1、大一轮复习讲义第2课时定点与定值问题高考专题突破五高考中的圆锥曲线问题定点问题题型一答题模板(1)求椭圆C的方程；规范解答解由题意，得b21，c1，所以a2b2c22.(2)设O为原点，直线l：ykxt(t1)与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N.若|OM|ON|2，求证：直线l经过定点.证明设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，解得t0，所以直线l经过定点(0,0).12分解圆锥曲线综合问题的一般步骤第一步：确定曲线方程(一般根据待定系数法或定义法).第二步：设直线方程并与曲线方程联立，得关于x或y的一元二次方程.第三步：写出根与系数的关系(或求出交点
2、出标).第四步：将第三步得出的关系代入题目条件，解决范围、最值或定点、定值等问题.第五步：反思回顾，考虑方程有解条件和图形完备性.答题模板(1)证明：直线AB过定点；整理得2tx12y110.设B(x2，y2)，同理可得2tx22y210.所以直线AB的方程为2tx2y10.4t240恒成立，于是x1x22t，y1y2t(x1x2)12t21.所以t(t22)t0.解得t0或t1.定值问题题型二师生共研例2(2020河南八市重点高中联考)已知O为坐标原点，过点M(1,0)的直线l与抛物线C：y22px(p0)交于A，B两点，且 .(1)求抛物线C的方程；解设直线l：xmy1，设A(x1，y1)
3、，B(x2，y2)，则y1y22pm，y1y22p，(my11)(my21)y1y2(1m2)y1y2m(y1y2)1(1m2)(2p)2pm212p13.解得p2.所以抛物线C的方程为y24x.(2)过点M作直线ll交抛物线C于P，Q两点，记OAB，OPQ的面积分别为S1，S2，证明：为定值.证明由(1)知M(1,0)是抛物线C的焦点，所以|AB|x1x2pmy1my22p4m24.因为直线l过点(1,0)且ll，圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值.依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值.(2)求点到直线的距离为定值.利用点到直线的距
4、离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得.(3)求某线段长度为定值.利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得.思维升华SI WEI SHENG HUA(1)求椭圆C的方程；由余弦定理，得|F1F2|2|MF1|2|MF2|22|MF1|MF2|cos 60(|MF1|MF2|)22|MF1|MF2|(1cos 60)，由|F1F2|4得c2，从而b2，(2)设N(0,2)，过点P(1，2)作直线l，交椭圆C于异于N的A，B两点，直线NA，NB的斜率分别为k1，k2，证明：k1k2为定值.证明当直线l的斜率存在时，设斜率为k，显然k0，则其方程为y2k(x1)
5、，得(12k2)x24k(k2)x2k28k0.56k232k0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，综上，k1k2为定值.基础保分练12345课时精练(1)求椭圆C的标准方程；12345解得a2.(2)过点B(4,0)作一条斜率不为0的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，记点P关于x轴对称的点为P.证明：直线PQ经过x轴上一定点D，并求出定点D的坐标.12345证明由题意，设直线l的方程为xmy4(m0).设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则P(x1，y1).16(m212)0，m212.1234512345D(1,0).直线PQ经过x轴上定点D，其坐标为(1,0).2.(2020西安模拟
6、)设F1，F2为椭圆C：(b0)的左、右焦点，M为椭圆上一点，满足MF1MF2，已知MF1F2的面积为1.(1)求椭圆C的方程；12345解由椭圆定义得|MF1|MF2|4，由MF1MF2得|MF1|2|MF2|2|F1F2|24(4b2)，1 2MF FS由，可得b21，(2)设C的上顶点为H，过点(2，1)的直线与椭圆交于R，S两点(异于H)，求证：直线HR和HS的斜率之和为定值，并求出这个定值.1234512345解依题意，H(0,1)，显然直线RS的斜率存在且不为0，设直线RS的方程为ykxm(k0)，代入椭圆方程并化简得(4k21)x28kmx4m240.由题意知，16(4k2m21
7、)0，设R(x1，y1)，S(x2，y2)，x1x20，12345直线RS过点(2，1)，2km1，kHRkHS1.故kHRkHS为定值1.123453.(2020太原模拟)已知动圆E经过定点D(1,0)，且与直线x1相切，设动圆圆心E的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；解由已知，动点E到定点D(1,0)的距离等于E到直线x1的距离，由抛物线的定义知E点的轨迹是以D(1,0)为焦点，以x1为准线的抛物线，故曲线C的方程为y24x.12345(2)设过点P(1,2)的直线l1，l2分别与曲线C交于A，B两点，直线l1，l2的斜率存在，且倾斜角互补，证明：直线AB的斜率为定值.12345证明由题
8、意直线l1，l2的斜率存在，倾斜角互补，得l1，l2的斜率互为相反数，且不等于零.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l1的方程为yk(x1)2，k0.直线l2的方程为yk(x1)2，得k2x2(2k24k4)x(k2)20，16(k1)20，已知此方程一个根为1，12345直线AB的斜率为定值1.12345技能提升练4.(2019江淮十校联考)已知P是圆F1：(x1)2y216上任意一点，F2(1,0)，线段PF2的垂直平分线与半径PF1交于点Q，当点P在圆F1上运动时，记点Q的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；解由线段PF2的垂直平分线与半径PF1交于点Q，得|QF1|QF2|QF
9、1|QP|PF1|4|F1F2|2，所以点Q的轨迹为以F1，F2为焦点，长轴长为4的椭圆，故2a4，a2,2c2，c1，b2a2c23.12345(2)记曲线C与x轴交于A，B两点，M是直线x1上任意一点，直线MA，MB与曲线C的另一个交点分别为D，E，求证：直线DE过定点H(4,0).12345直线MB的方程为ym(x2)，12345因为k1k2，所以直线DE经过定点H(4,0).12345(1)求椭圆C的标准方程；拓展冲刺练所以a2，b2a2c22.12345(2)证明：直线AD恒过定点，并求出定点坐标.解方法一当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为ykx1(k0).12345设A(x1，
10、y1)，B(x2，y2)，D(x2，y2)，12345则直线AD的方程为yx2.当直线l的斜率不存在时，直线AD的方程为x0.如果存在定点Q满足条件，则Q(0,2)，12345所以kQAkQD，即A，D，Q三点共线，故直线AD恒过定点，定点坐标为(0,2).方法二当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为ykx1(k0).设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x2，y2).12345当x0时，y2.所以直线AD恒过定点(0,2).当直线l的斜率不存在时，直线AD的方程为x0，过定点(0,2).综上，直线AD恒过定点，定点为(0,2).大一轮复习讲义第2课时定点与定值问题高考专题突破五高考中的圆锥曲线问题
