1、第3课时题型 1 利用空间向量求空间角(距离)就新课标卷而言，对立体几何的命题基本上是“一题两法”的格局.在备考中，对理科考生而言，还是应该注重两种方法并重，不要盲目地追求空间向量(容易建系时才用空间向量)，千万不要重计算而轻论证！例 1：(2018 年新课标)如图 6-34，在三棱锥 P-ABC 中，(1)证明：PO平面 ABC；(2)若点 M 在棱 BC 上，且二面角 M-PA-C 为 30，求 PC 与平面 PAM 所成角的正弦值.图 6-34图 6-35【规律方法】立体几何中的直线与平面的位置关系，以及空间的三种角，是高考的必考内容，都可以采用传统的方法来处理，对于直线与平面间几种位置
2、关系，可采用平行垂直间的转化关系来证明，对于异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角可分别通过平移法、射影法和垂面法将它们转化为相交直线所成的角来处理.本题主要考查立体几何中传统的平行与垂直关系，并且考查了线面所成的角，难度并不是太大，旨在考查考生对解题技巧的把握和抽象分析能力.【跟踪训练】1.(2017 年新课标)如图 6-36，在四棱锥 P-ABCD 中，ABCD，且BAPCDP90.(1)证明：平面 PAB平面 PAD；(2)若 PA PDABDC，APD90，求二面角 A-PB-C的余弦值.图 6-36(1)证明：由已知BAPCDP90 ，得ABAP，CDPD.由于 ABCD，故
3、ABPD.又 APPDP，从而 AB平面 PAD.又 AB平面 PAB，平面 PAB平面 PAD.(2)解：在平面 PAD 内作 PFAD，垂足为 F，由(1)可知，AB平面 PAD，故 ABPF，可得 PF平面ABCD.图 D101题型 2 折叠问题将平面图形沿其中一条或几条线段折起，使其成为空间图形，把这类问题称为平面图形的翻折问题.平面图形经过翻折成为空间图形后，原有的性质有的发生了变化，有的没有发生变化，弄清它们是解决问题的关键.一般地，翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化.解决这类问题就是要据此研究翻折以后的空间图形中的线面关系和几何量的度量值，这是
4、化解翻折问题难点的主要方法.例 2：(2018 年新课标)如图 6-37，四边形 ABCD 为正方形，E，F 分别为 AD，BC 的中点，以 DF 为折痕把DFC 折起，使点 C 到达点 P 的位置，且 PFBF.(1)证明：平面 PEF平面 ABFD；(2)求 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值.图 6-37(1)证明：由已知可得，BFPF，BFEF，又 PFEFF，BF平面 PEF.又 BF平面 ABFD，平面 PEF平面 ABFD.(2)解：作 PHEF，垂足为 H.由(1)得，PH平面 ABFD.建立如图 6-38 所示的空间直角坐标系 H-xyz.图 6-38【规律方法】有关折叠
5、问题，一定要分清折叠前后两图形(折叠前的平面图形和折叠后的空间图形)各元素间的位置和数量关系，哪些变，哪些不变.如角的大小不变，线段长度不变，线线关系不变，再由面面垂直的判定定理进行推理证明.【跟踪训练】2.如图 6-39，在四边形 ABED 中，ABDE，ABBE，点C 在 AB 上，且 ABCD，ACBCCD，现将2ACD 沿 CD折起，使点 A 到达点 P 的位置，且 PE 与平面 PBC 所成的角为45.(1)求证：平面 PBC 平面 DEBC；(2)求二面角 D-PE-B 的余弦值.图 6-39(1)证明：ABCD，ABBE，CDEB.ACCD，PCCD.EBPC，且 PCBCC，E
6、B平面 PBC,又EB平面 DEBC，平面 PBC 平面 DEBC.图 D102(2)解：由(1)知 EB平面 PBC，EBPB，由 PE 与平面 PBC 所成的角为 45，得EPB45，PBE 为等腰直角三角形，PBBE.ABDE，结合 CDEB 得 BECD2，PB，故2PBC 为等边三角形.取 BC 的中点 O，连接 PO，POBC，PO平面 EBCD，以 O 为坐标原点，过点 O 与 BE 平行的直线为 x 轴，CB所在的直线为 y 轴，OP 所在的直线为 z 轴建立空间直角坐标系如图 D102，题型 3 探索性问题图 6-40(1)证明：连接 AC，如图 6-41.BC2AB2AC2
7、，ABAC.ABCD，ACCD.又PA 底面 ABCD,PA CD.ACPA A，CD平面 PAC.图 6-41(2)解：如图 6-41，以 A 为原点，AB，AC，AP 所在直线分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，则 A(0,0,0)，P(0,0,2)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(2,2,0).M 是棱 PD 的中点，M(1,1,1).【跟踪训练】3.如图 6-42，ABEDFC 为多面体，平面 ABED 与平面ACFD垂直，点 O 在线段 AD 上，OA1，OD，2OAB，OAC，ODE，ODF 都是正三角形.(1)证明：直线 BC面 OEF；(2)在线段 DF 上是否存在一点 M，使得二面角 M-OE-D 的在的位置.图 6-42(1)证明：依题意，在平面 ADFC 中，CAOFOD60，ACOF.又 OF平面 OEF，AC平面 OEF.同理，在平面 ABED 中，BAOEOD60，ABOE，AB平面 OEF.ABACA，OEOFO，AB面 OEF，AC面 OEF，OE面 OEF，OF面 OEF，由可得，平面 ABC平面 OEF.又 BC面 ABC，直线 BC面 OEF.(本题可先证明 BCEF 后得证，也可建立空间直角坐标系得证)
