1、 动点问题研究的是在几何图形的运动中，一些图形位置、数量关系的“变”与“不变”的问题.常用的数学思想是方程思想、数学建模思想、函数思想、转化思想等；常用的数学方法有分类讨论法、数形结合法等.解答动点问题的时学会“动中找静”，即把动点问题变为静态问题来解决，寻找动点问题中的特殊情况.动点问题（动点问题（5 5年年4 4考）考）1.（2018广东）已知RtOAB，OAB=90，ABO=30，斜边OB=4，将RtOAB绕点O顺时针旋转60得到ODC，如图2-35-1，连接BC.（1）填空：OBC=_；（2）如图2-35-1，连接AC，过点P作OPAC，垂足为点P，求OP的长度；6060（3）如图2-
2、35-1，点M，N同时从点O出发，在OCB的边上运动，点M沿OCB路径匀速运动，点N沿OBC路径匀速运动，当两点相遇时停止运动.已知点M的运动速度为1.5单位长度/s，点N的运动速度为1单位长度/s.设运动时间为x s，OMN的面积为y，则当x为何值时,y取得最大值？最大值为多少？解：（解：（2 2）在）在RtRtOABOAB中，中，OB=4OB=4，ABO=30ABO=30，OA=OB=2OA=OB=2，AB=OA=2 .AB=OA=2 .SSAOCAOC=OAAB=OAAB=2 22 =2 .2 =2 .OBC=60OBC=60，ABC=ABO+OBC=90ABC=ABO+OBC=90.A
3、C=AC=OP=OP=（3 3）当）当0 0 x x 时，点时，点M M在在OCOC上运动，点上运动，点N N在在OBOB上运动，此时上运动，此时过点过点N N作作NEOC,NEOC,交交OCOC于点于点E,E,如答图如答图2-35-1.2-35-1.则则NE=ONsin 60NE=ONsin 60=x.=x.y=OMNE=y=OMNE=1.5x1.5x x=x x=x2 2.当当x=x=时，时，y y取得最大值，最大值为取得最大值，最大值为当当 x4x4时，点时，点M M在在BCBC上运动，点上运动，点N N在在OBOB上运动，此时过点上运动，此时过点M M作作MHOBMHOB于点于点H,H
4、,如答图如答图2-35-2.2-35-2.则则BM=8-1.5xBM=8-1.5x，MH=BMsin 60MH=BMsin 60=（8-1.5x8-1.5x）.y=ONMH=x (8-1.5x)=y=ONMH=x (8-1.5x)=x x2 2+2 x=+2 x=当当x=x=时，时，y y取得最大值，此时取得最大值，此时y y当当4 4x4.8x4.8时，点时，点M M，N N都在都在BCBC上运动，过点上运动，过点O O作作OGBCOGBC于点于点G,G,如答图如答图2-35-3.2-35-3.则则MN=12-2.5xMN=12-2.5x，OG=AB=2OG=AB=2y=MNOG=(12-2
5、.5x)y=MNOG=(12-2.5x)23=23=1212当当x=4x=4时，时，y y取得最大值，最大值为取得最大值，最大值为2 2 综上所述，当综上所述，当x=x=时，时，y y取得最大值，最大值为取得最大值，最大值为2.（2020崂山一模）如图2-35-2，在RtABC中，C=90，BC=8 cm，AC=6 cm点P从点B出发沿BA向点A运动，速度为1 cm/s，点E是点B以P为对称中心的对称点，点P运动的同时，点Q从A出发沿AC向C运动，速度为2 cm/s，当点Q到达顶点C时，点P，Q同时停止运动.设P，Q两点运动时间为t s（1）当t为何值时，PQBC？（2）设四边形PQCB的面积
6、为y，求y关于t的函数关系式；（3）四边形PQCB的面积能否是ABC面积的？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由；（4）当t为何值时，AEQ为等腰三角形？（直接写出结果）解：（解：（1 1）在）在RtRtABCABC中，中，C=90C=90，BC=8 cmBC=8 cm，AC=6 cmAC=6 cm，AB=10 cmAB=10 cmBP=tBP=t，AQ=2tAQ=2t，AP=ABAP=ABBP=10-tBP=10-tPQBCPQBC，解得解得t=t=（2 2）SS四边形四边形PQCBPQCB=S=SACBACBS SAPQAPQ=ACBC=ACBC APAQsinA APAQsinAy=
7、y=6 68-8-（10-t10-t）2t t2t t2 2-8t+24.-8t+24.yy关于关于t t的函数关系式为的函数关系式为y=ty=t2 2-8t+24-8t+24（0t30t3）.（3 3）四边形）四边形PQCBPQCB的面积可以是的面积可以是ABCABC面积的面积的 理由如下：理由如下：由题意，得由题意，得 t t2 2-8t+24=-8t+24=24.24.整理，得整理，得t t2 2-10t+12=0.-10t+12=0.解得解得t t1 1=5-t=5-t2 2=5+=5+（不合题意（不合题意,舍去）舍去）故四边形故四边形PQCBPQCB的面积可以是的面积可以是ABCAB
8、C面积的面积的 ，此时，此时t t的值为的值为5-5-（4 4）AEQAEQ为等腰三角形时，分三种情况讨论：为等腰三角形时，分三种情况讨论：如果如果AE=AQAE=AQ，那么，那么10-2t=2t10-2t=2t，解得，解得t=t=如果如果EA=EQEA=EQ，那么（，那么（10-2t10-2t）=t =t，解得，解得t=t=如果如果QA=QEQA=QE，那么，那么2t2t =5-t =5-t，解得，解得t=t=故当故当t t为为 时，时，AEQAEQ为等腰三角形为等腰三角形.动线问题（动线问题（5 5年年1 1考）考）3.（2016广东）如图2-35-3，BD是正方形ABCD的对角线，BC=
9、2，边BC在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为PQ，连接PA，QD，并过点Q作QOBD，垂足为O，连接OA，OP（1）请直接写出线段BC在平移过程中，四边形APQD是什么四边形；（2）请判断OA，OP之间的数量关系和位置关系，并加以证明；（3）在平移变换过程中，设y=SOPB，BP=x（0 x2），求y与x之间的函数关系式，并求出y的最大值解：（解：（1 1）四边形）四边形APQDAPQD为平行四边形为平行四边形.（2 2）OA=OPOA=OP，OAOPOAOP，证明如下：，证明如下：四边形四边形ABCDABCD是正方形，是正方形，AB=BC=PQAB=BC=PQ，ABO=OBQ=4
10、5ABO=OBQ=45.OQBDOQBD，PQO=45PQO=45.ABO=OBQ=PQO=45ABO=OBQ=PQO=45.OB=OQ.OB=OQ.在在AOBAOB和和POQPOQ中，中，AOBAOBPOQPOQ（SASSAS）.OA=OPOA=OP，AOB=POQ.AOB=POQ.AOP=AOB+BOP=POQ+BOP=BOQ=90AOP=AOB+BOP=POQ+BOP=BOQ=90.OAOP.OAOP.AB=PQ,AB=PQ,ABO=PQO,ABO=PQO,BO=QO,BO=QO,（3 3）过点）过点O O作作OEBCOEBC于点于点E E答图答图2-35-42-35-4如答图如答图2-
11、35-42-35-4，当点，当点P P在点在点B B右侧时，则右侧时，则BQ=x+2BQ=x+2，OE=OE=y=xy=x，即，即y=y=（x+1x+1）2-.2-.又又0 x20 x2，当当x=2x=2时，时，y y有最大值为有最大值为2 2；如答图如答图2-35-52-35-5，当点，当点P P在点在点B B左侧时，则左侧时，则BQ=2-xBQ=2-x，OE=OE=y=xy=x，即，即y=-y=-（x-1x-1）2 2+又又0 x20 x2，当当x=1x=1时，时，y y有最大值为有最大值为 .综上所述，当综上所述，当x=2x=2时，时，y y有最大值为有最大值为2.2.4.（2014东莞
12、）如图2-35-4，在ABC中，AB=AC，ADBC于点D，BC=10 cm，AD=8 cm点P从点B出发，在线段BC上以每秒3 cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m从底边BC出发，以每秒2 cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB，AC，AD于E，F，H，当点P到达点C时，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t s（t0）（1）当t=2时，连接DE,DF，求证：四边形AEDF为菱形；（2）在整个运动过程中，所形成的PEF的面积存在最大值，当PEF的面积最大时，求线段BP的长；（3）是否存在某一时刻t，使PEF为直角三角形？若存在，请求出此时刻t的值；若不存在，请说明理由（
13、1 1）证明：如答图）证明：如答图2-35-62-35-6，当，当t=2t=2时，时，DH=AH=4DH=AH=4，则，则H H为为ADAD的中点的中点.又又EFADEFAD，EFEF是是ADAD的垂直平分线的垂直平分线.AE=DEAE=DE，AF=DFAF=DFADEFADEF，ADBCADBC，EFBC.EFBC.AEF=BAEF=B，AFE=C.AFE=C.又又B=CB=C，AEF=AFEAEF=AFE，AE=AF.AE=AF.AE=AF=DE=DFAE=AF=DE=DF，即四边形，即四边形AEDFAEDF为菱形答图为菱形答图2-35-62-35-6（2 2）解：如答图）解：如答图2-3
14、5-7.2-35-7.由（由（1 1）知）知EFBCEFBC，AEFAEFABC.ABC.解得解得EF=10-EF=10-则则S SPEFPEF=EFDH=2t=-t=EFDH=2t=-t2 2+10t=+10t=-（t-2t-2）2 2+100+100t t当当t=2t=2时，时，S SPEFPEF存在最大值，最大值为存在最大值，最大值为10 cm10 cm2 2，此时此时BP=3t=6 cmBP=3t=6 cm（3 3）解：存在理由如下：）解：存在理由如下：若点若点E E为直角顶点，如答图为直角顶点，如答图2-35-82-35-8.此时此时PEADPEAD，PE=DH=2tPE=DH=2t
15、，BP=3tBP=3tPEADPEAD，此比例式不成立，故此种情形不存在；此比例式不成立，故此种情形不存在；若点若点F F为直角顶点，如答图为直角顶点，如答图2-35-82-35-8.此时此时PFADPFAD，PF=DH=2tPF=DH=2t，BP=3tBP=3t，CP=10-3tCP=10-3tPFADPFAD，解得解得t=t=若点若点P P为直角顶点，如答图为直角顶点，如答图2-35-82-35-8过点过点E E作作EMBCEMBC于点于点M M，过点，过点F F作作FNBCFNBC于点于点N N，则，则EM=FN=DH=2tEM=FN=DH=2t，EMFNADEMFNADEMADEMAD
16、，解得解得BM=t.PM=BPBM=t.PM=BPBM=3t-BM=3t-在在RtRtEMPEMP中，由勾股定理可得中，由勾股定理可得PEPE2 2=EM=EM2 2+PM+PM2 2=（2t2t）2 2+FNADFNAD，PN=BCPN=BCBPBPCN=10-3t-t=10-tCN=10-3t-t=10-t在在RtRtFNPFNP中，由勾股定理可得中，由勾股定理可得PFPF2 2=FN=FN2 2+PN+PN2 2=（2t2t）2 2+t+t2 2-85t+100-85t+100在在RtRtPEFPEF中，由勾股定理可得中，由勾股定理可得EFEF2 2=PE=PE2 2+PF+PF2 2，
17、化简，得化简，得 t t2 2-35t=0.-35t=0.解得解得t=t=或或t=0t=0（舍去）（舍去）.t=t=综上所述，当综上所述，当t=t=或或t=t=时，时，PEFPEF为直角三角形为直角三角形.5.（2020浙江绍兴）如图2-35-5，点O为矩形ABCD的对称中心，点E从点A出发沿AB向点B运动，运动到点B时停止.延长EO交CD于点F，则四边形AECF形状的变化依次为()A平行四边形正方形平行四边形矩形B平行四边形菱形平行四边形矩形C平行四边形正方形菱形矩形D平行四边形菱形正方形矩形B B6.（2018黑龙江）如图2-35-6，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边AB在x轴上，点B
18、的坐标为（-3，0），点C在y轴正半轴上，且sinCBO=点P从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向移动，移动时间为t s（0t5）,过点P作平行于y轴的直线l，直线l扫过四边形OCDA的面积为S.（1）求点D的坐标;（2）求S关于t的函数关系式;（3）在直线l移动过程中，l上是否存在一点Q，使得以点B，C，Q为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.解：（解：（1 1）在）在RtRtBOCBOC中，中，OB=3OB=3，sinCBO=45=sinCBO=45=设设CO=4kCO=4k，则，则BC=5k.BC=5k.BCBC2 2=CO=CO
19、2 2+OB+OB2 2，25k25k2 2=16k=16k2 2+9.+9.解得解得k=1k=1或或-1-1（舍去）（舍去）.BC=5BC=5，OC=4.OC=4.四边形四边形ABCDABCD是菱形，是菱形，CD=BC=5.CD=BC=5.DD（5 5，4 4）.（2 2）如答图）如答图2-35-92-35-9，当，当0t20t2时，时，直线直线l l扫过的图形是四边形扫过的图形是四边形OCQP.OCQP.S=4t.S=4t.如答图如答图2-35-102-35-10，当，当2 2t5t5时，时，直线直线l l扫过的图形是五边形扫过的图形是五边形OCQTA.OCQTA.S=SS=S梯形梯形OC
20、DAOCDA-S-SDQTDQT=（2+52+5）4-4-（5-t5-t）（5-t5-t）=（3 3）如答图）如答图2-35-11.2-35-11.当当QB=QCQB=QC，BQC=90BQC=90时，时，Q Q当当BC=CQBC=CQ，BCQ=90BCQ=90时，时，QQ（4 4，1 1）；）；当当BC=BQBC=BQ，CBQ=90CBQ=90时，时，QQ（1 1，-3-3）.综上所述，满足条件的点综上所述，满足条件的点Q Q的坐标为的坐标为 或（或（4 4，1 1）或）或（1 1，-3-3）.7.(2020青岛改编）如图2-35-7，在四边形ABCD和RtEBF中，ABCD，CDAB，点C
21、在EB上，ABC=EBF=90，AB=BE=8 cm，BC=BF=6 cm，延长DC交EF于点M点P从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为2 cm/s；同时，点Q从点M出发，沿MF方向匀速运动，速度为1 cm/s过点P作GHAB于点H，交CD于点G设运动时间为t（s）（0t5）解答下列问题：（1）当t为何值时，点M在线段CQ的垂直平分线上？（2）连接PQ，作QNAF于点N，当四边形PQNH为矩形时，求t的值；（3）连接QC，QH，设四边形QCGH的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式.解：（解：（1 1）ABCDABCD，CM=cm.CM=cm.点点M M在线段在线段CQCQ的垂直平分线上
22、，的垂直平分线上，MQ=CM,MQ=CM,即即1 1t=t=t=t=（2 2）如答图）如答图2-35-122-35-12，过点，过点Q Q作作QNAFQNAF于点于点N.N.ABC=EBF=90ABC=EBF=90，AB=BE=8 cmAB=BE=8 cm，BC=BF=6 cmBC=BF=6 cm，AC=10 AC=10（cmcm），），EF=10 EF=10（cmcm）.CE=2 cmCE=2 cm，CM=cmCM=cm，ECM=90ECM=90，EM=EM=sinPAH=sinCABsinPAH=sinCAB，PH=t.PH=t.同理可求同理可求QN=6-t.QN=6-t.四边形四边形PQNHPQNH是矩形，是矩形，PH=NQPH=NQ，即，即 t=6-t.t=3.t=6-t.t=3.当当t=3t=3时，四边形时，四边形PQNHPQNH为矩形为矩形.（3 3）如答图）如答图2-35-132-35-13，过点，过点Q Q作作QNAFQNAF于点于点N.N.由（由（2 2）可知）可知QN=6-tQN=6-t，cosPAH=cosCABcosPAH=cosCAB，AH=t.AH=t.S=SS=S梯形梯形GMFHGMFHS SCMQCMQS SHFQHFQ=
