1、数据的数字特征（1）高一年级 数学主讲人 郭方奇北京师范大学第二附属中学 北京市中小学空中课堂问题与情境：如下是某学校高一（1）班和高一（2）班某一次期中考试的语文成绩，试从不同的角度对两班成绩进行对比.高一（1）班：69 84 69 80 75 70 75 71 87 70 80 84 73 81 81 73 66 78 68 79 73 75 76 76 70 74 71 86 63 88高一（2）班：76 86 74 82 77 68 62 82 72 82 76 81 84 79 67 78 70 72 81 89 81 77 72 77 67 67 72 79 81 75 75 84
2、 上述情境中的两个班的语文成绩，可以从哪些角度进行对比？上述情境中的两个班的语文成绩，可以从最值、平均数、中位数等角度进行对比.最值：一组数据的最值指的是其中的最大值和最小值，反映数据最极端的情况.一般地，最大值用max表示，最小值用min表示.最值：日常生活中，对于一组给定的数据，我们什么时候会关注最值？甚至什么时候只关注最值？能举出具体例子吗？平均数：一组数据的平均数（算术平均数）指的是所有数据的和除以数据个数所得的商，反映数据的平均水平（中心位置）.如果给定的一组数是 ，则这组数的平均数为 简记为：.12,nx xx121()nxxxxn11niixxn平均数：其中 表示求和，右边式子中
3、的 表示求和范围，其最小值与最大值分别写在 的下面和上面.11niixxni平均数：其中 表示求和，右边式子中的 表示求和范围，其最小值与最大值分别写在 的下面和上面.例如：.11niixxni31231iixxxx75675iixxxx平均数：其中 表示求和，右边式子中的 表示求和范围，其最小值与最大值分别写在 的下面和上面.例如：.11niixxni5112345ii 53(25)(2 35)(2 45)(2 55)9nn 平均数：求和符号 具有哪些性质？平均数：求和符号 具有下列性质:,111()nnniiiiiiixyxy11()nniiiikxkx1nitnt111nmniiiiii
4、 mxxx(为介于 和 之间的整数).m1n平均数：求和符号 性质的证明:.证明：.111()nnniiiiiiixyxy11122121211()()()()()()niiinnnnnniiiixyxyxyxyxxxyyyxy平均数：求和符号 性质的证明:.证明：.1nitnt1nintttttnt 个平均数：日常生活中，对于一组给定的数据，我们什么时候会关注平均值？能举出具体例子吗？尝试与发现1：某武术比赛中，共有7个评委，计分的规则是：去掉一个最高分，去掉一个最低分，然后把其他分数的平均数作为选手的最后得分，按照这样的规则，根据以下数据，计算三位选手的最后得分.尝试与发现1：选手评委1评
5、委2评委3评委4评委5评委6评委7得分甲90889393929296乙92969592899295丙91918891989392尝试与发现1：选手评委1评委2评委3评委4评委5评委6评委7得分甲90889393929296乙92969592899295丙91918891989392如何计算甲组的分数？尝试与发现1：选手评委1评委2评委3评委4评委5评委6评委7得分甲90889393929296尝试与发现1：选手评委1评委2评委3评委4评委5评委6评委7得分甲90889393929296尝试与发现1：选手评委1评委2评委3评委4评委5评委6评委7得分甲90889393929296减92-2110
6、0尝试与发现1：选手评委1评委2评委3评委4评委5评委6评委7得分甲9088939392929692减92-21100尝试与发现1：选手评委1评委2评委3评委4评委5评委6评委7得分甲9088939392929692减92-21100为什么可以这样计算？尝试与发现1：如果 的平均数是 ，且 是常数，则 的平均数是 ，请同学们自己尝试证明.12,nx xxx,a b12,naxb axbaxbaxb尝试与发现1：选手评委1评委2评委3评委4评委5评委6评委7得分甲9088939392929692乙9296959289929593.2丙9191889198939291.6尝试与发现1：有人认为，应
7、该把最高分与最低分之外的分数总分作为选手的最后得分，这样的计分规则与之前的规则是否有本质的区别？尝试与发现1：有人认为，应该把最高分与最低分之外的分数总分作为选手的最后得分，这样的计分规则与之前的规则是否有本质的区别？答：没有本质的区别.尝试与发现1：从数学的角度讨论，为什么要去掉一个最高分和一个最低分再计算平均数？平均数具有什么特点？尝试与发现1：从数学的角度讨论，为什么要去掉一个最高分和一个最低分再计算平均数？平均数具有什么特点？答：平均数会受到每一个数的影响，尤其是最大值和最小值，正因为平均数具有这个特点，为了避免过于极端的值影响结果太大，会去掉最大值和最小值再计算平均值.尝试与发现2：
8、有甲乙两个组，每组有6名成员，他们暑假读书的本数如下：甲组：1，2，3，3，4，5乙组：0，0，1，2，3，12分别求出两组的平均数.尝试与发现2：有甲乙两个组，每组有6名成员，他们暑假读书的本数如下：甲组：1，2，3，3，4，5 平均数为 3乙组：0，0，1，2，3，12 平均数为 3平均数是否很好地表示了每一组数的中心位置？如果没有，可以选择什么数来表示？中位数：有时也可以借助中位数表示一组数的中心位置：如果一组数有奇数个数，且按照从小到大排列后为 ，则称 为这组数的中位数，如果一组数有偶数个数，且按照从小到大排列后为 ，则称 为这组数的中位数.1221,nx xx1nx122,nx xx
9、12nnxx尝试与发现2：有甲乙两个组，每组有6名成员，他们暑假读书的本数如下：甲组：1，2，3，3，4，5 中位数为 3乙组：0，0，1，2，3，12 中位数为 1.5相比于平均数，中位数较好地表示了每一组数的中心位置.尝试与发现3：指出甲乙两组数的中位数.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20甲 1 2 2 2 2 3 3 3 5 5 6 6 8 8 9 10 10 12 13 13乙 0 0 0 0 1 1 2 3 4 5 6 6 7 7 10 14 14 14 14 15尝试与发现3：中位数均为5.5，中位数是否能比较全面地
10、体现数据的 分布特点？如果不能，有什么补救的办法呢？1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20甲 1 2 2 2 2 3 3 3 5 5 6 6 8 8 9 10 10 12 13 13乙 0 0 0 0 1 1 2 3 4 5 6 6 7 7 10 14 14 14 14 15尝试与发现3：将甲乙两组数的小于5.5的前十个数，分别看成一组数，他们的中位数分别是2.5和1.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10甲 1 2 2 2 2 3 3 3 5 5乙 0 0 0 0 1 1 2 3 4 5百分位数：这两个数是找小于或等于中位数的所
11、有数的中位数得到的，所以他们分别称为甲乙两组数的25%分位数.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10甲 1 2 2 2 2 3 3 3 5 5乙 0 0 0 0 1 1 2 3 4 5百分位数：一组数的 分位数指的是，满足下列条件的一个数值：至少有 的数据不大于该值，且至少有 的数不小于该值.一般地，当数据个数较多的时候，可以借助多个百分位数来了解数据分布的特点.%(0,100)pp%p(100)%p百分位数：计算方法：设一组数按从小到大排列后为 ，计算 的值，如果 不是整数，设 为大于 的最小整数，取 为 分位数，如果 是整数，取 为 分位数，特别地，0分位数是 ，即最小值，100%分位数
12、是 ，即最大值.0i%inpi12,nx xxi0ix%pi12iixx%p1xnx百分位数：实际应用中，除了中位数外，经常使用的是25%分位数（简称第一四分位数），与75%分位数（简称第三四分位数）.百分位数：例题：计算尝试与发现3中甲乙两组数的75%分位数.百分位数：例题：计算尝试与发现3中甲乙两组数的75%分位数.解：数据个数20，因此，20 75%15百分位数：例题：计算尝试与发现3中甲乙两组数的75%分位数.解：数据个数20，因此，甲组数的75%分位数为:.乙组数的75%分位数为:.20 75%1515169 109.522xx151610 141222xx15 16甲 9 10乙
13、10 14百分位数：可见，甲组数用2.5，5.5，9.5，乙组数用1，5.5，12 来刻画，大致可以看出他们的数的分布特点.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20甲 1 2 2 2 2 3 3 3 5 5 6 6 8 8 9 10 10 12 13 13乙 0 0 0 0 1 1 2 3 4 5 6 6 7 7 10 14 14 14 14 15问题与情境：如下是某学校高一（1）班和高一（2）班某一次期中考试的语文成绩，试从不同的角度对两班成绩进行对比.高一（1）班：69 84 69 80 75 70 75 71 87 70 80
14、84 73 81 81 73 66 78 68 79 73 75 76 76 70 74 71 86 63 88高一（2）班：76 86 74 82 77 68 62 82 72 82 76 81 84 79 67 78 70 72 81 89 81 77 72 77 67 67 72 79 81 75 75 84 问题与情境：高一（1）班：69 84 69 80 75 70 75 71 87 70 80 84 73 81 81 73 66 78 68 79 73 75 76 76 70 74 71 86 63 88高一（1）班的最大值是88，最小值是63，平均数是75.5，中位数75，第一四
15、分位数70，第三四分位数80.问题与情境：高一（2）班：76 86 74 82 77 68 62 82 72 82 76 81 84 79 67 78 70 72 81 89 81 77 72 77 67 67 72 79 81 75 75 84高一（2）班的最大值是89，最小值是62，平均数约76.4，中位数77，第一四分位数72，第三四分位数81.问题与情境：高一（1）班的最大值是88，最小值是63，平均数是75.5，中位数75，第一四分位数70，第三四分位数80.高一（2）班的最大值是89，最小值是62，平均数约76.4，中位数77，第一四分位数72，第三四分位数81.归纳总结：对一组数
16、据可以从最值、平均数、中位数及百分位数等角度进行分析.意义及作用不足最值平均数中位数归纳总结：对一组数据可以从最值、平均数、中位数及百分位数等角度进行分析.意义及作用不足最值反映数据极端情况无法反映数据的中心位置平均数反映数据平均水平有时受最值影响较大中位数反映数据中心位置数据较多时不足以了解数据分布特点，进一步采用百分位数归纳总结：对一组数据可以从最值、平均数、中位数及百分位数等角度进行分析.数据的不同的数字特征各有优势与不足，应根据现实问题的需要选择恰 当的数字特征来全方位地表达数据的信息.作业：1.回忆最值、平均数、中位数及百分位数的求法、作用、不足.2.已知 ，求下列各式的值.（1）.（2）.（3）.3.求1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的25%分位数，75%分位数，90%分位数.123451,2,3,4,5xxxxx31iix53iix51iix谢 谢 为你理想的人，否则，爱的只是你在他身上找到的你的影子。有时候，我们愿意原谅一个人，并不是我们真的愿意原谅他，而是我们不愿意失去他。不想失去他，惟有假装原谅他。不管你爱过多少人，不管你爱得多么痛苦或快乐。最后，你不是学会了怎样恋爱，而是学会了，怎样去爱自己。
