1、 20222023 学年度第一学期期中学业水平诊断学年度第一学期期中学业水平诊断 高三数学高三数学 注意事项：1本试题满分 150 分，考试时间为 120 分钟 2答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题卡上、3使用答题纸时，必须使用 0.5 毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰；超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设集合22|1,|log1Ax xBxx=,则AB=A.(0,1)B.(0,2)(3,)+C.(,2)(3,)+D.(1,2)(3,)+2.已知
2、(1,2),(2,3)x=+=ab,则“2x,则22acbc B.若,0ab m,则bmbama+C.若,0ab c,则ccab D.若0ab 4.设P是ABC所在平面内一点,3BPAP=,则PC=A.32BCBA+B.32BCBA C.32BABC+D.32BABC 5.记函数()cos(0)3f xxb=+的最小正周期为T,若32T,且(,2)是()yf x=图象的一个最高点,则4f=A.212 B.212+C.222 D.222+6.已知函数()21xf x=,令111,232afbfcf=,则,a b c的大小关系为 A.acb B.bca C.abc D.bac 7.为响应国家加某芯
3、片生产制造进程的号名,某花片生产公司于 2020 年初购买了一某芯片制造设备,该设备第 1 年的维修费用为 20 万元，从第 2 年到第 6 年每年维修费用增加 4 万元,从第 7 年开始每年维修费用较上-年上25%.设na为第n年的维修费用,nA为前n年的平均维修费用,若40nA,则称数列 nc为“差增数列”,下列结论正确的是 A.若2nan=,则数列 na为差增数列 B.若2nna=,则数列 na为差增数列 C.若数列 na为差增数列,*na N,且*121,742maama=N,则m的最小值为 39 D.若数列 na为差增数列,*na N,且 121,2,naaa=的前n项和为nS,当n
4、S 最小时,222nnna+=三、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。13.已知3cos65=,则5sin26=_.14.已知等差数列 na是递增数列,且472567,5aSa=,则11S=_.15.若函数()sin22cosf xxx=,则()f x的最小值是_.16.设函数()f x是定义在R上的偶函数,且()(2)f xfx=,当0,1x时,()f xx=,则函数()|tan|()g xxf x=在1 5,2 2上所有零点之和为_.四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.(10 分)已知22()log()log(2)f
5、xxax=+.(1)若(1)1f=,求()f x的单调区间;(2)若1a 且0a,解关于x的不等式()(2)f xfx.18.(12 分)在(1)4c=；(2)sincos6aBbA=这两个条件中任选一个作为已知条件,补充到下面的横线上,并给出解答.问题:已知ABC中,角,A B C的对边分别为,a b c D是AC边的中点,473aBD=,且_.(1)求b的值;(2)若BAC的平分线交BC于点E,求ABE的周长.注：如果逸择多个条件分别解答，按第一个解答计分。19.(12 分)已知函数()cossin()f xaxxx a=+R,若()f x在点(0,(0)f处的切线方程为21yx=+.(1
6、)求()f x的解析式;(2)求函数()f x在0,上的值域.20.(12 分)记nS为数列 na的前n项和,已知211,nnaSn a=.(1)求 na的通项公式;(2)设1211,2nnnniiiinba Tbb b+=+=,求不:14nT.(1)讨论函数()f x的单调性;(2)设函数()(3)()g xa xf x=有两个极值点()1212,x xxx.求实数a的取值范围;证明:()()1210lng xg xa+.高三数学试题答案 第 1 页（共 7 页）2022-2023 学年度第一学期期中学业水平诊断学年度第一学期期中学业水平诊断 高三数学参考答案高三数学参考答案 一、选择题：一
7、、选择题：C B D B A D C A 二、选择题二、选择题 9.ACD 10.BCD 11.BD 12.ABD 三、填空题三、填空题 13.257 14.143 15.3 32 16.6 四、解答题四、解答题 17.解：（1）由已知得，2(1)log(1)1fa，12a，1a，1 分 222()log(1)log(2)log(1)(2)f xxxxx，2 分 由1020 xx 得，12x，3 分 令()(1)(2)g xxx，则()g x在1(1,)2上单调递增，在1(,2)2上单调递减，4 分 又2logyx在(0,)上单调递增，所以()f x的单调递增区间为1(1,)2，单调递减区间为
8、1(,2)2.5 分（2）由020 xax得，又1a 且0a，2ax，222(2)log(2)loglog(2)fxaxxxax ，6 分 因为()(2)f xfx，所以22log()(2)log(2)xaxxax，所以()(2)(2)xaxxax，即axa，7 分 当0a 时，1axax，又因为2ax，所以12x.8 分 当10a 时，1axax，又因为2ax，所以1ax.9 分 综上：当0a 时，原不等式的解集为|12xx；当10a 时，原不等式的解集为|1xax.10 分 高三数学试题答案 第 2 页（共 7 页）18.解：（1）选择：设2bx，则ADDCx，1 分 在ABD中，2112
9、169cos873xADBx，2 分 在BCD中，2211211299cos887733xxCDBxx，3 分 ADBCDB,coscos0ADBCDB，4分 即221121690887733xxxx，所以43x，故83b.6 分 选择：由正弦定理得，sinsinsincos()6ABBA，1 分(0,)B，sin0B，sincos()6AA，即31sincossin22AAA，于是tan3A，3A，2 分 设2,bx cy，在ABD中，2211219cos22xyAxy，即221129xyxy，3 分 在ABC中，22112419cos42xyAxy，即22112429xyxy，4 分 联立
10、得，4,43xy，即84,3cb.6分（2）由题意得，ABEACEABCSSS，7 分 118184sin30sin304sin6022323AEAE ，8 35AE，9 分 高三数学试题答案 第 3 页（共 7 页）又32BEcECb，4 75BE，11 分 8 34 745ABEC，故ABE的周长为8 34 745.12分 19.解：（1）(0)1f，()sincosfxaxx，1 分 故(0)1fa，2 分()f x在点(0,(0)f处的切线方程为1(1)yax，即(1)1yax，3 分 12a，即1a，所以函数()f x的解析式为()cossinf xxxx，4 分（2）()cossi
11、n,0,f xxxx x，()1 sincos12sin()4fxxxx ，5 分 令()0fx得，2sin()42x，6 分(0,)x，3(,)444x，44x，即2x，7 分 当(0,)2x时，()0fx，()f x单调递增，当(,)2x时，()0fx，()f x单调递减，9 分 故当0,x时，max()()122f xf，10 分(0)1()1ff，min()(0)1f xf 11分 所以函数()f x在0,上的值域为1,12.12 分 20.解：（1）当2n 时，211(1)nnSna，1 分 两式相减得，221(1)nnnan ana，2 分 化简得，11(2)1nnannan，3
12、分 高三数学试题答案 第 4 页（共 7 页）12112112121(2)13(1)nnnnnaaannaanaaannn n，4 分 1n 时，11a 满足上式，2()(1)nann nN，5 分（2）由（1）得，1nbn，6 分 121111(1)(2)2(1)(1)(2)nnnb bbn nnn nnn，8 分 1111111()()()21 22 32 33 4(1)(1)(2)nTn nnn 1111112 1 2(1)(2)42(1)(2)4nnnn，12 分 21 解：（1）因为B镇前4个月的总需水量为24万立方米，所以24424pp，则6p，1 分 所以),91(12218*N
13、xxxxqxW.2 分（2）由题意知：012218)(xxqxxW对91 x且*Nx恒成立，即18122qxx对91 x且*Nx恒成立，3 分 令tx1，则131 t，44)31(1821218)(22ttttm，所以4q，5 分 首先5018q，即32q，6 分 其次，50122)1(18xxqx对91 x且*Nx恒成立，所以112232xxxq对91 x且*Nx恒成立，7 分 高三数学试题答案 第 5 页（共 7 页）令112232xxxy，则2)1()12232()1)(62(xxxxxy 222)1(156)1()51(6)1(3066xxxxxxxxxx 22)1(429)25(6x
14、xx，9 分 因为91 x且*Nx，所以0 y恒成立，所以函数单调递减，所以当8x时，y取得最小值，且3232816922448miny 所以32816q，11 分 综合可得q的取值范围为328164 q.12 分 22.解：（1）(0,)x，2(1)(1)()()(1)axaxaxxafxxaxxx，1 分 令()0fx得，1x 或xa，当01a时，(0,)xa，()0fx，()f x单调递增，(,1)xa，()0fx，()f x单调递减，(1,)x，()0fx，()f x单调递增，2 分 当1a 时，()0fx，()f x在(0,)单调递增，3 分 当1a 时，(0,1)x，()0fx，(
15、)f x单调递增，(1,)xa，()0fx，()f x单调递减，(,)xa，()0fx，()f x单调递增，4 分 综上所述：当01a时，()f x的单调递增区间为(0,),(1,)a，()f x的单调递减区间为(,1)a；当1a 时，()f x的单调递增区间为(0,)；高三数学试题答案 第 6 页（共 7 页）当1a 时，()f x的单调递增区间为(0,1),(,)a，()f x的单调递减区间为(1,)a，5 分（2）由已知得，21()4ln2g xxaxx，2244()4axaxxxag xxxxx，6 分 函数21()4ln2g xxaxx有两个极值点1212,()x x xx，即方程2
16、40 xxa在(0,)上有两个不等实根，令2()4h xxxa，因此只需(0)0(2)0hh，即040aa，故04a，7 分 由知，121 24,xxx xa，且04a，221211122211()()(4ln)(4ln)22g xg xxaxxxaxx 2212121214()(lnln)()2xxaxxxx ln8aaa，8 分 要证12()()10 lng xg xa，即证ln8 10 lnaaaa，只需证(1)ln20aaa，令()(1)ln2m aaaa，(0,4)a 11()ln1lnam aaaaa ，9 分 因为211()0m aaa 恒成立，所以()m a在(0,4)a上单调递减，又(1)10m，1(2)ln202m，10 分 由函数根的存在性定理得，0(1,2)a，使得0()0m a，即001lnaa，所以0(0,)aa时，()0m a，()m a单调递增，0(,4)aa时，()0m a，()m a单调递减，高三数学试题答案 第 7 页（共 7 页）则max00000000011()()(1)ln2(1)23m am aaaaaaaaa11 分 0013yaa在0(1,2)a 上显然单调递增，00111323022aa，()0m a，即12()()10 lng xg xa.12 分
