三、难点题型 题型题型 1 设辅助未知数设辅助未知数 解题技巧：解题技
35、巧：我们解决数学问题时，除了应设的未知数外，增设一些辅助未知数，其目的不是要具体地求出 它们的值，而是以此作为桥梁，沟通数量之间的关系，架起连接以质量和未知量。 例例 1.从下午 3 点步行到晚上 8 点，先走平路，然后上山，到达山顶后就按原路下山，再走平路返回出发地。 若他走平路每小时 4 千米，上山每小时 3 小时，下山每小时 6 千米，问这个人一共走了多少千米？ 【答案】设全程为 x 千米，山路长为 y 千米，则他上山需要 小时，下山需要 小时，走平路来回需要小 时 依据题意，等量关系式为：平路时间+上山时间+下山时间=总时间 通过化简计算，发现未知数 y 在化简中会被抵消掉 解得：x=
36、20 答：这个人一共走了 20 千米。 例例 2.一个水池，底部装有一个常开的排水管，上部装有若干粗细相同的进水管，打开 4 个进水管时，需要 5 小时注满水池。打开 2 个进水管时，需要 15 小时才能注满水池。现在要在 2 小时内将水池注满，至少要打 开多少个进水管？ 【答案】设水池容量为 w，进水每根水管每小时为 x，出水为 y。 依据题意，等量关系式为：进水出水=水池容量 化简得： 虽然无法解出未知数具体得数，但可以得到未知数之间的数量关系 设至少打开 z 个进水管，可以在 2 小时注满水 依据题意，等量关系式为：进水出水=水池容量 2zx2y=w 将 y，z 都用 x 表示出来，求解
37、过程中，x 也会抵消掉 解得：z=8.5 所以至少需要 9 个进水管 答：至少需要 9 个进水管。 题型题型 2 商品销售问题（复杂）商品销售问题（复杂） 解题技巧：解题技巧：在解决复杂商品销售问题时，通常会多设原价为 a 这个未知数，虽然在解题过程中，这个未知 数会被消掉。但是，若不设这个未知数，许多关系就不好表达了。 例例 1.某商品的标价比成本高 p%，当该商品降价出售时，为了不亏损成本，售价的折扣（即降价的百分数） 不得超过 d%，试用 p 表示 d。 【答案】设商品成本为 x 依据题意，等量关系式为：利润=售价折扣成本 x（1+p%） （1d%）x=0 求解过程中，发现 x 会抵消掉
38、 解得：d= 答：d 和 p 的关系式为： 例例 2.商店一种商品的进价降低了 8%， 而售价保持不变， 可使得商品的利润提高 10%， 问原来的利润是多少？ 【答案】设原来的进价为 a 元，原利润率为 x%。 依据题意，等量关系式为：原利润率+10%= 化简过程中发现，a 可以抵消掉 解得：x=15 答：原来的利润率为 15%。 例例 3.某商场经销一种商品，由于进货时价格比原价降低了 6.4%，使得利润增加了 8%，求经销这种商品原来 的利润率。 【答案】设原进价为 x 元，售价为 y 元 依据题意，等量关系式为：原利润率+8%= 化简得：100y=117x 题干要求求解原利润率，即 答：
39、商品原来的利润率为 17%。 题型题型 3 行程问题（复杂）行程问题（复杂） 解题技巧：解题技巧：行程问题时基本的数学模型，我们需要找到合适的数学模型，建立等量关系。在行程问题中， 最常见的方式是通过对速度的叠加与分解来建立等量关系。 例例 1.甲、乙分别从 A、B 两地出发相向而行，若同时出发，经过 36 分钟相遇；若甲比乙提前 15 分钟出发， 乙出发后 30 分钟相遇，求甲由 A 地到 B 地、乙由 B 地到 A 地所用的时间。 【答案】设甲从 A 到 B 所用的时间为 x 分钟，总路程为单位“1” ，则甲的速度为 ，乙的速度为（）. 依据题意，等量关系式为：甲走的路程+乙走的路程=总路
40、程 30（）=1 解得：x=90 所以甲从 A 到 B 的时间为 90 分钟 乙从 B 到 A 的时间为=60 分钟 答：甲从 A 地到 B 地需要 90 分钟，乙从 B 到 A 需要 60 分钟。 例例 2.某商场有一部自动扶梯匀速由下至上运动，甲、乙都急于上楼办事，因此在乘自动扶梯的同时匀速登 楼，甲登 55 级后达到楼上，乙登楼速度是甲的 2 倍，他登了 60 级后到达楼上，那么，由楼下到楼上自动 扶梯级数为多少级？ 【答案】设甲的速度为 x，则乙的速度为 2x，设楼梯的速度为 y 此题为流水模型，依据题意，等量关系式为： （甲的速度+楼梯速度）甲上楼梯的时间=楼梯长度=（乙的速度+楼梯
41、速度）乙上楼梯的时间 甲上楼的时间为：，乙上楼的时间为： （x+y）= 化简可以求得 x 与 y 之间的等量关系：x=5y 楼梯长度=（x+y） ，将 x=5y 代入可求得为：66 答：楼梯长度为 66 级。 例例 3.某人匀速走在马路上，马路的前后两端都有公共汽车站，每间隔相同时间发出一辆公共汽车，他发现 每隔 15 分钟有一辆汽车追上他；每隔 10 分钟有一辆公共汽车迎面驶来。问公共汽车每隔多少分钟发车一 辆（设每辆公共汽车速度相同） 。 【答案】设人的速度为 x，车的速度为 y，发车间距时间为 z。 当第一辆车与人相遇后，第二辆车距人的距离为 yz。 从后追上人的车，为追击模型，即 yz
42、 这段距离，车需要 15 分钟追上 迎面的车，为相遇模型，即 yz 这段距离，车需要 10 分钟相遇 化简可抵消 z，求得 x 与 y 之间的数量关系：y=5x 代入可求得：z=12 答：每个 12 分钟发一辆车。 题型题型 4 工程问题（多个未知数）工程问题（多个未知数） 解题技巧：解题技巧：工程问题关键是把“一项工程”看成单位“1” ，工作效率就可以用工作时间的倒数来表示。复 杂的工程问题，往往需要设多个未知数，不要担心，在求解过程中，有一些未知数是可以约掉的。 例例 1.一项工程，甲单独做 24 小时完成，乙单独做 36 小时完成。先要求 20 小时完成，并且两人合作的时间 尽可能短，那
43、么，甲乙合作多长时间？ 【答案】设甲乙合作 x 小时，工程量为单位“1” 因为要求尽量少合作，则合作完成后，后续的工作给完成得快的单位完成，即合作完成后，剩下的工作 交给甲完成。 依据题意，等量关系为：合作的工程量+甲后续完成的工程量=1 （）x+ 化简求得：x=6 答：甲乙合作 6 小时。 例例 2.现有男、女工人 1100 人，其中全体男工和全体女工可用同样的天数完成同样的工作。若将男工人数和 女工人数对调一下，则全体男工 25 天能完成工作，让女工做 36 天才能完成。问男、女工人数各是多少？ 【答案】设男工人 x 人，则女工人有（1100x）人；设男工人的工作效率为 y，女工人的工作效
44、率为 z，工 程量为单位“1” 。 依据题意，等量关系式为： 男工人数男工人工作效率男工人工作时间=1=女工人数女工人工作效率女工人工作时间 在化简过程中，可以抵消掉 z，求得 x=500 所以男工人有 500 人，女工人有：1100500=600 人 答：男工人有 500 人，女工人有 600 人。 例例 3.某项工程，如果由甲、乙两队承包，2 天完成，需付 180000 元；由乙、丙两队承包，3 天完成，需付 150000 元；由甲、丙队承包，2 天完成，需付 160000 元。先在工程由一个对独承包，在保证一周完成的前 提下，那个承包队费用最少？ 【答案】设甲需要 x 天完成，乙需要 y
45、 天，丙需要 z 天；甲每天的费用为 a 元，乙每天的费用为 b 元，丙每 天的费用为 c 元；工程量为单位“1” 。 依据题意，等量关系式为： 合作的工作效率工作时间=1 等量关系 1 合作时每天的费用工作时间=总费用 等量关系 2 利用等量关系 1 可得： 化简可求得：x=4，y=6，z=10 利用等量关系式 2 可得： 化简求得：a=45500，b=29500，c=10500 因为 x=4，y=6，z=10，所以，甲和乙可以在一周内完成 甲单独做的费用为：455004=182000 元 乙单独做的费用为：295006=177000 元 因此，应该选择乙对完成工程。 答：选择乙队费用最低。
46、 题型题型 5 浓度问题浓度问题 解题技巧：解题技巧：糖与糖水总量的的比值叫作糖水的溶度。列写等式方程，需要分别算清溶质和溶液的质量，在 利用溶度问题的一些等量关系列写方程。 溶液=溶质+溶剂 溶度= 例例 1.设有甲、乙两个杯子。甲杯装有 10 升 A 溶液，乙杯中装有 10 升 B 溶液。先在从甲杯中取出一定量的 A 溶液，倒入乙杯中并搅拌均匀。再从乙杯中取出等量的混合溶液倒入甲杯中。测得甲杯 A 溶液和 B 溶液 的比为 5:1，求第一次从甲杯中取出的 A 溶液是多少升？ 【答案】设从甲杯中取出 x 升 A 溶液倒入乙杯中，则乙杯中 A 溶液和 B 溶液的比为 x：10.从这混合液中取
47、出 x 升，其中含 A 溶液为：升，B 溶液为升 依据题意，等量关系式为：甲杯中 A 溶液：B 溶液=5:1 （10x）+：=5:1 解得：x=2 答：第一次从甲杯中取出的 A 溶液是 2 升。 例例 2.130 克含盐 5%的盐水，与含盐 9%的盐水混合，配成含盐 6.4%的盐水，这样配成的 6.4%的盐水有多少 个？ 【答案】设配成 6.4%的盐水需要 x 克 9%的盐水。 依据题意，等量关系式为：=6.4% 化简求得：x=70 所以需要 70 克 9%的盐水，配成后的盐水重量为：130+70=200 克。 答：配成后的盐水重量为 200 克。 例例 3.在某种溶度的糖水中加入一杯水后，得到新糖水，它的溶度为 20%；又在新糖水中加入与前一杯水质 量相同的纯糖后，糖水的溶度变为 33。求原来糖水的溶度。 【答案】设原来糖的重量为 x，原来杯中的水的重量为 y，一杯水杯的重量为 z。 依据题意，等量关系式为： 化简可求得等量关系：z=4xy 继续化简可求得：y=3x 所以原来水的溶度为： 答：原来水的溶度为 25%。
