1、第 20 课时直角三角形与勾股定理第四单元三角形考点一直角三角形考点聚焦定义有一个角是的三角形叫做直角三角形性质(1)直角三角形的两个锐角;(2)在直角三角形中,如果一个锐角等于30,那么它所对的直角边等于 ;(3)直角三角形斜边上的中线等于 ;(4)勾股定理:如果直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为c,那么 直角互余斜边的一半斜边的一半a2+b2=c2判定(1)有一个角等于的三角形是直角三角形(定义);(2)两个内角的三角形是直角三角形;(3)勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形拓展(续表)90互余考点二勾股定理的探索过程图20-1
2、图20-2图20-3题组一教材题对点演练1.八下P24练习第2题改编如图20-4,图中所有的三角形都是直角三角形,四边形都是正方形.已知正方形A,B,C,D的边长分别是12,16,9,12,则最大正方形E的面积为.图20-46252.八下P25例2改编如图20-5,一架2.6 m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上,这时AO为2.4 m.如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5 m,那么梯子底端B外移了m.(结果精确到0.01 m)答案0.77 图20-5答案36 3.八下P34习题17.2第5题改编如图20-6,在四边形ABCD中,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,B=90,则四边形ABCD的
3、面积是.图20-6【失分点】忽视直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一重要条件;运用勾股定理确定边长时忽视分类讨论造成漏解.题组二易错题4.2018黄冈如图20-7,在RtABC中,ACB=90,CD为AB边上的高,CE为AB边上的中线,AD=2,CE=5,则CD=()A.2B.3C.4D5.若一个三角形的三边长分别为3,4,x,则使此三角形是直角三角形的x的值是.C图20-7考向一直角三角形的性质例1 如图20-8,在ABC中,AD是高,E,F分别是AB,AC的中点.(1)求证:EF垂直平分AD;(2)若四边形AEDF的周长为24,AC=9,求AB的长.图20-8【方法点析】题中涉及直角三
4、角形时,不要忽视直角三角形的性质的应用:(1)直角三角形两锐角互余;(2)斜边上的中线等于斜边的一半.|考向精练|1.如图20-9,在RtABC中,ACB=90,A=65,CDAB,垂足为D,E是BC的中点,连接ED,则EDC的度数是()A.25B.30C.50D.65答案 D解析因为CDAB,所以ADC=BDC=90,所以ACD=90-A=25,因为ACB=90,所以DCE=90-ACD=65,因为在RtCDB中,E是BC的中点,所以EC=ED,所以EDC=DCE=65.图20-92.2017宿迁如图20-10,在ABC中,ACB=90,点D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,若CD=2,
5、则线段EF的长是.图20-10答案 23.如图20-11,已知ABC中,AB=AC,BAC=120,DE垂直平分AC交BC于D,垂足为E,若DE=2 cm,则BC=cm.图20-11答案 12解析连接AD,ABC中,AB=AC,BAC=120,B=C=30,DE垂直平分AC,AD=CD,DAC=C=30,AD=CD=2DE=22=4(cm),BAD=BAC-DAC=90,BD=2AD=8(cm),BC=BD+CD=12(cm).考向二勾股定理及其逆定理的应用【方法点析】(1)勾股定理是求线段长的重要工具;(2)勾股定理可以建立三边关系的方程;(3)勾股定理可以用于证明平方关系.|考向精练|图2
6、0-12图20-133.如图20-14,在ABC中,点D是BC边上一点,连接AD.若AB=10,AC=17,BD=6,AD=8.(1)求ADB的度数;(2)求BC的长.图20-14图20-15图20-15(2)证明:过点B作直线DEAC,则A=ABD,C=CBE.ABD+ABC+CBE=180,A+ABC+C=180,即ABC的内角和等于180.图20-15答案 D考向三利用勾股定理解决最短路径问题图20-16【方法点析】转化思想在求几何体表面上两点之间的最短距离时,一般先把立体图形展开成平面图形,然后再利用勾股定理求出几何体表面上两点之间的距离.|考向精练|图19-17答案 A2.如图20-
7、18是一块长、宽、高分别是6 cm,4 cm和3 cm的长方体木块.一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处,沿着长方体的表面到长方体上和A点相对的顶点B处吃食物,那么它需要爬行的最短路径的长是cm.图20-18考向四勾股定理与拼图例4 2019巴中如图20-19,等腰直角三角板如图所示放置,直角顶点C在直线m上,分别过点A,B作AE直线m于点E,BD直线m于点D.(1)求证:EC=BD;(2)若设AEC三边分别为a,b,c,利用此图证明勾股定理.图20-19证明:(1)ABC是等腰直角三角形,ACB=90,AC=BC,ACE+BCD=90.AEEC,EAC+ACE=90,BCD=CAE.BDCD
8、,AEC=CDB=90,AEC CDB(AAS),EC=BD.例4 2019巴中如图20-19,等腰直角三角板如图所示放置,直角顶点C在直线m上,分别过点A,B作AE直线m于点E,BD直线m于点D.(2)若设AEC三边分别为a,b,c,利用此图证明勾股定理.图20-19|考向精练|1.如图20-20,RtABC中,ACB=90,若AB=15 cm,则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为()A.150 cm2B.200 cm2C.225 cm2D.无法计算图20-20C2.数学文化2019宁波勾股定理是人类最伟大的科学发现之一,在我国古算书周髀算经中早有记载.如图20-21,以直角三角形的各
9、边为边分别向外作正方形,再把较小的两张正方形纸片按图的方式放置在最大正方形内.若知道图中阴影部分的面积,则一定能求出()A.直角三角形的面积B.最大正方形的面积C.较小两个正方形重叠部分的面积D.最大正方形与直角三角形的面积和图20-21答案 C解析设图中三个正方形边长从小到大依次为:a,b,c,则S阴影=c2-a2-b2+a(a+b-c).由勾股定理可知,c2=a2+b2,S阴影=c2-a2-b2+S重叠=S重叠,即S阴影=S重叠,故选C.3.如图20-22是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案.已知大正方形面积为49,小正方形面积为4,若用x,y表示直角三角形的两直角边(xy),则下列结论:x2+y2=49;x-y=2;2xy+4=49,其中正确的结论是()A.B.C.D.图20-22答案 C
