1、 全国高中数学历届全国高中数学历届(2009-2019)联赛与各省市预赛试题汇编联赛与各省市预赛试题汇编 专题专题 17 立体几何与空间向量强化训练立体几何与空间向量强化训练(省赛试题汇编省赛试题汇编) 1 【2018 年河北预赛】若的三边长分别为 8、10、12，三条边的中点分别是 B、C、D，将三个中 点两两连结得到三条中位线，此时所得图形是三棱锥 A-BCD 的平面展开图，则此三棱锥的外接球的表面积 是_. 2 【2018 年四川预赛】在三棱锥中，三条棱两两垂直，且. 若点 为三棱锥的外接球球面上任意一点，则 到面距离的最大值为_. 3 【2018 年浙江预赛】四面体 P-ABC，,则该
2、四面体外接球 的半径为_. 4 【2018 年辽宁预赛】四面体 ABCD中，已知，则异面直线 AC与 BD 所成角的正弦值是_. 5 【2018 年江西预赛】四棱锥的底面是一个顶角为的菱形，每个侧面与底面的夹角都是 ，棱锥内有一点到底面及各侧面的距离皆为 1，则棱锥的体积为_ 6 【2018 年山西预赛】四面体 ABCD 中，有一条棱长为 3，其余五条棱长皆为 2，则其外接球的半径为_ _. 7 【2018 年湖南预赛】已知二面角为 60 ，动点 P、Q 分别在面内，P 到 的距离为，Q 到 的距离为，则 P、Q 两点之间距离的最小值为 8 【2018 年湖南预赛】 四个半径都为 1的球放在水
3、平桌面上， 且相邻的球都相切 （球心的连线构成正方形） . 有一个正方体，其下底与桌面重合，上底的四个顶点都分别与四个球刚好接触，则该正方体的棱长为_ _. 9 【2018 年福建预赛】如图，在三棱锥中，都是边长为 6 的等边三角形若二面角 的大小为，则三棱锥的外接球的面积为_ 10 【2016 年吉林预赛】一个几何体的三视图如图.则此几何体的体积为_ 11 【2016 年浙江预赛】已知两个底面重合的正四面体、正四边形分别为 的重心。 记。 若点 满足， 则实数_， _，_。 12 【2016 年上海预赛】在空间中，四条不共线的向量两两间的夹角均为 则 的大小 为_ 13 【2016 年四川预
4、赛】已知正四棱锥 S-ABCD 的侧棱长为 4，在侧棱 SB、SC、SD 分别取 点 E、F、G 则空间四边形 AEFG 周长的最小值为_. 14 【2016 年辽宁预赛】与正四面体四个顶点距离之比为的平面共有_个 15 【2016 年江苏预赛】设正四面体的棱长为，以其中心 O 为球心作球，球面与正四面体四个面相交所 成曲线的总长度为则球 O 的半径为_ 16 【2016 年湖南预赛】在三棱锥中，. 则三 棱锥的体积的最大值为_. 17 【2016 年湖北预赛】设四面体的一条棱长为 6，其余棱长均为 5则此四面体的外接球半径为_. 18 【2016 年福建预赛】如图，在正方体 ABCD-A1B
5、1C1D1中，二面角 B-A1C-D的大小为_. 19 【2016 年吉林预赛】一个几何体的三视图如图，则此几何体的体积为_. 正（主）视图 侧（左）视图 俯视图 20 【2016 年山东预赛】在四面体中，面与面的二面角，顶点 在面上的射影 的垂心，的重心若，则_ 21 【2016 年安徽预赛】在单位正方体 ABCD-A1B1C1D1中，O 为正方形 ABCD 的中心，点 M、N 分别在棱 A 1D1、CC1上， .则四面体 OMNB1的体积 V = _. 22 【2016 年天津预赛】已知正三棱锥的侧面是面积为 1 的直角三角形则该正三棱锥的体积为_. 23 【2016 年山西预赛】已知正三
6、棱柱的高为 2，底面边长为 1，上底面正的中心为 P，过下底边 BC 作平面 BCDAP，与棱交于点 D则截面BCD 的面积为_. 24 【2018 年湖南预赛】在四面体 ABCD 中，过棱 AB 的上一点 E 作平行于 AD，BC 的平面分别交四面体的棱 BD，DC，CA 于点 F，G，H （1）求证：截面 EFGH 为平行四边形 （2）若 P、Q 在线段 BD、AC 上，且 P、F 不重合，证明：PQ截面 EFGH 25 【2018 年湖南预赛】如图,在四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 是菱形,DAB=60，PD平面 ABCD，PD=AD= 1，点 E，F 分别为 AB 和 PD 中
7、点。 (1)求直线 AF 与 EC 所成角的正弦值； (2)求 PE 与平面 PDB 所成角的正弦值。 26 【2018 年湖南预赛】如图,多面体 ABCDE 中，四边形 ABED 是直角梯形，BAD=90，DEAB，ACD 是 的正三角形，CD=AB= DE=1，BC= （1）求证：CDE 是直角三角形 （2） F 是 CE 的中点，证明：BF平面 CDE 27 【2018 年广东预赛】如图，已知矩形 ABCD满足 AB=5，沿平行于 AD的线段 EF向上翻 折（点 E 在线段 AB上运动，点 F在线段 CD 上运动） ，得到如图所示的三棱柱. 若图中ABG是直角三角形，这里 G是线段 EF
8、上的点，试求线段 EG的长度 x 的取值范围； 若中 EG 的长度为取值范围内的最大整数，且线段 AB的长度取得最小值，求二面角的值； 在与的条件都满足的情况下，求三棱锥 A-BFG 的体积. 28 【2018 年甘肃预赛】已知四边形 ABCD 满足 1 / /, 2 ADBC BAADDCBCa，E 是 BC 的中点， 将BAE 沿 AE 翻折成 11 ,B AEB AEAECD使面面，F 为 1 B D的中点 （1）求四棱锥 1 BAECD的体积； （2）求面 11 ADBECB与面所成锐二面角的余弦值 29 【2018 年河北预赛】已知三棱锥 S-ABC 中侧棱 SA、SB、SC 互相垂
9、直，M是底面三角形 ABC 内一动点. 直线 MS与 SA、SB、SC所成的角分别是. （1）证明：不可能是锐角三角形的三个内角； （2）设，证明：. 30 【2018 年湖南预赛】 （本小题满分 12 分） （注意：在试题卷上作答无效 ） 如图，四棱锥 S-ABCD 中，SD底面 ABCD，AB/DC，ADDC，AB=AD=1，DC=SD=2，E 为棱 SB 上的 一点，平面 EDC平面 SBC . （）证明：SE=2EB； （）求二面角 A-DE-C 的大小. 31【2016年甘肃预赛】 如图， 在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD， F 为 PC 的中点，. 求（1）PA 的长； （2）二面角 B-AF-D 的正弦值. 32 【2016 年天津预赛】已知正三棱锥的体积为,侧面与底面所成二面角的平面角为 ,D 为线段 AB 上一点, ,E 为线段 AC 上一点, ,F 为线段 PC 的中点,平面 DEF 与线段 PB 交于点 G.求四边形的面积.
