1、第二十七讲 圆 的 认 识1.1.了解:圆的定义及其有关概念,圆心角和圆周角的概念了解:圆的定义及其有关概念,圆心角和圆周角的概念.2.2.理解:圆的轴对称性和中心对称性理解:圆的轴对称性和中心对称性.3.3.掌握:垂径定理及其推论,圆周角定理及其推论掌握:垂径定理及其推论,圆周角定理及其推论.4.4.会:运用垂径定理及其推论和圆心角所对的弦、弧之间的关会:运用垂径定理及其推论和圆心角所对的弦、弧之间的关系定理及其推论解决有关证明、计算和作图问题系定理及其推论解决有关证明、计算和作图问题.5.5.能:用垂径定理及圆周角的性质解决与圆有关的分类问题能:用垂径定理及圆周角的性质解决与圆有关的分类问
2、题.一、圆的有关概念一、圆的有关概念1.1.圆的基本概念:圆的基本概念:(1)(1)平面内到一定点的距离等于定长的平面内到一定点的距离等于定长的_组成的图形叫做组成的图形叫做圆,这个定点叫做圆,这个定点叫做_,定长叫做,定长叫做_._.(2)(2)圆可以看成是平面内一个动点绕一个定点圆可以看成是平面内一个动点绕一个定点_所形成所形成的图形的图形.所有点所有点圆心圆心半径半径旋转一周旋转一周2.2.圆的弦和弧圆的弦和弧如图:线段如图:线段ABAB,BCBC,ACAC都是都是O O的的_,曲线,曲线BCBC,BACBAC都是都是O O中中的的_._.小于半圆周的圆弧叫小于半圆周的圆弧叫_,大于半圆
3、周的圆弧叫,大于半圆周的圆弧叫_._.弦弦弧弧劣弧劣弧优弧优弧3.3.圆心角与圆周角:圆心角与圆周角:(1)(1)顶点在顶点在_的角叫做圆心角的角叫做圆心角;(2)(2)顶点在顶点在_,并且两边都与圆,并且两边都与圆_的角叫做圆周角的角叫做圆周角.圆心圆心圆上圆上相交相交【即时应用即时应用】1.1.圆的最长的弦是圆的最长的弦是_._.2.2.已知圆上有三个点,以任意两个点为端点的弧共有已知圆上有三个点,以任意两个点为端点的弧共有_条条.3.3.如图如图_是圆心角,是圆心角,_为圆周角为圆周角.直径直径6 6BOCBOCBACBAC二、圆的有关性质二、圆的有关性质1.1.圆的对称性:圆既是轴对称
4、图形,又是中心对称图形圆的对称性:圆既是轴对称图形,又是中心对称图形.2.2.垂直于弦的直径的性质及其推论垂直于弦的直径的性质及其推论(1)(1)定理:垂直于弦的直径定理:垂直于弦的直径_ _,并且平分这条弦所对,并且平分这条弦所对的两条弧的两条弧;(2)(2)推论:平分弦推论:平分弦(不是直径不是直径)的直径的直径_于弦,并且平分弦所于弦,并且平分弦所对的对的_._.平分这条弦平分这条弦垂直垂直两条弧两条弧3.3.圆心角、弧、弦之间的关系圆心角、弧、弦之间的关系在同一个圆中,如果圆心角相等,那么它们所对的弧相等,所在同一个圆中,如果圆心角相等,那么它们所对的弧相等,所对的弦也相等对的弦也相等
5、.4.4.圆周角定理及其推论圆周角定理及其推论(1)(1)定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角_,都等于这条弧所对的圆心角的都等于这条弧所对的圆心角的_;(2)(2)推论:半圆推论:半圆(或直径或直径)所对的圆周角是所对的圆周角是_,9090的圆周角的圆周角所对的弦是直径所对的弦是直径.5.5.三角形的外心三角形的外心外心的性质:三角形的外心到三角形三个顶点的距离外心的性质:三角形的外心到三角形三个顶点的距离_._.相等相等一半一半直角直角相等相等【即时应用即时应用】1.1.如图,半径为如图,半径为1010的的O O中,弦中,弦ABAB的长为
6、的长为1616,则圆心到这条弦,则圆心到这条弦的距离为的距离为_._.2.2.如图,如图,ABAB为为O O的直径,点的直径,点C C在在O O上,若上,若ACO=16ACO=16,则则BOC=_.BOC=_.6 632323.3.如图,如图,O O是是ABCABC的外接圆,的外接圆,OCBOCB4040,则则BACBAC的度数的度数等于等于_._.4.4.ABCABC的三边长分别为的三边长分别为5 5,1212,1313,则其外接圆的半径为,则其外接圆的半径为_._.5.5.等边三角形的边长为等边三角形的边长为6 6,则其外接圆的半径为,则其外接圆的半径为_._.50506.56.52 3【
7、核心点拨核心点拨】1.1.一条直线若满足:垂直于弦;平分弦;过圆心;平一条直线若满足:垂直于弦;平分弦;过圆心;平分弦所对的劣弧;平分弦所对的优弧中任意两个条件,则可分弦所对的劣弧;平分弦所对的优弧中任意两个条件,则可得到另外三个条件得到另外三个条件.2.2.离开同圆或等圆,不存在等弧离开同圆或等圆,不存在等弧.3.3.圆中常用的辅助线圆中常用的辅助线作半径,利用同圆或等圆的半径相等可得等腰三角形;作作半径,利用同圆或等圆的半径相等可得等腰三角形;作半径和圆心到弦的垂线段,与弦的一半构成直角三角形;半径和圆心到弦的垂线段,与弦的一半构成直角三角形;作弦、直径等构造直径所对的圆周角作弦、直径等构
8、造直径所对的圆周角.圆心角与圆周角圆心角与圆周角中考指数中考指数:知知识识点点睛睛1.1.圆周角与圆心角是密切联系的一个整体,实现了圆中角的圆周角与圆心角是密切联系的一个整体,实现了圆中角的转化,知其一,可求其二转化,知其一,可求其二.2.2.圆周圆周(或心或心)角与它所对弧常互相转化,即欲求证圆周角与它所对弧常互相转化,即欲求证圆周(或或心心)角相等,可转化证角相等,可转化证“圆周圆周(或心或心)角所对的弧相等角所对的弧相等”.弧相弧相等的条件可转化为它们所对的圆周等的条件可转化为它们所对的圆周(或心或心)角相等的结论角相等的结论.特特别别提提醒醒1.1.考查圆周角和圆心角的这类题侧重对基础
9、知识的考查,利考查圆周角和圆心角的这类题侧重对基础知识的考查,利用有关概念和定理在理解时,要注意其成立的条件,结合图用有关概念和定理在理解时,要注意其成立的条件,结合图形进行分析形进行分析.2.2.有直径时,常常添加辅助线构造直径上的圆周角,由此转有直径时,常常添加辅助线构造直径上的圆周角,由此转化为解直角三角形的问题化为解直角三角形的问题.【例例1 1】(2012(2012湘潭中考湘潭中考)如图,在如图,在O O中,弦中,弦ABCD,ABCD,若若ABC=40ABC=40,则,则BOD=()BOD=()(A)20(A)20 (B)40 (B)40(C)50(C)50 (D)80(D)80 【
10、教你解题教你解题】【对点训练对点训练】1.(20121.(2012黔东南中考黔东南中考)如图,若如图,若ABAB是是O O的直径,的直径,CDCD是是O O的的弦,弦,ABD=55ABD=55,则则BCDBCD的度数为的度数为()()(A)35(A)35 (B)45 (B)45 (C)55 (C)55 (D)75 (D)75【解析解析】选选A.A.连结连结ADAD,ABAB是是O O的直径,的直径,ADB=90ADB=90,A=90,A=90-55-55=35=35,根据同弧所对的圆周角相等可得根据同弧所对的圆周角相等可得BCD=A=35BCD=A=35.2.(20122.(2012六盘水中考
11、六盘水中考)如图,已知如图,已知OCB=20OCB=20,则则A=_A=_度度.【解析解析】OB=OC,OBC=OCB=20OB=OC,OBC=OCB=20,O=180O=180-OBC-OCB=140-OBC-OCB=140,A=O=70A=O=70.答案:答案:7070123.(20113.(2011兰州中考兰州中考)如图,如图,OBOB是是O O的半径,点的半径,点C C,D D在在O O上,上,DCB=27DCB=27,则,则OBD=_OBD=_度度【解析解析】DOB=2DCB=54DOB=2DCB=54,因为,因为OB=OD,OB=OD,所以所以OBDOBD是等腰三是等腰三角形,得角
12、形,得OBD=(180OBD=(1805454)2=632=63答案:答案:6363 垂直于弦的直径的应用垂直于弦的直径的应用 中考指数中考指数:知知识识点点睛睛1.1.垂直于弦的直径及其推论是证线段相等、角相等、垂直关垂直于弦的直径及其推论是证线段相等、角相等、垂直关系的重要依据,应用时要注意:垂直于弦的直径的推论系的重要依据,应用时要注意:垂直于弦的直径的推论“平平分弦分弦(不是直径不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧”一定要强调一定要强调“弦不是直径弦不是直径”.2.2.利用垂直于弦的直径解决问题时,常常把问题转化为半径,利用垂直于弦的直
13、径解决问题时,常常把问题转化为半径,弦长的一半,圆心到弦的垂线段三者组成的直角三角形中的弦长的一半,圆心到弦的垂线段三者组成的直角三角形中的问题问题.特特别别提提醒醒定理中的定理中的“直径直径”是指经过圆心的弦,但在实际应用时可以是指经过圆心的弦,但在实际应用时可以不是直径,如半径、过圆心的直线不是直径,如半径、过圆心的直线.【例例2 2】(2011(2011江西中考江西中考)如图,已知如图,已知O O的半径为的半径为2 2,弦,弦BCBC的的长为长为2 2 ,点,点A A为弦为弦BCBC所对优弧上任意一点所对优弧上任意一点(B(B,C C两点除外两点除外).).(1)(1)求求BACBAC的
14、度数;的度数;(2)(2)求求ABCABC面积的最大值面积的最大值.(参考数据:参考数据:sin 60sin 60=,cos 30=,cos 30=,tan 30=,tan 30=).=).3323233【教你解题教你解题】(1)(1)(2)(2)【对点训练对点训练】4.(20124.(2012湛江中考湛江中考)如图,在半径为如图,在半径为1313的的O O中,中,OCOC垂直弦垂直弦ABAB于于点点D D,交,交O O于点于点C C,AB=24AB=24,则,则CDCD的长是的长是_._.【解析解析】连结连结OAOA,OCAB,AB=24,OCAB,AB=24,AD=AB=12.AD=AB=
15、12.在在RtRtAODAOD中,中,OA=13,AD=12,OA=13,AD=12,CD=OC-OD=13-5=8.CD=OC-OD=13-5=8.答案:答案:8 8122222ODOAAD13125,5.(20125.(2012娄底中考娄底中考)如图,如图,O O的直径的直径CDCD垂直于垂直于ABAB,AOC=48AOC=48,则,则BDC=_BDC=_度度.【解析解析】连结连结BO.BO.直径直径CDCD垂直于垂直于ABAB,则则BDC=BOC=AOC=24BDC=BOC=AOC=24.答案:答案:2424ACBC.12126.(20126.(2012衢州中考衢州中考)工程上常用钢珠来
16、测量零件上小圆孔的宽工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口,假设钢珠的直径是口,假设钢珠的直径是10 mm10 mm,测得钢珠顶端离零件表面的距,测得钢珠顶端离零件表面的距离为离为8 mm8 mm,如图所示,则这个小圆孔的宽口,如图所示,则这个小圆孔的宽口ABAB的长度为的长度为_mm._mm.【解析解析】设圆心为设圆心为O O,过点,过点O O作作ODABODAB于点于点D D,连结,连结OA,OA,根据根据题意知,题意知,OA=5 mmOA=5 mm,OD=8OD=85=3(mm)5=3(mm),根据勾股定理,得:,根据勾股定理,得:(mm)(mm),则,则AB=2AD=8 mm.AB=2
17、AD=8 mm.答案:答案:8 822ADOAOD47.(20127.(2012南通中考南通中考)如图,如图,O O的半径为的半径为17 cm17 cm,弦,弦ABCDABCD,ABAB30 cm30 cm,CDCD16 cm16 cm,圆心,圆心O O位于位于ABAB,CDCD的上方,求的上方,求ABAB和和CDCD间间的距离的距离 【解析解析】分别作弦分别作弦ABAB,CDCD的弦心距,设垂足分别为的弦心距,设垂足分别为E E,F F,连结,连结OAOA,OC.AB=30 cmOC.AB=30 cm,CD=16 cmCD=16 cm,AE=AB=AE=AB=30=15(cm)30=15(c
18、m),1212CF=CD=CF=CD=16=8(cm).16=8(cm).在在RtRtAOEAOE中,中,OE=OE=在在RtRtOCFOCF中,中,OF=OF=EF=OF-OE=15-8=7(cm)EF=OF-OE=15-8=7(cm)ABAB和和CDCD间的距离为间的距离为7 cm.7 cm.12122222OAAE17158 cm,2222OCCF17815 cm,三角形的外接圆三角形的外接圆中考指数中考指数:知知识识点点睛睛 三角形的外心的位置:三角形的外心的位置:锐角三角形的外心在三角形内部,直角三角形的外心是锐角三角形的外心在三角形内部,直角三角形的外心是的中点,钝角三角形的外心在
19、三角形外部的中点,钝角三角形的外心在三角形外部.特特别别提提醒醒 1.1.三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点;三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点;2.2.根据三角形的外心的位置可以确定三角形的形状根据三角形的外心的位置可以确定三角形的形状.【例例3 3】(2012(2012长沙中考长沙中考)如图,如图,A,P,B,CA,P,B,C是半径为是半径为8 8的的O O上的上的四点,四点,且满足且满足BAC=APC=60BAC=APC=60,(1)(1)求证:求证:ABCABC是等边三角形是等边三角形.(2).(2)求圆心求圆心O O到到BCBC的距离的距离OD.OD.【思路点拨思路点拨】(1
20、)ABC=APC(1)ABC=APCABC=BAC=60ABC=BAC=60 结论结论(2)(2)连结连结OBOB解解RtRtOBDODOBDOD的长的长【自主解答自主解答】(1)ABC=APC(1)ABC=APC,又又BAC=APC=60BAC=APC=60,ABC=BAC=60ABC=BAC=60,ACB=60ACB=60,ABC=BAC=ACB=60ABC=BAC=ACB=60,ABCABC是等边三角形是等边三角形.(2)(2)连结连结OBOB,则易得,则易得OBD=30OBD=30,又又ODB=90ODB=90,OD=OB=4.,OD=OB=4.12【对点训练对点训练】8.(20128
21、.(2012湖州中考湖州中考)如图,如图,ABCABC是是O O的内接的内接三角形,三角形,ACAC是是O O的直径,的直径,C=50C=50,ABC,ABC的的平分线平分线BDBD交交O O于点于点D D,则,则BADBAD的度数是的度数是()()(A)45(A)45 (B)85 (B)85 (C)90 (C)90 (D)95 (D)95【解析解析】选选B.B.根据直径所对的圆周角为根据直径所对的圆周角为9090,C=50C=50,可得可得BACBAC的度数为的度数为4040,再利用圆周角定理,再利用圆周角定理,CBD=CAD=CBD=CAD=45 =45,BAD=CAD+BAC=85,BA
22、D=CAD+BAC=85.9029.(20129.(2012万宁中考万宁中考)如图所示,已知如图所示,已知O O是是ABCABC的外接圆,的外接圆,ADAD是是O O的直径,连结的直径,连结CDCD,若若AD=3AD=3,AC=2AC=2,则,则cos Bcos B的值为的值为()()(A)(B)(C)(D)(A)(B)(C)(D)【解析解析】选选B.BB.B和和D D所对的弧是所对的弧是 ,根据同弧所对的圆周,根据同弧所对的圆周角相等,角相等,B=D.B=D.又又ADAD是直径,是直径,ACD=90ACD=90,根据勾股定理,得,根据勾股定理,得 cos B=cos D=cos B=cos
23、D=32535223AC22CDADAC5,CD5.AD310.(201110.(2011烟台中考烟台中考)如图,如图,ABCABC的外心坐标是的外心坐标是_._.【解析解析】三角形的外心为三边垂直平分线的交点,观察图形,三角形的外心为三边垂直平分线的交点,观察图形,画出画出ABAB、BCBC的垂直平分线,即可得解的垂直平分线,即可得解.答案:答案:(2 2,1)1)【归纳整合归纳整合】找圆心的两种方法找圆心的两种方法(1)(1)利用利用9090的圆周角所对的弦是直径,找到两条直径,它们的圆周角所对的弦是直径,找到两条直径,它们的交点即为圆心;的交点即为圆心;(2)(2)作出两条弦的垂直平分线
24、,两条垂直平分线的交点即为圆心作出两条弦的垂直平分线,两条垂直平分线的交点即为圆心.【创新命题创新命题】圆中的分类讨论圆中的分类讨论【例例】(2011(2011凉山州中考凉山州中考)如图,如图,AOB=100AOB=100,点,点C C在在O O上,且点上,且点C C不与不与A,BA,B重合,则重合,则ACBACB的度数为的度数为()()(A)50(A)50 (B)80 (B)80或或5050(C)130(C)130 (D)50 (D)50或或130130【解题导引解题导引】利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半,求得圆利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半,求得圆周角的度数即可,注意点周角的度数即可
25、,注意点C C可能在优弧上也可能在劣弧上,分可能在优弧上也可能在劣弧上,分两种情况讨论两种情况讨论.【规范解答规范解答】选选D.D.当点当点C C在优弧上时,在优弧上时,ACBACB AOBAOB 1001005050.当点当点C C在劣弧上时,在劣弧上时,ACBACB (360(360AOB)AOB)(360(360100100)130130.12121212【名师点评名师点评】通过对圆中分类讨论的试题的分析和总结,我们通过对圆中分类讨论的试题的分析和总结,我们可以得到以下该类型题目的创新点拨和解题启示:可以得到以下该类型题目的创新点拨和解题启示:(2011(2011牡丹江中考牡丹江中考)已知已知O O的直径的直径AB=40AB=40,弦,弦CDABCDAB于点于点E E,且且CD=32CD=32,则,则AEAE的长为的长为()()(A)12 (B)8 (C)12(A)12 (B)8 (C)12或或28 (D)828 (D)8或或3232【解析解析】选选D.D.如图如图,连结连结OC.OC.弦弦CDABCDAB于点于点E E,CE=CD=16.CE=CD=16.12在直角在直角OCEOCE中,中,则则AE=20+12=32AE=20+12=32,或,或AE=20-12=8AE=20-12=8,故故AEAE的长是的长是8 8或或32.32.2222OEOCCE201612,