1、整式的加减专题详解整式的加减专题详解 专题 2 整式的加减专题详解 . 1 2.1 整式 2 知识框架 2 一、基础知识点 2 知识点 1 单项式的概念 . 2 知识点 2 多项式的有关概念 . 3 知识点 3 整式的概念 . 4 知识点 4 正确列代数式 . 5 二、典型题型 7 题型 1 运用整式有关的概念求字母的值 7 题型 2 有含字母的式子表示数量关系 8 三、难点题型 10 题型 1 整式的实际应用 . 10 题型 2 找规律 . 10 2.2 整式的加减 12 知识框架 12 一、基础知识点 12 知识点 1 同类项的概念 . 12 知识点 2 合并同类项（原理：乘法分配律） 1
2、3 知识点 3 去括号法则 . 14 知识点 4 整式的加减（合并同类项） 15 二、典型题型 16 题型 1 “有序”进行有理数的加减 16 题型 2 去多重括号 . 16 题型 3 利用同类项的概念求值 17 题型 4 整式“缺项”问题 . 18 题型 5 与字母取值无关的问题 18 题型 6 求代数式的值与整体思想 19 题型 7 整式在生活中的应用 . 20 题型 8 图形规律 . 21 三、难点题型 22 题型 1 待定系数法 22 题型 2 整数的多项式表示 . 22 2.1 整式整式 知识框架知识框架 一、基础知识点一、基础知识点 知识点知识点 1 单项式的概念单项式的概念 单项
3、式单项式：数或字母的积 注：分母中有字母，那就是字母的商，不是单项式 “或” 单独的一个数字或单独一个字母也称为单项式 例：5x；100；x；10ab 等 系数：单项式中的数字叫做单项式的系数 单项式的次数：一个单项式中所有字母的指数的和 例例 1.判断下列各式中那些是单项式，那些不是？如果是单项式，请指出它的系数和次数。 -13b； ； 【答案】单项式有： -13b，系数为13，次数为 1 ，系数为 ，次数为 1+2=3 ，系数为 ，次数为 0 ，系数为 ，次数为 2+1=3 ，系数为，次数为 2+3=5 例例 2.的系数是 ，次数是 。 【答案】系数为：1，次数为 1+2+3=6 知识点知
4、识点 2 多项式的有关概念多项式的有关概念 1）多项式：几个单项式的和 注：和，即减单项式，实际是加该单项式的负数 项：每个单项式叫做多项式的项，有几项，就叫做几项式 常数项：不含字母的项 多项式的次数：所有项中，次数最高的项的次数就是多项式的次数（最高次数是 n 次，就叫做 n 次式 例例 1.将多项式按字母 y 作升幂排列。 【答案】 中 y 的次数为 0 中 y 的次数为 2 中 y 的次数为 3 例例 2.指出下列多项式的项和次数，并说明每个多项式是几次几项式。 1 【答案】项有：，次数为 3 次； ，次数为 3 次； ，次数为 3 次； ，次数为 3 次； 综上得，该多项式为：三次四
5、项式 项有：，次数为 6 次； ，次数为 2 次； 1，次数为 0 次； 综上得，该多项式为：六次三项式 例例 3.如果式子（m+4）是关于 x，y 的五次二项式，求 m 的值 【答案】因为式子是五次二项式 又因为是四次式 所以（m+4）是五次式，且（m+4）0 即： 解得：m=4 知识点知识点 3 整式的概念整式的概念 1）整式：单项式与多项式统称为整式。 多项式 单项式 整式 2）提示：多项式是由多个单项式构成的； 单项式和多项式的区别在于是否含有加减运算； 分母中含有字母的式子不是整式（因不是单项式或多项式） 例例 1.判断下列各式是否为整式： -1；x； 【答案】整式有： 不是整式，因
6、为中字母为分母 例例 2.若+a=0，求 2+2a+2016 的值。 代数式 3-4x+6 的值为 9，求x +6 的值。 【答案】因为+a=0 所以 2+2a=0 所以 2+2a+2016=2016 因为 3-4x+6=9 所以x +2=3 所以x +6=7 知识点知识点 4 正确列代数式正确列代数式 1）字母与数字相乘，或字母与字母相乘，乘号不用“” ，而是“” ，或略去不写。因“”与“x” 易混淆。 2）字母与数字相乘，一般数字在前，系数带分数的，一般写成假分数。因 3 x 易混淆为 3 x。 3）系数是 1 时，一般省略不写。 4）多项式后面带单位，多项式须用括号括起来。 例例 1.设
7、甲数为 x，用代数式表示下列的乙数： 乙数比甲数小 7%； 乙数是甲数的 1 倍； 甲数的倒数比乙数小 5. 【答案】（1-7%）x x 例例 2.用代数式表示下列关系 a 与 b 的 2 倍的和除以 c 所得的商； x，y 两数差的平方； x 的相反数与 y 的立方的和； x 与 y 的平方差； a 的 5 倍与 b 的和的一半； a 与 2 的积； 2a 除以 b 与 3c 的积的商。 【答案】 x+ 二、典型题型二、典型题型 题型题型 1 运用整式有关的概念求字母的值运用整式有关的概念求字母的值 一、利用单项式的系数与次数求值一、利用单项式的系数与次数求值 解题技巧：解题技巧：此类题型有
8、 2 点需要注意：题干会告知单项式的次数，利用系数关系可以列写一个等式； 还需注意，单项式的系数不为 0 例例 1.若单项式（m1）是关于 x，y 的五次单项式，求 m 的值。 【答案】单项式是五次 解得 x=1 或 x=3 单项式系数不能为 0 m10 解得：m1 综上得：m=3 例例 2.已知（m+2）是关于 x，y 的四次单项式，求 m，n 的值。 【答案】单项式是四次 解得 m=0 或 m=2 单项式系数不为 0 m+20 解得：m2 是单项式 n2=0 解得：n=2 综上得：m=0，n=2 二、利用多项式的次数及特定的系数求值二、利用多项式的次数及特定的系数求值 解题技巧：解题技巧：
9、此类题型有 3 点需要注意：题干会告知次数，则多项式的最高次数项的次数等于该值； 注意最高次数项的系数不能为 0；题干还会告知项数，往往利用项数也能确定一些等式（不等式） 。 例例 1.若多项式（m1）是关于 x 的二次多项式，求 m，n 的值。 【答案】多项式是二次多项式 多项式中的单项式（m1）系数必为 0 即 m1=0，m=1 多项式是二次 n=2 综上得：m=1，n=2 例例 2.若关于 x，y 的多项式 3 m xy2+（m+2）x2y1 是四次三项式，求 m 的值。 【答案】多项式是四次三项式 ，且 m+20 解得：m=2 或 m=2（舍） 综上得：m=2 题型题型 2 有含字母的
10、式子表示数量关系有含字母的式子表示数量关系 解题技巧：解题技巧：此类题型，需要结合数学常识，用字母表示这些数量关系。 常见类型有： （1）常见公式的应用 （2）数量关系的描述等 例例 1. 用代数式表示： a 与 b 的 2 倍的和除以 c 所得的商； x，y 两数差的平方； x 的相反数与 y 的立方的和； x 与 y 的平方差； a 的 5 倍与 b 的和的一半； -a 与 2 的积； -2a 除以 b 与 3c 的积的商。 【答案】 x+ 2 a 三、难点题型三、难点题型 题型题型 1 整式的实际应用整式的实际应用 解题技巧：解题技巧：解决此类问题，需要先根据题干意思，列代数式表示量的大
11、小，再根据题目要求进行分析求解。 例例 1. 某公园的门票价格是：成人 20 元，学生 10 元，满 40 人可以购买团体票（打 8 折） ，设一个旅游团共 有 x 人（x40） ，其中学生 y 人。 用含 x，y 的式子表示该旅游团应付的门票费； 如果旅游团有 47 个成人，12 个学生，那么他们应付多少门票费？ 【答案】x40 可以购买团体票，即打 8 折 门票费：0.820（xy）+10y=16x8y 总费用为：0.8（4720+1210）=848（元） 例例 2.王老师到文体商店为学校买排球，排球单价为每个 a 元，买 10 个以上按 8 折优惠。 （1）购买 25 个排球应付多少钱？
12、 （2）购买 m 个排球应付多少钱？ 【答案】 （1）250.8a=20a 元 （2） 题型题型 2 找规律找规律 解题技巧：解题技巧：此类题型分三部分找规律： 符号规律：通常是正负间或出现的规律，常表示为 数字规律：数字规律需要视题目而确定 字母规律：通常字母规律是呈指数变换，长表示为：等形式 例例 1.观察下面的三行单项式： x、 、 4、 8、 16、 32、 2x、8、16、32、64、 2、3、5、9、17、 33 （1）根据你发现的规律，第 1 行第 8 个单项式是多少。 （2）第 2 行和第 3 行中第 8 个单项式分别是多少。 【答案】 （1）第一行的规律为： 则第 8 个单项
13、式为： （2）第二行的规律为： 则第 8 个单项式为：256 第三行规律为：字母次数依次增加，且正负号间或出现，系数依次增加 则第 8 个单项式为：129 2.2 整式的加减整式的加减 知识框架知识框架 一、基础知识点一、基础知识点 知识点知识点 1 同类项的概念同类项的概念 同类项：同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项（即仅系数不同或系数也相同的项） 例：与 3 3abc 与 3abc 1）判断同类项需要同时满足 2 个条件： 所含字母相同； 相同字母的指数相同 例例 1.指出多项式中的同类项： 3x-2y+1+5y-2x-3； 【答案】同类项为： 3x 与-2x；-2y 与
14、5y；1 与-3 同类项为： 与；与与 例例 2.已知与是同类项，求 a+b 的值。 【答案】因为与是同类项 所以 解得： 则：a+b=5 知识点知识点 2 合并同类项（原理：乘法分配律）合并同类项（原理：乘法分配律） 1）将多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项 同类项合并的计算方法：系数对应向加减，字母及指数不变。 例例 1.合并下列多项式中的同类项： ； 【答案】 =（23+ ） = = = 例例 2.计算： 【答案】 = = =3+10x6 知识点知识点 3 去括号法则去括号法则 1）括号前是“+” ，去括号后，括号内的符号不变 2）括号前是“-” ，去括号后，括号内的符号全部要变号
15、。 3）括号前有系数的，去括号后，括号内所有因素都要乘此系数。 例例 1.去括号并合并多项式中的同类项： 4a（a3b） ； a+（3b5a）（a2b） ； 3（2xyy）2xy 【答案】4a（a3b） =4aa+3b =3a+3b a+（3b5a）（a2b） =a+3b5aa+2b =5a+5b 3（2xyy）2xy =6xy3y2xy =4xy3y 例例 2.计算：3a 【答案】原式=3aa2a+2b+b =3aa+2b+b =3a+a2b+b =4ab 知识点知识点 4 整式的加减（合并同类项）整式的加减（合并同类项） 整式的加减运算实际就是合并同类项的过程，具体步骤为： 将同类项找出，
16、并置与一起； 合并同类项。 例例 1.求整式与的差。 【答案】 = = 例例 2.求与的和与差。 【答案】（） = = 二、典型题型二、典型题型 题型题型 1 “有序”进行有理数的加减“有序”进行有理数的加减 解题技巧：解题技巧： （1）当括号前面有数字因数时，应先利用乘法分配律计算，然后再去括号，注意不要漏乘括号 内的任一项。 （2）合并同类项时，只能把同类项合并，不是同类项的不能合并，合并同类项实际上就是有理数的加减 运算。合并同类项要完全、彻底，不能漏项。 例例 1.计算：a+（5a3b）2（a2b） 【答案】原式=a+5a3b2a+4b =a+5a2a3b+4b =4a+b 例例 2.
17、计算；（2）2（）+（） 【答案】原式=2+3x+12+3x5+4x+3 =2+3x+3x+4x+1+3 =3 题型题型 2 去多重括号去多重括号 解题技巧：解题技巧：去多重括号，可以先去大括号，在去中括号，后去小括号；也可以先从最内层开始，先去小括 号，在去中括号，最后去大括号。可依据简易程度，选择合适顺序。 例例 1.化简 2 【答案】原式=22（3x+2） =2 =2 例例 2.化简 4（x1） 【答案】原式=4x42（x1）+4 =4x4（2x2+4） =4x42x+24 =2x6 题型题型 3 利用同类项的概念求值利用同类项的概念求值 解题技巧：解题技巧： （1）若告知某两个单项式为
18、同类项，则这两个单项式的对应字母的次数相同； （2）若告知 某个整式经过一系列变化后，结果为某个单项式，则该整式中与该单项式不是同类项的系数必为 0. 例例 1.若关于 x，y 的单项式 4与 5是同类项，求 m，n 的值。 【答案】两个单项式是同类项 对应字母的次数相同 n=2，m=5 例例 2. 若关于 x，y 的单项式 3与 p的差仍为单项式，且单项式的系数为 2，求 m，n，p 的值。 【答案】两个单项式的差仍为单项式 这两个单项式为同类项 2=m2，n+3=2n1 解得：m=4，n=4 差是系数为 2 的单项式 3p=2 解得：p=1 综上得：m=4，n=4，p=1 例例 3.若关于
19、 x，y 的整式（m2）+（b+1）与 2的和仍为单项式，求 m，a，b 的值。 【答案】两个整式的和为单项式 情况一： 解得：a=2，b=1，m0 情况二： 解得：a=2，b1，m=0 情况三： 解得：m=2，b=1，a 为任意值 题型题型 4 整式“缺项”问题整式“缺项”问题 解题技巧：解题技巧：若题干告知整式不含某次项，则说明该次项前面的系数为 0. 例例 1若关于 x，y 的多项式（3m2）不含二次项，求 m，n 的值。 【答案】多项式不含二次项 （3m2）=0，且（2n1）=0 解得：m= ，n= 例例 2. 若关于 x，y 的多项式（3m2）不含二次项，求 m，n 的值。 【答案】
20、多项式不含二次项 2n1=0 解得：n= ，m 为任意值 题型题型 5 与字母取值无关的问题与字母取值无关的问题 解题技巧：解题技巧：因为与字母取值无关，说明包含该字母前面的系数为 0。即先化简整式，另包含该字母的的式子 前面的系数为 0 即可。 例例 1.试说明（）+（）+（）的值与 x、 y 无关。 【答案】 （）+（）+（） =5 所以值与 x、y 无关 例例 2.已知 A=2，B=，且 3A+6B 的值与 x 无关，求 y 的值。 【答案】因为 3A+6B 所以该多项式中，含 x 单项式系数必为 0 3A+6B =3（2）+6（） =（18y6）x+3 所以 18y6=0 解得：y=
21、题型题型 6 求代数式的值与整体思想求代数式的值与整体思想 解题技巧：解题技巧：求代数式的值分为三种： 一：直接代入求值：往往先化简再求值（P55（一） ） 二：间接代入求值：根据已知条件，先求出未知数的值，再代入求值； 三：整体代入求值：当未知数的值不易直接求解时，通常用整体代入法。 例例 1.已知当 x=2 时，多项式 a的值为 100，那么当 x=2 时，求多项式 a的值。 【答案】当 x=2 时 a 当 x=2 时 a = =100+6 =94 例例 2.已知，求多项式 3. 【答案】因为 所以 3（）=3=42 因为 所以 4（）=4 所以（3）+（4）=3 =4224 =18 题型
22、题型 7 整式在生活中的应用整式在生活中的应用 解题技巧：解题技巧：寻找等式，利用字母列写等式 例例 1.第一次进货，以 a 元每件的价格购进 20 件甲商品；以每件 b 元的价格购进 30 件乙商品（ab） 。根据 市场行情，甲乙两种商品都以元的单价出售。请问全部卖完的盈亏情况。 【答案】赚钱 销售收入为： （20+30）=25（a+b） 成本为：20a+30b 利润为：25（a+b）（20a+20b） =5（ab） 因为 ab 所以利润 5（ab）0 所以赚钱。 例例 2.甲、乙两船从 A、B 两个港口出发相向而行，甲船顺流而下，乙船逆流而上，4 小时候相遇。已知两船 在静水中的速度都是
23、v 千米/小时， 水流速度是 20 千米/小时。 A， B 两港相距多远？从出发到相遇甲船比乙船多行驶多少千米？ 【答案】由题意知 甲、乙两船相向而行，速度为：2v 则距离为：42v=8v（千米） 甲船比乙船多行驶了 2 倍的水流速度 即：2204=160（千米） 题型题型 8 图形规律（图形规律（P57） 解题技巧：解题技巧：通常结合数字特点和图形变化情况进行猜想，验证，从而提高探究规律能力。 例例 1. 一张正方形的桌子可坐 4 人，按照图的方式将桌子拼在一起，试回答下列问题 两张桌子拼在一起可以坐几人？三张桌子拼在一起可以坐几人？ n 张桌子拼在一起可以坐几人？ 一家酒楼有 60 张这样
24、的正方形桌子，按上图方式每 4 张拼成一个大桌子，则 60 张桌子可以拼成 15 张大 桌子，共可坐多少人？ 在中若每 4 张桌子拼成一个大的正方形，共可坐多少人？ 对于这家酒楼，哪种拼桌子的方式可以坐的人更多？ 【答案】 两张桌子拼在一起可坐 2+2+2=6(人); 三张桌子拼在一起可坐 2+2+2+2=8( 人); n 张桌子拼在一起可坐=2（n+1）=2n+2(人). 按上图方式每 4 张桌子拼成一个大桌子，那么一张大桌子可坐 24+2=10( 人). 所以 15 张大桌子可坐 1015=150(人). 在中，若每 4 张桌子拼成一个大的正方形桌子， 则一张大正方形桌子可坐 8 人，15
25、 张大正方形桌子 可坐 8 15=120(人 ). （4）由比较可知，该酒楼采用第一种拼摆方式可以坐的人更多 三、难点题型三、难点题型 题型题型 1 待定系数法待定系数法 解题技巧：解题技巧：两个多项式恒等，则左右两边同类项的系数相等。 例例 1.若等式是恒等式，求系数 A、B、C 的值。 【答案】当 x=0 时，2=6A，A=； 当 x=3 时，8=15B，B=； 当 x=2 时，8=10C，C= 例例 2.已知（x+a） （）的积中不含项和 x 项，化简（x+a） （） 【答案】 （x+a） （） = = 因为积中不含项和 x 项 所以 解得： 化简得：1 例例 3.已知恒等式，求 a+b
26、+c 的值。 【答案】令 x=0 则 8=2c，解得 c=4 令 x=1 则 a+b=21 所以 a+b+c=21+4=25 题型题型 2 整数的多项式表示整数的多项式表示 解题技巧：解题技巧：任何整数 N=都可以表示为 + 例例 1.一个三位数，百位数比十位数小 2，十位数比个位数小 3。将这个三位数百位数字和个位数字对调，十 位数字扩大 2 倍，得到一个新的三位数。已知新的三位数比原三位数大 525，求原三位数是多少？ 【答案】设原三位数十位数字为 x，则百位数字为 x2，个位数字为 x+3 则原三位数为：100（x2）+10x+（x+3） 新三位数为：100（x+3）+20x+（x2）
27、则：100（x+3）+20x+（x2）525=100（x2）+10x+（x+3） 解得：x=3 所以原三位数为：136 例例 2.在一次游戏中，魔术师请一个人随意想一个三位数（a，b，c 一次是这个数的百位，十位，个位数 字） ，并请这个人算出 5 个数为，的和为 N，把 N 告诉魔术师，魔术师即可说出 这个人所想的三位数。现在设 N=3194，请求出。 【答案】由题意得： =（100a+10b+c）+（100a+10c+b）+（100b+10a+c）+（100b+10c+a）+（100c+10a+b）+（100c+10b+a） =222（a+b+c） 因为一个三位数最大为 999 所以 3194222（a+b+c）3194+1000 又因为 a，b，c 都为正整数 化简得：15a+b+c18 因为 222153194=136 222163194=358 222173194=580 222183194=802 其中只有 3+5+8=16 满足要求 所以=358
