1、7.1.2弧度制及其与角度制的换算教案教学课时：共1课时教学目标：1、知道弧度制的概念，感知引入弧度制的意义，体会引入弧度制的必要性；熟记弧度制与角度制的换算公式，并能准确的进行弧度与角度的互化2、通过弧度制的概念的引入过程，体会极限思想“以直代曲”的数学转化思维策略，培养学生的数学抽象与数学建模核心素养，体会数学抽象的层次性；进一步强化数形结合思想的应用意识3、体会事物是普遍联系的、形式与内容相统一的哲学观点，提升不断进取、勇于创新的品质教学重点：理解弧度制的意义、正确地进行弧度制与角度制的换算教学难点：弧度的概念及其与角度的关系教学过程：一、情境与问题 教学引言：我们熟知同一种物质的属性可
2、以有不一样的度量单位。如度量重，可以用千克、磅等不同的单位制。又如度量一条线段的长，可用尺、米做单位来度量，前者叫”市制”，后者叫做”公制”于是我们很容易能联想到度量角，也可以采用不同的单位制。除了我们熟知的角度制，今天我们来一起认识下弧度制【设计意图】类比现实生活中称量与长度的度量制引出弧度制，减轻弧度制“从天而降”的弊端，自然合理地提出课题，激发学生的好奇心和求知欲 问题1：什么是角度制？【学生活动】通过学生自主回顾，自主组织数学语言去科学表述概念教师适时、适度引导学生从：图示、的确立、实际使用测量工具等来诠释角度制。【设计意图】通过学生自主回顾，构建角度制定义的代数形式与几何形式思维的对
3、应确立圆对角的度量的几何直观作用，明确设立一种度量制度的关键要素【答案】角度制：是把圆周等分成份，其中每一份所对应的圆心角为度，这种用度作单位来度量角的制度，称为角度制。教师引导语：角度制是对角的大小的一种几何刻画，角度不是一个纯粹的实数为了从数学的角度让角也去参与构建函数模型，我们就有必要从代数的角度用实数度量角的大小，为此弧度制应运而生弧度制从字面上解理：有弧、有度。这让我们自然会关注到圆，联想到这种方法应与圆心角所对的弧有关。而针对一个圆，我们可知，从定点出发的不同的圆弧长与圆心角的大小，是一一对应的；同时圆心角所对的弧长又与圆的半径有关（借助PPT演示）问题2：“圆心角、圆心角所对的弧
4、长、圆的半径”之间是如何相互影响和制约的？它们三者之间是否存在着一定的关系呢？【学生活动】学生独立动手实际操作，（借助PPT演示）感知数形结合带来的直观想象然后小组合作探究，交流中通过演绎推理解决问题，完善结论【设计意图】从学生探究的需要和可能遇到的难点和障碍出发，教师帮助学生搭建探究支架，亲身体验知识的发展轨迹通过几何上的相似比的显示及代数上的公式变形，来验证定理的合理性体验知识的形成过程与成长方法，在学习过程中学会再创造【答案】1)三者满足的关系等式：；2)因为，则一定大小的圆心角所对的弧长与半径的比值，是一个唯一确定的值教师引导语：于是我们就用这个唯一确定的值去侧面反映一个角的大小即用弧
5、长与半径的比称之为弧度用弧度去描述一个角的大小的方法称之为弧度制即弧度二、新知探究问题3：如何定义弧度？【学生活动】让学生自主讨论，教师适时引导【设计意图】追溯知识本质，明确一种制度的建立的关键要素之一：单位的确立让学生在探究如何用一个实数度量角的大小的过程中，感受到知识的形成过程【答案】定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角为弧度的角，弧度的角记作简记：弧度的单位记作，（“弧度”二字或可以略去不写）问题4：由弧度制的定义可知，半径为的圆中，若弧长为的弧所对圆心角为，则三者间的关系式为？【学生活动】学生独立思考【设计意图】将数学语言的符号化，为以数代形，以直代曲打好基石，培养学生的数学抽象素养
6、【答案】（PPT演示）符号记法：问题5：1)已知圆半径为，若圆心角所对的弧长，那么的弧度数是多少？ 2)已知角 ,它所表示的意义是？【学生活动】学生独立思考，自主完成【设计意图】巩固弧度公式，感知实数与角的对应同时关注形，即几何直观对、角大小的呈现【答案】1)简记：2)是弧度的角问题6：按照定义，你可知道一个周角对应的弧度数是多少么？【学生活动】学生独立思考，自主完成【设计意图】【答案】 ，即，即追问1：半个周角对应的弧度数又是多少呢？【思路分析】方法一：利用弧度制定义求得；方法二：利用比例关系求得【答案】，简记追问2：特殊的轴线角中，、对应的弧度数是多少？【答案】，三、例题示范例1：填写表格
7、：写出以下特殊角的度数对应的弧度数（表格一）度弧度（表格二）度弧度【选配意图】熟悉弧度制度量角的方法，并沟通与角度制的关系掌握角度制与弧度制的正确换算方法，提升运算素养问题7：角度制与弧度制的区别【学生活动】小组合作探究，学生代表发言，学生评价、补充、完善教师适时点拨【设计意图】 强调了常用特殊角的换算提升运算能力让学生从单一的思维模式中解放出来，促进对知识的本质研究，拓展眼界，以提升数学思维素养通过对比讨论，利用新旧知识所蕴含的矛盾引发认知冲突，提升弧度制的理论支撑【答案】区别：1）在用角度制和弧度制来度量角时, 它们在单位上一定不同；数量上，仅有零角相同,都是；其它任一非零角,数量一定不同
8、； 2）正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0；弧度制将角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系。3）角的弧度数公式，更严谨的表达方法是：，（为弧长，为半径）4）弧度制与角度制之间在进行换算时最佳的方法：记住一些特殊角的度数，与弧度数的对应值，再借助比例关系求得所求。若遇到更复杂的我们可以借助算器来完成。四、知识点深化问题8：角度制中的换算弧度数究竟是多少？弧度制中的弧度换算成角度数是多少呢？【学生活动】学生自已独立完成【设计意图】先让学生对弧度角的大小有一个正确的“估计”，再推导出两种“量制”的互换关系 【答案】， 探索与研究：由上可知是一个很小的实数，而弧度是接近的
9、角，较比大了很多那弧度究竟有多大？我们借助圆来探究一下【学生活动】学生自已独立思考，小组合作交流在教师的引导下，学生自主拓展问题，自主内化反思，加深对核心概念的理解【设计意图】提升学生通过直观看清弧度制本质的能力，具有一定的新颖性和创新性【解析提示】方法一：；方法二：在圆中作出一条弦，且，则为等边三角形，故如图，我们可知，即再从出发作一段弧，且，则所以圆心角，如图显然大于故实数是一个接近于的角，但小于例2：将以下角度制下的结论转化成弧度制下的结论，并在数轴上体现这些角的集合（1）与终边相同的角的集合：（2）轴线角的集合：（3）象限角的集合：【答案】（1），（2），（3）第一象限角：，；第二象限
10、角：，；第三象限角：，；第四象限角：，；或，【学生活动】学生独立思考，自主完成，互相批改，展示优秀练习，总结完善【选配意图】突出新旧知识的融合对弧度制下的书写给予科学性示范感悟弧度是对角度制的改进与优化让学生体会引入弧度制的意义所在，领悟弧度数是十进制的实数，当角用弧度制进行度量时，每一个角和实数一一对应的关系更加明显，通过这样的研究历程，学生体会到了引入弧度制的必要性例2：（4）判断当角 1，2，3时，终边分别位于何象限？【学生活动】学生自已独立思考，小组合作交流【选配意图】加深对实数1，2，3的弧度制下的理解提升学生运用数学语言表述的能力【思路分析】方法一：将弧度制换成角度制；方法二：用弧
11、度制直接判断【解答】方法一：因为，且，所以1终边位于第一象限；同理，因为，且，所以2终边位于第二象限；因为，且，所以1终边位于第一象限方法二：因为 ，所以1终边位于第一象限；因为 ，所以2终边位于第二象限；因为 ，所以3终边位于第二象限【解法评析】方法上的类比，学生会很容易的接受弧度制带来的便利，从而加深弧度与实数间的一一对应的理解，实现“以直代曲”的数学转化思维培养让学生对弧度的认识上升到一个新的高度例3：如图，设扇形的半径为，弧长为，且圆心角，试求扇形面积公式【选配意图】通过对比不同制度下同一个几何公式的繁简差异，弧度制可将公式整体简化将公式变得简洁清晰，彰显数学的简洁美感悟弧度是对角度制
12、的改进与优化有助于凸显弧度制的必要性【思路分析】依据初中的扇形面积公式：，再结合弧度制的定义与角度与弧度制的换算，我们很容易的实现但要注意：在使用公式时，角的单位必须是弧度【阶段小结】通过以上，我们会感悟到，弧度制的引入不仅简化了书写，还将角的曲化成了实数的直；将数学中直观与抽象，即形与数充分融合所以，今后我们再学习其它的数学概念时，也要抓住数与形两方面来理解与探究五、归纳总结1、知识内容及研究方法方面：通过问题分析，学生发现角度不是纯粹的实数，为了建立函数模型，需要用数学度量角的大小弧度制是用弧度为单位来度量角的制度弧度制作为当今数学主要的角的单位制度，我们还要明确：1）弧度制的基本思想是统
13、一圆半径与圆周长的度量单位，用对应的弧长与圆半径之比来度量角度； 2）同时弧度制相比角度制有二大优势：（1)使进位制统一。弧度制将角的60进制度量的角度制，换成10进制。将角度实数化，与实数集之间建立对应。故弧度制将角与原有数学系统相容（2)便于数与数之间的对比，简化了有关公式及运算，提高解决问题的效率。2、数学思想方法、核心素养及应用方法策略方面：数学建模思想、线段与弧单位统一思想、类比方法、数轴分析法、归纳推理等方法；直观想象、逻辑推理、数学运算和数据分析能力；培养学生的理性精神、自主学习能力，让学生学会用数学的方式思考、学会学习3、应注意的问题：在指明角度与弧度的区别，还会有其它不同的方面来比较；同时要熟悉弧度制来表示角，并形成能力还需要是一个强化训练的过程4、学生活动方式说明：可以让学生自已课后查阅相关文献，丰富对弧度制的了解，那将会对如何度量角有更深刻的体会5、作业建议：教材P13习题71A2、5 教材P13习题71B1、2、5
