1、水本无华水本无华 相击而成涟漪相击而成涟漪石本无火石本无火 相撞而生灵光相撞而生灵光动动 点点 问问 题题 探探 究究20212021年最新年最新中考备战20202020年中考数学专题复习年中考数学专题复习-动点问题动点问题 图形中的点、线运动，构成了数学中的一个新问题图形中的点、线运动，构成了数学中的一个新问题-动态几何。它通常分为三种类型：动点问题、动动态几何。它通常分为三种类型：动点问题、动线问题、动形问题。在解这类问题时，要充分发挥线问题、动形问题。在解这类问题时，要充分发挥空间想象的能力，不要被空间想象的能力，不要被“动动”所迷惑，而是要在所迷惑，而是要在“动动”中求中求“静静”，化
2、，化“动动”为为“静静”，这是解决，这是解决动点问题的动点问题的关键关键。抓住它运动中的某一瞬间，寻找。抓住它运动中的某一瞬间，寻找确定的关系式确定的关系式，就能找到解决问题的途径。，就能找到解决问题的途径。本节课重点来探究动态几何中的第一种类型本节课重点来探究动态几何中的第一种类型-动点问题。所谓动点问题。所谓“动点型问题动点型问题”是指题设图形中存是指题设图形中存在一个或多个动点在一个或多个动点,它们在线段、射线或曲线上运动它们在线段、射线或曲线上运动的一类开放性题目。的一类开放性题目。特殊位置特殊位置动点问题动点问题最值问题最值问题特殊图形特殊图形 函函 数数1、如图：已知、如图：已知
3、ABCD中，中，AB=7，BC=4，A=30DCBA(1)点点P从点从点A沿沿AB边向点边向点B运动，速度为运动，速度为1cm/s。7430P若设运动时间为若设运动时间为t(s)，连接，连接PC,当当t为何值时，为何值时，PBC为等腰三为等腰三角形？角形？若若PBC为等腰三角形为等腰三角形则则PB=BC7-t=4t=3动点与特殊图形如图：已知如图：已知 ABCD中，中，AB=7，BC=4，A=30(2)若点若点P从点从点A沿沿 AB运动，速度仍是运动，速度仍是1cm/s。当当t为何值时，为何值时，PBC为等腰三角形？为等腰三角形？PDCBA74射线射线小组合作交流讨论动点与特殊图形PDCBA7
4、4当BP=BC时（锐角)PDCBA7430当CB=CP时E32P当PB=PC时DCBA74PEDCBA74当BP=BC时（钝角）动点与特殊图形1、如图：已知、如图：已知 ABCD中，中，AB=7，BC=4，A=30PDCBA74当BP=BC时PDCBA7430当CB=CP时E32P当PB=PC时DCBA74PEDCBA74当BP=BC时(2)若点若点P从点从点A沿射线沿射线AB运动，速度仍是运动，速度仍是1cm/s。当当t为何值时，为何值时，PBC为等腰三角形？为等腰三角形？探究动点关键：化动为静，分类讨论，关注全过程探究动点关键：化动为静，分类讨论，关注全过程t=3或11或7+或 7+/3
5、时 PBC为等腰三角形为等腰三角形3434动点与特殊图形1.如图：已知如图：已知 ABCD中，中，AB=7，BC=4，A=30DCBA（3）当）当t7时，是否存在某一时刻时，是否存在某一时刻t,使得线段使得线段DP将线段将线段BC三等分？三等分？PEPEDCBA动点与特殊位置1.如图：已知如图：已知 ABCD中，中，AB=7，BC=4，A=30DCBA（3）当）当t7时，是否存在某一时刻时，是否存在某一时刻t,使得线段使得线段DP将线段将线段BC三等分？三等分？PE解决动点问题的好助手：数形结合定相似比例线段构方程动点与特殊位置解：DC=AB=7,BP=t-7 当 时 DCAP DECPEB
6、21ECBE21ECBEDCBP?2177t解得：t=10.51.如图：已知如图：已知 ABCD中，中，AB=7，BC=4，A=30DCBA（3）当）当t7时，是否存在某一时刻时，是否存在某一时刻t,使得线段使得线段DP将线段将线段BC三等分？三等分？PEPEDCBA解决动点问题的好助手：数形结合定相似比例线段构方程动点与特殊位置t=10.5或21（1）当）当t为何值时，为何值时，PQBC?CBAPDQ2.在在RtABC中，中，C=90，AC=6cm，BC=8cm，点点P由点由点A出发，沿出发，沿AC向向C运动，速度为运动，速度为2cm/s，同时同时 点点Q由由AB中点中点D出发，沿出发，沿D
7、A向向A运动，速度为运动，速度为1cm/s，连接连接PQ，若设运动时间为，若设运动时间为t(s)(0t 3)若若PQBC62105tt1315 tACAPABAQ则则 AQPABC动点与特殊位置因动点生成特殊图形（位置）：因动点生成特殊图形（位置）：1 1分类思想数形结合思想分类思想数形结合思想3.3.方程模型方程模型 3.例例1 1、如图，已知在直角梯形、如图，已知在直角梯形ABCDABCD中，中，ADBC ADBC，B=90B=90，AD=24AD=24cmcm，BC=26BC=26cmcm，动点，动点P P从点从点A A开始沿开始沿ADAD边向点边向点D D，以以1 1cmcm/秒的速度
8、运动，动点秒的速度运动，动点Q Q从点从点C C开始沿开始沿CBCB向点向点B B以以3 3厘米厘米/秒的秒的速度运动，速度运动，P P、Q Q分别从点分别从点A A点点C C同时出发，当其中一点到达端点同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t t秒，求：秒，求：1 1）t t为何值时，四边形为何值时，四边形PQCDPQCD为平行四边形为平行四边形2)2)t t为何值时，等腰梯形为何值时，等腰梯形？1t3t动点与特殊图形3.1)解：ADBC，只要QC=PD，则四边形PQCD为平行四边形，CQ=3t，AP=t 3t=24-t t=
9、6，当t=6秒时，四边形PQCD为平行四边形 动点与特殊图形由题意，只要PQ=CD，PDQC，则四边形PQCD为等腰梯形FE过P、D分别作BC的垂线交BC于E、F，则EF=PD，QE=FC=2)24(34ttt=7，当t=7秒时，四边形PQCD为等腰梯形。3.2)解：动点与特殊图形455544.如图如图(1):在梯形在梯形ABCD中，中，ABCD，AD=BC=5cm,AB=4cm,CD=10cm,BEAD。如图如图(2):若整个若整个BEC从图从图(1)的位置出发，以的位置出发，以1cm/s的速度沿射线的速度沿射线CD方向平移，方向平移，在在BEC平移的同时，点平移的同时，点P从点从点D出发，
10、以出发，以1cm/s的速度沿的速度沿DA向点向点A运动，当运动，当BEC的边的边BE与与DA重合时，点重合时，点P也随之停止运动。设运动时间为也随之停止运动。设运动时间为t(s)（0t4）EBADCBEP问题：连接问题：连接 ,当当t为何值时，为何值时，为直角三角形？为直角三角形？PDEPEEDCBA6动点与特殊图形PEBCEDBAPEBCEDBADP=tDE=4-t534tt534 ttt=1.5t=2.545554EDCBAF433 特殊位置特殊位置动点问题动点问题最值问题最值问题特殊图形特殊图形 函函 数数思思路路化动为静化动为静 分类讨论分类讨论 数形结合数形结合构建函数模型、方程模型
11、构建函数模型、方程模型 动点问题 动点题是近年来中考的的一个热点问题，解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解。一般方法:首先首先 画出符合条件的图形并理清变量及相关常量。画出符合条件的图形并理清变量及相关常量。第二第二 把相关的变量用一个自变量的表达式表达出来。把相关的变量用一个自变量的表达式表达出来。第三第三 找等量关系，列方程并解方程，从而求出问题的找等量关系，列方程并解方程，从而求出问题的答案。（要注意自变量的取值范围）答案。（要注意自变量的取值范围）必要时，多作出几个符合条件的草图也是解决问题的好办法。巩固与提高：115页第18 题。(2)设设 APQ的面积为的面积为
12、y()，求，求y与与t之间的函数关系。之间的函数关系。2cmCBAMPDQ动点与函数2.在在RtABC中，中，C=90，AC=6cm，BC=8cm，点点P由点由点A出发，沿出发，沿AC向向C运动，速度为运动，速度为2cm/s，同时同时 点点Q由由AB中点中点D出发，沿出发，沿DA向向A运动，速度为运动，速度为1cm/s，连接连接PQ，若设运动时间为，若设运动时间为t(s)(0t 3)NPDQCBAM思考：1、你能用含有t的代数式表达出线段AQ和AP吗？2、你能用含有t的代数式表达出求出三角形AQP的高吗？ttytty4545442212AQN ABC1058tQNtQN544 ABAQBCQN
13、相似法相似法2.(2)CBANPDQM动点与函数NtQN544 90CABCRt中，在108AQQN1085tQN108SinA三角函数法三角函数法2.(2)ttytty4545442212CBANPDQM动点与函数2.(3)是否存在某一时刻是否存在某一时刻t(0t 3)，使，使 APQ的面积最大？的面积最大？若存在，求出相应的若存在，求出相应的t的值；并求出其最大值。若不存在说的值；并求出其最大值。若不存在说明理由。明理由。APQ的面积最大，其最大值为的面积最大，其最大值为5cmCBANPDQMtty4542）（有最大值为时当2cm5y25a2b-t时，当25t 动点与最值3、如图在边长为、
14、如图在边长为2cm的正方形的正方形ABCD中，点中，点Q为为BC边边的中点，点的中点，点P为对角线为对角线AC上一动点，连接上一动点，连接PB、PQ,则则 周长的最小值是周长的最小值是-cm(结果不取近似值）结果不取近似值）A D PB Q C动点与最值15 因动点产生的最值问题一般归为两因动点产生的最值问题一般归为两类基本模型：类基本模型：1 1函数模型函数模型 2 2几何模型几何模型小结小结：CBAPDQMCBAPDQPEBCEDBAPEBCEDBA2、平行、平行4、最值问题（二次函数、最值问题（二次函数、两点之间线段最短）两点之间线段最短）3、求面积、求面积5、平行四边形平行四边形 等腰
15、梯形DCBA1、比例、比例 A 6、直角三角形、直角三角形化动为静化动为静 分类讨论分类讨论 数形结合数形结合构建函数模型、方程模型构建函数模型、方程模型思思路路(2)设设 APQ的面积为的面积为y()，求，求y与与t之间的函数关系。之间的函数关系。2cmMN2.在在RtABC中，中，C=90，AC=6cm，BC=8cm，点点P由点由点A出发，沿出发，沿AC向向C运动，速度为运动，速度为2cm/s，同时同时 点点Q由由AB中点中点D出发，沿出发，沿DB向向B运动，速度为运动，速度为1cm/s，连接连接PQ，若设运动时间为，若设运动时间为t(s)(0t 3)CBAPDQCBAPDQNCBAPDQ
16、ttytty4545442212AQN ABC1058tQNtQN544 ABAQBCQN相似法相似法2.(2)NCBAPDQtQN544 90CABCRt中，在108AQQN1085tQN108SinA三角函数法三角函数法2.(2)ttytty45454422122.(3)是否存在某一时刻是否存在某一时刻t，使，使 APQ的面积与的面积与 ABC的面积的面积比为比为715？若存在，求出相应的？若存在，求出相应的t的值；不存在说明理由。的值；不存在说明理由。当当t=2时，时，APQ的面积与的面积与 ABC的面积比为的面积比为715246821 ABCS157 ABCSy241574542tt0
17、1452tt0)2)(7(tt2,(7tt舍去）CBAPDQ计算要仔细计算要仔细2.（4）连接）连接DP,得到得到QDP，那么是否存在某一时刻，那么是否存在某一时刻t，使得点，使得点D在线段在线段QP的中垂线上？若存在，求出相应的的中垂线上？若存在，求出相应的t的值；若不存在，的值；若不存在，说明理由。说明理由。P Q D C B AG点点D在线段在线段PQ的中垂线上的中垂线上 DQ=DP22DPDQ222)32(4tt0251232tt方程无解。方程无解。即点即点D都不可能在线段都不可能在线段QP的中垂线上。的中垂线上。=1560动点问题动点问题 最值问题最值问题特殊图形（位置）特殊图形（位置）函数解析式（图象）函数解析式（图象）化动为静化动为静 分类讨论分类讨论 数形结合数形结合构建函数模型、方程模型构建函数模型、方程模型思思路路中中 考考备备 战战2021 欢迎交流欢迎交流中中 考考备备 战战2021 谢谢 谢谢预祝你们今年预祝你们今年“好收成好收成”！中中 考考备备 战战2021
