1、人教版义务教育课程标准实验教科书人教版义务教育课程标准实验教科书 七年级下册七年级下册九章算术九章算术是中国古代第一部数学是中国古代第一部数学专著，是专著，是算经十书算经十书中最重要的一中最重要的一种，成于公元一世纪左右。其种，成于公元一世纪左右。其作者作者已已不可考。一般认为它是经历代各家的不可考。一般认为它是经历代各家的增补修订，而逐渐成为现今定本的，增补修订，而逐渐成为现今定本的，西汉的西汉的张苍张苍、耿寿昌耿寿昌曾经做过增补和曾经做过增补和整理，其时大体已成定本。最后成书整理，其时大体已成定本。最后成书最迟在东汉前期，现今流传的大多是最迟在东汉前期，现今流传的大多是在在三国时期三国时期
2、魏元帝魏元帝景元景元四年（四年（263年），年），刘徽刘徽为为九章九章所作的注本。所作的注本。九章算术九章算术的内容十分丰富，全书采的内容十分丰富，全书采用问题集的形式，收有用问题集的形式，收有246个与生产、个与生产、生活实践有联系的应用问题，其中每道生活实践有联系的应用问题，其中每道题有问（题目）、答（答案）、术（解题有问（题目）、答（答案）、术（解题的步骤，但没有证明），有的是一题题的步骤，但没有证明），有的是一题一术，有的是多题一术或一题多术。这一术，有的是多题一术或一题多术。这些问题依照性质和解法分别隶属于些问题依照性质和解法分别隶属于方田方田、粟米粟米、衰（音、衰（音cui）分、少
3、广、商功、）分、少广、商功、均输、盈不足、均输、盈不足、方程方程及勾股。共九章如及勾股。共九章如下所示。原作有插图，今传本已只剩下下所示。原作有插图，今传本已只剩下正文了。正文了。九章算术九章算术共收有共收有246个数学问题，分为九章。它们个数学问题，分为九章。它们的主要内容分别是：的主要内容分别是：第一章第一章“方田方田”：主要讲述了平面几何图形面积的计主要讲述了平面几何图形面积的计算方法。包括长方形、算方法。包括长方形、等腰三角形等腰三角形、直角梯形直角梯形、等腰等腰梯形梯形、圆形、圆形、扇形扇形、弓形、圆环这八种图形面积的计、弓形、圆环这八种图形面积的计算方法。另外还系统地讲述了分数的算
4、方法。另外还系统地讲述了分数的四则运算四则运算法则，法则，以及求分子分母以及求分子分母最大公约数最大公约数等方法。等方法。第二章第二章“粟米粟米”：谷物粮食的按比例折换；提出比例：谷物粮食的按比例折换；提出比例算法，称为今有术；衰分章提出比例分配法则，称为算法，称为今有术；衰分章提出比例分配法则，称为衰分术；衰分术；第三章第三章“衰分衰分”：比例分配问题。：比例分配问题。第四章第四章“少广少广”：已知面积、体积，反求其一边长和：已知面积、体积，反求其一边长和径长等；介绍了径长等；介绍了开平方开平方、开立方开立方的方法。的方法。第五章第五章“商功商功”：土石工程、体积计算；除给出了各：土石工程、
5、体积计算；除给出了各种立体种立体体积公式体积公式外，还有工程分配方法；外，还有工程分配方法；第六章第六章“均输均输”：合理摊派：合理摊派赋税赋税；用衰分术解决赋役；用衰分术解决赋役的合理负担问题。今有术、衰分术及其应用方法，构的合理负担问题。今有术、衰分术及其应用方法，构成了包括今天正、成了包括今天正、反比例反比例、比例分配、复比例、连锁、比例分配、复比例、连锁比例在内的整套比例理论。西方直到比例在内的整套比例理论。西方直到15世纪末以后世纪末以后才形成类似的全套方法。才形成类似的全套方法。第七章第七章“盈不足盈不足”：即双设法问题；提出了盈不足、盈适足：即双设法问题；提出了盈不足、盈适足和不
6、足适足、两盈和两不足三种类型的和不足适足、两盈和两不足三种类型的盈亏问题盈亏问题，以及若干，以及若干可以通过两次假设化为盈不足问题的一般问题的解法。这也可以通过两次假设化为盈不足问题的一般问题的解法。这也是处于世界领先地位的成果，传到西方后，影响极大。是处于世界领先地位的成果，传到西方后，影响极大。第八章第八章“方程方程”：一次：一次方程组方程组问题；采用分离系数的方法表问题；采用分离系数的方法表示示线性方程组线性方程组，相当于现在的，相当于现在的矩阵矩阵；解线性方程组时使用的；解线性方程组时使用的直除法，与矩阵的初等变换一致。这是世界上最早的完整的直除法，与矩阵的初等变换一致。这是世界上最早
7、的完整的线性方程组的解法。在西方，直到线性方程组的解法。在西方，直到17世纪才由莱布尼兹提出世纪才由莱布尼兹提出完整的线性方程的解法法则。这一章还引进和使用了完整的线性方程的解法法则。这一章还引进和使用了负数负数，并提出了正负术并提出了正负术正负数的加减法则，与现今代数中法则正负数的加减法则，与现今代数中法则完全相同；解线性方程组时实际还施行了正负数的乘除法。完全相同；解线性方程组时实际还施行了正负数的乘除法。这是世界这是世界数学史数学史上一项重大的成就，第一次突破了上一项重大的成就，第一次突破了正数正数的范的范围，扩展了围，扩展了数系数系。外国则到。外国则到7世纪印度的婆罗摩及多才认识世纪印
8、度的婆罗摩及多才认识负数。负数。第九章第九章“勾股勾股”：利用：利用勾股定理勾股定理求解的求解的各种问题。其中的绝大多数内容是与当各种问题。其中的绝大多数内容是与当时的社会生活密切相关的。提出了时的社会生活密切相关的。提出了勾股勾股数数问题的通解公式：若问题的通解公式：若a、b、c分别是勾分别是勾股形的勾、股、弦，则，股形的勾、股、弦，则，mn。在西方，。在西方，毕达哥拉斯毕达哥拉斯、欧几里得欧几里得等仅得到了这个等仅得到了这个公式的几种特殊情况，直到公式的几种特殊情况，直到3世纪的丢番世纪的丢番图才取得相近的结果，这已比图才取得相近的结果，这已比九章算九章算术术晚约晚约3个世纪了。勾股章还有
9、些内容，个世纪了。勾股章还有些内容，在西方却还是近代的事。例如勾股章最在西方却还是近代的事。例如勾股章最后一题给出的一组公式，在国外到后一题给出的一组公式，在国外到19世世纪末才由美国的纪末才由美国的数论数论学家迪克森得出。学家迪克森得出。注：束和斗都是注：束和斗都是我国古代的一种我国古代的一种计量单位。计量单位。九章算术九章算术“方程章方程章”中第一个题目：中第一个题目：上等谷上等谷3束，中等谷束，中等谷2束，下等谷束，下等谷1束，共是束，共是39斗；斗；上等谷上等谷2束，中等谷束，中等谷3束，下等谷束，下等谷1束，共是束，共是34斗；斗；上等谷上等谷1束，中等谷束，中等谷2束，下等谷束，下
10、等谷3束，共是束，共是26斗斗.问上，中，下等谷每束各是几斗？问上，中，下等谷每束各是几斗？解：设上等谷每束解：设上等谷每束x斗，中等谷每束斗，中等谷每束y斗，下等谷每束斗，下等谷每束z斗，斗，根据题意，可得三元一次方程组根据题意，可得三元一次方程组通过消元，可以求出各个未知数的值。通过消元，可以求出各个未知数的值。411417437zyx算筹算筹 中国春秋时代就出现了中国春秋时代就出现了”算筹算筹”.根据考古发现，根据考古发现，古代古代的算筹实际上的算筹实际上是一根根同样长短和粗细的小棍子，多用竹子制成，也有用木头、兽骨、是一根根同样长短和粗细的小棍子，多用竹子制成，也有用木头、兽骨、金属等
11、材料制成的，大约二百七十几枚为一束，放在一个布袋里，系在金属等材料制成的，大约二百七十几枚为一束，放在一个布袋里，系在腰部随身携带。需要记数和计算的时候，就把它们取出来，放在桌上、腰部随身携带。需要记数和计算的时候，就把它们取出来，放在桌上、炕上或地上都能摆弄。别看这些都是一根根不起眼的小棍子，在中国数炕上或地上都能摆弄。别看这些都是一根根不起眼的小棍子，在中国数学史上它们却是立有大功的。学史上它们却是立有大功的。2、表示一位数时，用纵式；表示多位数时，个位、表示一位数时，用纵式；表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推
12、，遇零则用以此类推，遇零则用“o”来表示。这种计数法遵来表示。这种计数法遵循十进制。循十进制。算筹计数法算筹计数法1、以纵横两种排列方式来表示单位数目、以纵横两种排列方式来表示单位数目，如下，如下图图,其中其中1-5均分别以纵或横的方式排列相应数均分别以纵或横的方式排列相应数目的算筹来表示，目的算筹来表示，6-9则以上面的一个算筹再加则以上面的一个算筹再加下面相应的算筹来表示。下面相应的算筹来表示。古人的解法是首先将这个题目用古人的解法是首先将这个题目用“算筹图算筹图”表示出来：表示出来：上等谷上等谷(束束)中等谷中等谷(束束)下等谷下等谷(束束)斗数斗数 中国古代十进位制的算筹记数法在世界数
13、学史上是一个伟中国古代十进位制的算筹记数法在世界数学史上是一个伟大的创造。把它与世界其他古老民族的记数法作一比较，其大的创造。把它与世界其他古老民族的记数法作一比较，其优越性是显而易见的。古罗马的数字系统只有七个基本符号，优越性是显而易见的。古罗马的数字系统只有七个基本符号，如要记稍大一点的数目就相当繁难。古美洲玛雅人用的是如要记稍大一点的数目就相当繁难。古美洲玛雅人用的是20进位；古巴比伦人用的是进位；古巴比伦人用的是60进位。进位。20进位至少需要进位至少需要20个数码，个数码，60进位则需要进位则需要60个数码，这就使记数和运算变得十分繁复，个数码，这就使记数和运算变得十分繁复，远不如只
14、用远不如只用09这这10个数码便可表示任意自然数的十进位制来个数码便可表示任意自然数的十进位制来得简捷方便。中国古代数学之所以在计算方面取得许多卓越得简捷方便。中国古代数学之所以在计算方面取得许多卓越的成就，在一定程度上应该归功于这一符合十进位制的算筹的成就，在一定程度上应该归功于这一符合十进位制的算筹记数法。记数法。古中国的分数表示法：古中国的分数表示法：2000多多年前，古中国用算筹表示分数。年前，古中国用算筹表示分数。3000多年前，古埃及就有了分数记号。（人们借助棋子表示分子为多年前，古埃及就有了分数记号。（人们借助棋子表示分子为1的的分数，上面用一个棋子，下面画杠）分数，上面用一个棋
15、子，下面画杠）2000多年前，中国用算筹表示分数。（上面有多年前，中国用算筹表示分数。（上面有3根算筹，下面有根算筹，下面有5根，表根，表示五分之三，当时没有分割线）示五分之三，当时没有分割线）后来，印度用阿拉伯数字表示分数。后来，印度用阿拉伯数字表示分数。公元公元12世纪，阿拉伯人发明了分数线世纪，阿拉伯人发明了分数线.我国是最早认识正数和负数的国家我国是最早认识正数和负数的国家.早在公元早在公元1世纪，我国就明确提出了世纪，我国就明确提出了负数的概念公元负数的概念公元3世纪，我国古代数学家刘徽不仅更加明确了负数的世纪，我国古代数学家刘徽不仅更加明确了负数的意义，还创造性地用红色算筹表示正数
16、，黑色算筹表示负数意义，还创造性地用红色算筹表示正数，黑色算筹表示负数一、试一试：请用算筹计数法表示下列各数：一、试一试：请用算筹计数法表示下列各数：（1）5 （2）27（3）30 （4）195读材料一，完成试一试：读材料一，完成试一试：二、二、用算筹图表示下列方程组并求解用算筹图表示下列方程组并求解：121132323zyxzyxzyx32422123zyxzyxyx04225212yxzyxzyx1、2、3、直除法直除法 我国古代解方程组时，具体解法是：在我国古代解方程组时，具体解法是：在一个方程两边同乘另一个方程中某个未知数的系数，一个方程两边同乘另一个方程中某个未知数的系数，然后再然后
17、再累减累减另一个方程，从而消去这个未知数。另一个方程，从而消去这个未知数。所谓所谓累减累减，就是连续减，减到这一项系数为零为止。，就是连续减，减到这一项系数为零为止。此时，就达到了消去此时，就达到了消去一个未知数的目的一个未知数的目的即即“消元消元”本质本质用用“消元消元”思想解方程组思想解方程组接下来，可以用同样的方法消去第二个未知数，从而接下来，可以用同样的方法消去第二个未知数，从而求出方程组的解求出方程组的解.263213413239123古古今今一脉相承世界领先发展进步 九章算术九章算术中用算筹图解多元一次方程组的方法中用算筹图解多元一次方程组的方法大约出现在公元一世纪左右；大约出现在公元一世纪左右；印度最早出现于第七世纪印度最早出现于第七世纪(约约628年年)；而在欧洲最早提出三元一次方程组和解法的是而在欧洲最早提出三元一次方程组和解法的是16世纪中世纪中(1559年年)的法国数学家布丢的法国数学家布丢(Buteo)布丢提出布丢提出的解法与算筹图相类似，比中国晚了的解法与算筹图相类似，比中国晚了1500多年。多年。可见可见九章算术九章算术中的方程术，不但是中国古代中的方程术，不但是中国古代数学中的伟大成就，在世界数学史上，也是一份值得数学中的伟大成就，在世界数学史上，也是一份值得我们自豪的宝贵遗产我们自豪的宝贵遗产263213413239123
