1、五五 四四 边边 形形第第2222课时课时 平行四边形平行四边形课时目标课时目标1.掌握平行四边形的概念，探索并证明平行四边形的性质、判定定理，会运用平行四边形的性质和判定定理进行有关的计算和证明2.理解三角形中位线的概念及性质，并用它们去解决线段平行和长度的问题.知识点知识点1 1平行四边形的概念及性质平行四边形的概念及性质1.概念：两组对边分别_的四边形叫做平行四边形2.性质：(1)对边平行且_AB CD，AD BC(2)对角_DABBCD，ABCADC(3)邻角互补DABABC180，DABADC180，ABCBCD180，BCDADC180(4)对角线互相_AOCO，DOBO(平行四边
2、形的两条对角线将平行四边形分成四个面积相等的三角形，即SAOBSBOCSCODSAOD)(5)平行四边形是中心对称图形，_是它的对称中心(6)面积：S底高ABDE同底(等底)等高(同高)的平行四边形面积相等平行相等相等平分对角线交点知识点知识点2 2平行四边形的判定平行四边形的判定边边两组对边分别_的四边形是平行四边形两组对边分别_的四边形是平行四边形一组对边平行且_的四边形是平行四边形对角线对角线对角线互相_的四边形是平行四边形知识点知识点3 3中位线定义及性质中位线定义及性质1.三角形的中位线：连接三角形_的线段叫做三角形的中位线2.三角形中位线的性质：三角形的中位线_三角形的第三条边，且
3、等于 _平行相等相等平分两边中点平行于第三条边的一半考点一平行四边形的性质考点一平行四边形的性质例例1 1(2019遂宁中考)如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OEBD交 AD于点E，连接BE.若 ABCD的周长为28，则ABE的周长为()A.28 B.24 C.21 D.14 例1图 四边形ABCD是平行四边形，OBOD，ABCD，ADBC.ABCD的周长为28，ABAD14.OEBD，OBOD，OE是BD的垂直平分线 BEED.ABE的周长为ABBEAEABEDAEABAD14.故选D.方法归纳方法归纳 平行四边形对边相等、对角线互相平分，它们是解决与线段长度计算相关问题的
4、重要工具D例例2 2(2019淮安中考)如图，在 ABCD中，E，F分别是边AD，BC的中点求证：BEDF.例2图 方法归纳方法归纳 本题考查了平行四边形的性质，平行四边形的对边相等、对角相等，为全等三角形的证明提供了必要的条件本题还可以通过证四边形BEDF为平行四边形得到BEDF.考点二平行四边形的性质与判定的综合应用考点二平行四边形的性质与判定的综合应用例例3 3(2019镇江中考)如图，在四边形ABCD中，ADBC，点E，F分别在AD，BC上，AECF，过点A，C分别作EF的垂线，垂足为G，H.(1)求证：AGECHF.(2)连接AC，线段GH与AC是否互相平分？请说明理由 例3图 思路
5、点拨思路点拨 (1)由垂线的性质得出AGECHF90，AGCH，由平行线的性质和对顶角相等得出AEGCFH，由AAS即可得出AGECHF.(2)如图，连接AH，CG，由全等三角形的性质得出AGCH，证出四边形AHCG是平行四边形，即可得出结论 方法归纳方法归纳 判定一个四边形是否是平行四边形有三种途径：(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形(2)两组对角分别相等的四边形是平行四边形(3)两条对角线互相平分的四边形是平行四边形A 方法归纳方法归纳 (1)三角形的中位线体现了线段间的位置关系与数量关系，一般求角度时运
6、用位置关系解题，求线段长度时运用数量关系解题；(2)当题目中涉及中点，就要想到三角形的中位线定理.1.(2019柳州中考)如图，在 ABCD中，全等三角形的对数共有()A.2对 B.3对 C.4对 D.5对 第1题2.(2018宁波中考)如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中 点，连接OE.若ABC60，BAC80，则1的度数为()A.50 B.40 C.30 D.20第2题3.(2019河池中考)如图，在ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，点F在DE的 延长线上，添加一个条件使四边形ADFC为平行四边形，则这个条件可以是 ()A.BF B.BBCFC.ACCF
7、D.ADCF 第3题CBBB14618.(2019广安中考)如图，E是 ABCD的边CD的中点，AE，BC的延长线交于点F，CF3，CE2.求 ABCD的周长第8题 四边形ABCD是平行四边形，ADBC.DAEF，DECF.又 E是CD的中点，EDEC.ADEFCE.ADFC3，DECE2.DC4.ABCD的周长为2(ADDC)149.(2017镇江中考)如图，点B，E分别在AC，DF上，AF分别交BD，CE于点M，N，AF，12.(1)求证：四边形BCED是平行四边形；(2)已知DE2，连接BN，若BN平分DBC，求CN的长 第9题(1)AF，DEBC.12，1DMF，DMF2.DBEC.四
8、边形BCED是平行四边形(2)四边形BCED为平行四边形，BCDE2.BN平分DBC，DBNCBN.DBEC，CNBDBN.CNBCBN.CNBC2第第2323课时矩形、菱形、课时矩形、菱形、正方形正方形课时目标课时目标1.理解矩形、菱形、正方形与一般平行四边形之间的共性、特性和从属关系2.探索并证明矩形、菱形、正方形的性质定理及它们的判定定理，会利用这些性质定理与判定定理进行计算与推理.知识点知识点1 1矩形的性质和判定矩形的性质和判定矩矩形形定义有一个角是直角的平行四边形叫矩形性质(1)边：对边平行且相等，即(2)角：四个角都是_，即ABCBCDCDADAB90；(3)对角线：对角线_，即
9、ACBD，OAOCOBOD；(4)对称性：既是_对称图形，又是_对称图形，有_条对称轴判定(1)有一个角是_的平行四边形是矩形(定义)；(2)有_是直角的四边形是矩形；(3)对角线_的平行四边形是矩形周长、面积计算C2(ab)，Sab(a，b分别为矩形的长和宽)直角相等且互相平分中心轴2直角三个角相等知识点知识点2 2菱形的性质和判定菱形的性质和判定菱形菱形定义有一组邻边相等的平行四边形叫菱形性质(1)边：四条边都_，即ABBCCDAD；对边平行：ABCD，ADBC；(2)角：对角相等，即DABDCB，ADCABC；(3)对角线：对角线_，并且每一条对角线平分_，即ACBD，OAOC，ODOB
10、，AC平分DAB与BCD，BD平分ABC与ADC；(4)对称性：既是_对称图形，又是_对称图形，有_条对称轴相等互相垂直且平分一组对角中心轴2菱形菱形判定(1)有一组邻边_的平行四边形是菱形(定义)；(2)四条边都_的四边形是菱形；(3)对角线_的平行四边形是菱形周长、面积计算 相等相等互相垂直知识点知识点3 3正方形的性质和判定正方形的性质和判定正方形正方形定义有一组邻边相等且一个角是直角的平行四边形叫正方形性质(1)边：四条边都_，即ABBCCDAD；对边平行：ABCD，ADBC；(2)角：四个角都是_，即ABCBCDADCBAD90；(3)对角线：对角线互相垂直平分且_，每一条对角线都平
11、分_(对角线与边的夹角为45)，即ACBD，AC平分BD，BD平分AC，ACBD，DACCABDCAACB45，ADBBDCABDDBC45；(4)对称性：既是_对称图形，又是_对称图形，有_条对称轴相等直角相等一组对角中心轴4正方形正方形判定(1)有一个角是_，一组邻边_的平行四边形是正方形(定义)；(2)一组邻边_的矩形是正方形；(3)一个角是_的菱形是正方形；(4)对角线_的平行四边形是正方形；(5)对角线_的四边形是正方形周长、面积计算知识点知识点4 4平行四边形、矩形、菱形、正方形四者之间的关系平行四边形、矩形、菱形、正方形四者之间的关系直角相等相等直角相等且互相垂直相等且互相垂直平
12、分连接CE.四边形ABCD是矩形，ADC90，CDAB6，ADBC8，OAOC.EFAC，OAOC，AECE.设DEx，则CEAE8x.在RtCDE中，由勾股定理，得x262(8x)2，解得x，即DE.故选B.方法归纳方法归纳 本题以矩形为载体，考查了勾股定理与线段垂直平分线的性质，矩形的直角与对角线互相平分为利用勾股定理构造方程打下基础B例1图例例2 2 (2019南京玄武区一模)如图，在ABCD中，E，F为边BC上两点，BFCE，AEDF.求证：(1)ABEDCF；(2)四边形ABCD是矩形 例2图 思路点拨思路点拨 (1)根据平行四边形的性质得到ABDC.根据题中条件及全等三角形的判定定
13、理即可得到结论(2)根据全等三角形的性质得到BC.根据平行四边形的性质得到ABCD，继而根据BC180，求出B的度数根据矩形的判定定理即可得到结论(1)四边形ABCD是平行四边形，ABDC.BFCE，BFEFCEEF，即BECF.在ABE和DCF中，AB=DC,AE=DF,BE=CF ABEDCF.(2)ABEDCF，BC.四边形ABCD是平行四边形，ABCD.BC180.BC90.四边形ABCD是矩形 方法归纳方法归纳 在证明一个四边形是矩形时，若题设与这个四边形的对角线有关，通常先证明这个四边形是平行四边形，再证明其对角线相等；若题设与角度有关，通常考虑用矩形的定义或者依据“有三个角是直角
14、的四边形是矩形”来证明若容易证出有三个直角，则用后者证明；若容易证出有一个直角，则可根据矩形的定义证明 方法归纳方法归纳 利用菱形的性质可证得线段相等、角相等、对角线互相垂直平分，从而可借助勾股定理解决与线段长度有关的问题另外菱形的面积等于对角线乘积的一半，这些均是解题的重要工具，应牢记C 方法归纳方法归纳 菱形的证明是四边形证明中的难点，它的证明思路有三种：一是先证明四边形是平行四边形，再证明一组邻边相等；二是先证明四边形是平行四边形，再证明对角线互相垂直；三是证明四条边都相等解题时要灵活选用判定方法进行证明考点三正方形的性质和判定考点三正方形的性质和判定例例5 5(2019菏泽中考)如图，
15、E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC8，AECF2，则四边形BEDF的周长是_ 例5图 思路点拨思路点拨 如图，连接BD交AC于点O，则可证得OEOF，ODOB，可证四边形BEDF为平行四边形，且BDEF，从而证得四边形BEDF为菱形，再根据勾股定理计算DE的长，可得结论 方法归纳方法归纳 由正方形可知与边、角、对角线有关的结论，再结合勾股定理即可解决问题例例6 6(2018舟山中考)如图，等边三角形AEF的顶点E，F在矩形ABCD的边BC，CD 上，且CEF45.求证：矩形ABCD是正方形 例6图 思路点拨思路点拨 先判断出AEAF，AEFAFE60，再求出AFDAEB75，进而
16、判断出AFDAEB，最后根据邻边相等的矩形是正方形得出结论 四边形ABCD是矩形，BDC90.AEF是等边三角形，AEAF，AEFAFE60.CEF45，CFECEF45.AFDAEB180456075.又 DB，AFAE，AFDAEB.ADAB.矩形ABCD是正方形 方法归纳方法归纳 要判定一个四边形是正方形，可以从三个方面考虑：一是有一个角是直角的菱形是正方形；二是有一组邻边相等的矩形是正方形；三是对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形.1.(2019无锡中考)下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是()A.内角和为360 B.对角线互相平分C.对角线相等 D.对角线互相垂直2.(2
17、019永州中考)如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且O是BD的中 点若ABAD5，BD8，ABDCDB，则四边形ABCD的面积为()A.40 B.24 C.20 D.15 3.(2019鄂尔多斯中考)如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形ABE，则 BED的度数为()A.15 B.35 C.45 D.55CBC4.(2019徐州中考)如图，在矩形ABCD中，AC，BD交于点O，M，N分别为BC，OC的中点若MN4，则AC的长为_5.(2019广西中考)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作 AHBC于点H.若BO4，S菱形ABCD24，则AH_6.(2019苏州中考
18、)“七巧板”是我们祖先的一项卓越创造，可以拼出许多 有趣的图形，被誉为“东方魔板”图是由边长为10 cm的正方形薄板分 为7块制作成的“七巧板”，图是用该“七巧板”拼成的一个“家”的图 形该“七巧板”中7块图形之一的正方形的边长为_cm(结果保留 根号)167.(2019云南中考)如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO OC，BOOD，且AOB2OAD.(1)求证：四边形ABCD是矩形；(2)若AOBODC43，求ADO的度数第7题(1)AOOC，BOOD，四边形ABCD是平行四边形 AOBOADADO2OAD，OADADO.AODO.ACBD.四边形ABCD是矩形(2)四
19、边形ABCD是矩形，ABCD.ABOODC.AOBODC43，AOBABO43.BAOAOBABO343.易得ABO54.BAD90，ADO9054368.(2018扬州一模)如图，在平行四边形ABCD中，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，AECG，AHCF.(1)求证：AEHCGF；(2)若EG平分HEF，求证：四边形EFGH是菱形 第8题(1)四边形ABCD是平行四边形，AC.在AEH和CGF中，AE=CG,A=C,AH=CF AEHCGF(2)四边形ABCD是平行四边形，ADBC，ABCD，BD.AECG，AHCF，BEDG，BFDH.BEFDGH.EFGH.AEHCGF
20、，EHGF.四边形EFGH为平行四边形 EHFG.HEGFGE.EG平分HEF，HEGFEG.FGEFEG.GFEF.四边形EFGH是菱形9.(2019南京溧水区二模)如图，在平行四边形ABCD中，AF是BAD的平分线，交BC 于点F，与DC的延长线交于点N，CE是BCD的平分线，交AD于点E，与BA的延长线交 于点M.(1)试判断四边形AFCE的形状，并说明理由；(2)连接BE交AF于点O，连接EF，若BEME，求证：四边形ABFE是菱形10.(2019扬州邗江区一模)如图，在ABC中，ABAC，D是BC上任一点，ADAE，BACDAE.(1)若ED平分AEC，求证：CEAD；(2)若BAC90，D为BC的中点，试判断四边形ADCE的形状，并说明理由(1)ADAE，ADEAED.ED平分AEC，DECAED.ADEDEC.CEAD(2)四边形ADCE是正方形 理由：ABAC，D为BC 的中点，ADBC，即ADC90.又 DAEBAC90，ADCDAE180.AECD.BAC90，D为BC的中点，ADCD2(1)BC.又 ADAE，AECD.四边形ADCE是平行四边形又 ADC90，四边形ADCE是矩形又 ADCD，四边形ADCE是正方形
