1、第八章数学广角知识要点梳理1.推理常用的推理方法有：推理常用的推理方法有：直接推理判断、排除法、假设法、列表法、图解法。直接推理判断、排除法、假设法、列表法、图解法。2.植树问题植树问题(1)非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形路的两端都要植树，那么：路的两端都要植树，那么：株数段数株数段数1全长株距全长株距1全长株距全长株距(株数株数1)株距全长株距全长(株数株数1)路的一端植树，另一端不植树，那么：路的一端植树，另一端不植树，那么：株数段数全长株距株数段数全长株距全长株距株数全长株距株数株距全长株数株距全长株数如果在非封闭线路的两端都不要
2、植树，那么：如果在非封闭线路的两端都不要植树，那么：株数段数株数段数1全长株距全长株距1全长株距全长株距(株数株数1)株距全长株距全长(株数株数1)(2)封闭线路上的植树问题的数量关系封闭线路上的植树问题的数量关系株数段数全长株距株数段数全长株距全长株距株数全长株距株数株距全长株数株距全长株数3.鸡兔同笼问题鸡兔同笼问题(1)假设全是鸡，则有：假设全是鸡，则有：兔的只数兔的只数(总足数总头数总足数总头数2)2鸡的只数总头数兔的只数鸡的只数总头数兔的只数(2)假设全是兔，则有：假设全是兔，则有：鸡的只数鸡的只数(总头数总头数4总足数总足数)2兔的只数总头数鸡的只数兔的只数总头数鸡的只数4.优化优
3、化(1)烙饼问题一般的解决方法：烙饼问题一般的解决方法：公式：烙饼总时间每次烙的时间公式：烙饼总时间每次烙的时间(2烙饼总烙饼总数数)每次烙的饼数每次烙的饼数如每次可以同时烙如每次可以同时烙3张饼，每次要烙张饼，每次要烙5分钟，要烙分钟，要烙9张饼张饼的时间是的时间是5(29)330(分钟分钟)特殊的解决方法：特殊的解决方法：如果用公式除不尽的话，就要先算出烙的次数，再乘如果用公式除不尽的话，就要先算出烙的次数，再乘每次烙的时间。每次烙的时间。如每次可以同时烙如每次可以同时烙3张饼，每次要烙张饼，每次要烙5分钟，要烙分钟，要烙7张饼张饼的话，要先算出烙的次数的话，要先算出烙的次数(27)34次
4、次2面，面，即即415次，共次，共25分钟。分钟。问题本质：烙饼问题其实是统筹方法的一个分支，其问题本质：烙饼问题其实是统筹方法的一个分支，其实质是利用好烙锅的容量空间，使每次烙的效率最高。实质是利用好烙锅的容量空间，使每次烙的效率最高。(2)统筹安排时间问题原则有两个：统筹安排时间问题原则有两个：其一，其一，“分清先后分清先后”找出事物发生的必然先后顺找出事物发生的必然先后顺序；序；其二，其二，“同时进行同时进行”在做不需要人照看的事的同在做不需要人照看的事的同时做其他事，这样就可以节约时间。时做其他事，这样就可以节约时间。(3)排队的学问：排队的学问：先快后慢，先时间短的再时间长的，这样可
5、以使总的先快后慢，先时间短的再时间长的，这样可以使总的等待时间最短。等待时间最短。5.找次品找次品的最优策略：找次品找次品的最优策略：(1)把待测物品分成把待测物品分成3份；份；(2)能够平均分成能够平均分成3份就平均分成三份，尽量平均分，如份就平均分成三份，尽量平均分，如9(3,3,3)；如果不能平均分的，也应该使多的一份与少；如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差的一份只相差1，如，如7(2，2，3)。6.鸽巢问题鸽巢问题又称抽屉原理。抽屉原理形式鸽巢问题鸽巢问题又称抽屉原理。抽屉原理形式:形形式一：把式一：把m个物体任意分放进个物体任意分放进n个空抽屉里个空抽屉里(mn，n是
6、是非非0自然数自然数)，那么一定有一个抽屉中放进了至少，那么一定有一个抽屉中放进了至少2个物个物体。体。形式二：把多于形式二：把多于kn个物体任意分放进个物体任意分放进n个空抽屉里个空抽屉里(k是是正整数正整数)，那么一定有一个抽屉中放进了至少，那么一定有一个抽屉中放进了至少(k+1)个物个物体。体。形式三：把相同数量的不同物体任意放在同一个抽屉形式三：把相同数量的不同物体任意放在同一个抽屉里，要确保取出两个相同的物体，则至少要取出（颜里，要确保取出两个相同的物体，则至少要取出（颜色种数色种数+1）个物体。）个物体。典例精析及训练题型一题型一【例【例1】星期六，丽丽在家做家务。整理房间要星期六
7、，丽丽在家做家务。整理房间要8分钟，分钟，烧开水要烧开水要20分钟，洗衣服要分钟，洗衣服要12分钟，泡茶要分钟，泡茶要1分钟，丽分钟，丽丽做完这些家务最少需要丽做完这些家务最少需要()分钟。分钟。精析：精析：本题属于优化问题，根据题干，烧开水要本题属于优化问题，根据题干，烧开水要20分钟，分钟，烧开水的同时可以完成整理房间和洗衣服两件事情，最烧开水的同时可以完成整理房间和洗衣服两件事情，最后泡茶后泡茶1分钟。所以做完这些家务最少需要分钟。所以做完这些家务最少需要21分钟。分钟。答案：答案：21举一反三举一反三1.妈妈做早饭的过程及时间如下：洗锅妈妈做早饭的过程及时间如下：洗锅(1分钟分钟)、淘
8、米、淘米(1分钟分钟)、熬粥、熬粥(20分钟分钟)，洗菜切菜，洗菜切菜(5分钟分钟)、炒菜、炒菜(3分分钟钟)、盛粥、盛粥(1分钟分钟)。妈妈做这顿早饭至少需要。妈妈做这顿早饭至少需要()分钟。分钟。232.小猪、小羊和乌龟要过一座独木桥。每次只允许一小猪、小羊和乌龟要过一座独木桥。每次只允许一只动物过桥，小猪需要只动物过桥，小猪需要5分钟，乌龟需要分钟，乌龟需要8分钟，小分钟，小羊需要羊需要3分钟。要使三只小动物等候的时间最短，应分钟。要使三只小动物等候的时间最短，应该让该让()先过，先过，()再过，再过，()最后过。最后过。小羊小羊小猪小猪乌龟乌龟题型二题型二【例【例2】园林工人在一条长园
9、林工人在一条长240米的公路两侧，每隔米的公路两侧，每隔6米米种一棵树种一棵树(两端都要种两端都要种)，一共要种多少棵树？，一共要种多少棵树？精析：精析：这是非封闭线路的植树问题，两端都要种，则这是非封闭线路的植树问题，两端都要种，则根据棵数全长株距根据棵数全长株距1可得公路一侧要种的树的棵可得公路一侧要种的树的棵数，因为两侧都要种，所以还要将所得的数乘以数，因为两侧都要种，所以还要将所得的数乘以2才能才能得出答案。得出答案。答案：答案：2402406 61 141(41(棵棵)41412 282(82(棵棵)答：一共要种答：一共要种8282棵树。棵树。举一反三举一反三3.一个圆形池塘周长为一
10、个圆形池塘周长为400米，在岸边每隔米，在岸边每隔4米栽一棵米栽一棵白杨树，一共能栽多少棵白杨树？白杨树，一共能栽多少棵白杨树？4004100(棵棵)答：一共能栽答：一共能栽100棵白杨树。棵白杨树。4.在铁路一旁，每隔在铁路一旁，每隔45米有一根电线杆，某旅客在行米有一根电线杆，某旅客在行进的火车里，从经过第进的火车里，从经过第1根电线杆到第根电线杆到第51根电线杆，根电线杆，恰好过了恰好过了3分钟，火车行进的速度是多少千米分钟，火车行进的速度是多少千米每小时每小时？(511)452250(米米)2.25千米千米3分钟分钟 小时小时2.25 45(千米千米/小时小时)答：火车行进的速度是答：
11、火车行进的速度是45千米千米/小时小时。120120六年级下册数学毕业总复习课件-第八章数学广角 人教新课标(共32张PPT)六年级下册数学毕业总复习课件-第八章数学广角 人教新课标(共32张PPT)题型三题型三【例例3】9个小球，其中个小球，其中8个一样重，个一样重，1个比其他的轻是次个比其他的轻是次品，用天平称，至少称品，用天平称，至少称()次就可以找出次品。次就可以找出次品。答案：答案：2精析：精析：第一步：把第一步：把9个球分成个球分成3份，每份份，每份3个，任取两份个，任取两份放在天平上。若平衡，则取剩下的放在天平上。若平衡，则取剩下的3个做第二步分析；个做第二步分析；若不平衡，则取
12、较轻的若不平衡，则取较轻的3个做第二步分析。第二步：取个做第二步分析。第二步：取3个球分成个球分成3份，每份份，每份1个，任取两个放在天平两端。若平个，任取两个放在天平两端。若平衡，则剩下衡，则剩下1个为次品；若不平衡，轻一个就是次品。个为次品；若不平衡，轻一个就是次品。六年级下册数学毕业总复习课件-第八章数学广角 人教新课标(共32张PPT)六年级下册数学毕业总复习课件-第八章数学广角 人教新课标(共32张PPT)举一反三举一反三5.有有10 瓶钙片，其中一瓶被吃了瓶钙片，其中一瓶被吃了5片。用天平称，至少片。用天平称，至少称称()次能保证找出被吃了次能保证找出被吃了5片的那瓶。片的那瓶。6
13、.30个零件中混进一个较轻的，最少称个零件中混进一个较轻的，最少称()次可以次可以保证找出较轻的保证找出较轻的那个那个。34六年级下册数学毕业总复习课件-第八章数学广角 人教新课标(共32张PPT)六年级下册数学毕业总复习课件-第八章数学广角 人教新课标(共32张PPT)题型四题型四【例例4】32只鸽子飞回只鸽子飞回7个鸽舍，至少有个鸽舍，至少有()只鸽子要飞只鸽子要飞进同一个鸽舍。进同一个鸽舍。答案：答案：5精析：精析：把把7个鸽舍看作个鸽舍看作7个抽屉，把个抽屉，把32个鸽子看作个鸽子看作32个元个元素，那么每个抽屉需要放素，那么每个抽屉需要放32744(个个)，所以每个，所以每个抽屉需要
14、放抽屉需要放4个，剩下的个，剩下的4个不论怎么放，总有一个抽屉个不论怎么放，总有一个抽屉里至少有里至少有415(个个)。所以，至少有一个鸽舍要飞进。所以，至少有一个鸽舍要飞进5只鸽子。只鸽子。六年级下册数学毕业总复习课件-第八章数学广角 人教新课标(共32张PPT)六年级下册数学毕业总复习课件-第八章数学广角 人教新课标(共32张PPT)举一反三举一反三7.从扑克牌中取出两张王牌，在剩下的从扑克牌中取出两张王牌，在剩下的52张中至少抽张中至少抽出出()张，从而能保证一定有一张红桃。张，从而能保证一定有一张红桃。8.把红、黄、蓝三种颜色的球各把红、黄、蓝三种颜色的球各8个放到一个袋子里。个放到一
15、个袋子里。至少取（至少取（）个球，可以保证取到两个颜色相同的）个球，可以保证取到两个颜色相同的球。球。9.13个在个在2015年出生的儿童中，至少有年出生的儿童中，至少有()个是同一个是同一月出生的。月出生的。4042六年级下册数学毕业总复习课件-第八章数学广角 人教新课标(共32张PPT)六年级下册数学毕业总复习课件-第八章数学广角 人教新课标(共32张PPT)某养殖场里养的鸡和兔共某养殖场里养的鸡和兔共28只，共有只，共有78只脚，养殖场里只脚，养殖场里养了鸡和兔各多少只？养了鸡和兔各多少只？答案：兔的只数（答案：兔的只数（78-282）2=11（只）鸡的只数（只）鸡的只数=28-11=1
16、7（只）答：养殖场里养了鸡（只）答：养殖场里养了鸡17只，兔只，兔11只。只。精析：精析：这是一个很典型的鸡兔同笼的问题，已知总的头数和足数，可以先假设全部是鸡，则兔的只数=（总足数-总头数2）2，鸡的只数=总头数-兔的只数。题型五题型五六年级下册数学毕业总复习课件-第八章数学广角 人教新课标(共32张PPT)六年级下册数学毕业总复习课件-第八章数学广角 人教新课标(共32张PPT)11.松鼠妈妈采松子，晴天每天可以采松鼠妈妈采松子，晴天每天可以采20个，雨天每天个，雨天每天只能采只能采12个，它一连几天采了个，它一连几天采了112个松子，平均每天个松子，平均每天采采14个。这几天当中有几天有
17、雨？个。这几天当中有几天有雨？1121420160(个个)(160112)(2012)6(天天)。答：这几天当中有答：这几天当中有6天有雨。天有雨。举一反三举一反三六年级下册数学毕业总复习课件-第八章数学广角 人教新课标(共32张PPT)六年级下册数学毕业总复习课件-第八章数学广角 人教新课标(共32张PPT)11.鸡兔同笼，鸡头比兔头多鸡兔同笼，鸡头比兔头多20个，兔脚比鸡脚多个，兔脚比鸡脚多200只。只。鸡、兔各有多少只？鸡、兔各有多少只？解：设兔有解：设兔有x只，则鸡有只，则鸡有(20 x)只。只。4x(20 x)2200 4x2x240 x12012020140(只只)答：鸡有答：鸡有
18、140只，兔有只，兔有120只。只。六年级下册数学毕业总复习课件-第八章数学广角 人教新课标(共32张PPT)六年级下册数学毕业总复习课件-第八章数学广角 人教新课标(共32张PPT)差错类型及归纳类型类型 解决鸡兔同笼问题时，假设的前后两个数之解决鸡兔同笼问题时，假设的前后两个数之间的关系容易混淆。间的关系容易混淆。【例】北顺小学举办数学竞赛，试卷共有20道题，每做对一道得5分，错一道倒扣2分。思远做了所有的题，共得了79分，他做对了几道题？错解：20(20579)(52)=20213=13(道)答：他做对了13道题。六年级下册数学毕业总复习课件-第八章数学广角 人教新课标(共32张PPT)
19、六年级下册数学毕业总复习课件-第八章数学广角 人教新课标(共32张PPT)正解：20(20579)(52)=20217=17(道)答：他做对了17道题。分析：此题错在答对一道题和答错一道题相差的不是(52)分，而是52=7(分)。在用假设法解答鸡兔同笼类型的应用题时，要注意假设前后两个数之间相差的数，有时相差的数是两数之和。六年级下册数学毕业总复习课件-第八章数学广角 人教新课标(共32张PPT)六年级下册数学毕业总复习课件-第八章数学广角 人教新课标(共32张PPT)针对性练习针对性练习一、购物大抽奖：一等奖300元，二等奖100元，共60个中奖名额，奖金总额达10000元，一等奖和二等奖各
20、有多少个？假设全是一等奖。30060=18000（元）与实际相差：18000-10000=8000(元)300-100=200（元）二等奖：8000200=40（个）一等奖：60-40=20（个）答：一等奖有20个，二等奖有40个。六年级下册数学毕业总复习课件-第八章数学广角 人教新课标(共32张PPT)六年级下册数学毕业总复习课件-第八章数学广角 人教新课标(共32张PPT)二、百货商店委托搬运站运送500个花瓶，双方商定每个运费是0.48元，但如果发生损坏，每损坏一个不仅不给运费，而且要赔偿2.52元，结果搬运站共得到运费231元。你能算出搬运过程中共损坏了几个花瓶吗？（5000.4823
21、1）(0.482.52)=3(个)答：搬运过程中共损坏了3个花瓶。六年级下册数学毕业总复习课件-第八章数学广角 人教新课标(共32张PPT)六年级下册数学毕业总复习课件-第八章数学广角 人教新课标(共32张PPT)三.在一个停车场上，现有汽车和三轮摩托车共24辆，共有86个轮子，这些车中，汽车和三轮摩托车各有多少辆？假设24辆全是4个轮子的汽车，则三轮摩托车有（244-86）（4-3）=10（辆）24-10=14（辆）答：汽车有14辆，三轮摩托车有10辆。六年级下册数学毕业总复习课件-第八章数学广角 人教新课标(共32张PPT)六年级下册数学毕业总复习课件-第八章数学广角 人教新课标(共32张
22、PPT)小考复习训练一、选择题。1.王东掷一枚正六面体骰子，要保证掷出的骰子点数至少有两次相同，他最少应掷()次。A.5 B.6 C.72.10瓶饮料，其中一瓶变质了（略重一些），用天平称，至少称()次一定能找出次品。A.3 B.4 C.53.一根木料锯成3段要8分钟，如果每锯一段所用的时间相同，那么锯成7段需要()分钟。A.12 B.14 C.24CAC六年级下册数学毕业总复习课件-第八章数学广角 人教新课标(共32张PPT)六年级下册数学毕业总复习课件-第八章数学广角 人教新课标(共32张PPT)4.一个圆形跑道长400米，如果每10米竖一道警示牌，共需()道警示牌。A.4 B.40 C.
23、395.4个好朋友聚会，每两个人握一次手，一共要握()次手。A.3 B.4 C.6BC六年级下册数学毕业总复习课件-第八章数学广角 人教新课标(共32张PPT)六年级下册数学毕业总复习课件-第八章数学广角 人教新课标(共32张PPT)二、填一填。1.从家到学校有3条不同的路可走，从学校到书店有4条不同的路可走。则小明从家经过学校到书店有()条不同的路可走。2.抽屉里有4支红铅笔和3支蓝铅笔，如果闭着眼睛摸，一次必须拿()支，才能保证至少有1支是蓝铅笔。125六年级下册数学毕业总复习课件-第八章数学广角 人教新课标(共32张PPT)六年级下册数学毕业总复习课件-第八章数学广角 人教新课标(共32
24、张PPT)3.园林工人沿公路一侧种树，每隔6米种一棵，一共种了36棵。第一棵与最后一棵之间的距离有()米。4.把15只兔子关进4个笼子，无论怎样总有一个笼子里至少关进了()只兔子。5.盒子里有同样大小的红、黄、蓝三种颜色的球各4个，要想摸出的球一定有2个不同色，至少要摸出（）个球。21045六年级下册数学毕业总复习课件-第八章数学广角 人教新课标(共32张PPT)六年级下册数学毕业总复习课件-第八章数学广角 人教新课标(共32张PPT)三、解决问题。1.从甲地到乙地原来每隔45米要安装一根电线杆，加上两端的2根一共65根电线杆。现在改成每隔60米安装一根电线杆，除两端两根不需移动外，中途还有多
25、少根不必移动？45和60的最小公倍数是180(651)45180=16(根)16-1=15（根）答：中途还有15根不必移动。六年级下册数学毕业总复习课件-第八章数学广角 人教新课标(共32张PPT)六年级下册数学毕业总复习课件-第八章数学广角 人教新课标(共32张PPT)2.有两袋乒乓球，一袋有28个，另一袋有100个。如果每次从多的一袋里取出4个放进少的一袋里，拿多少次才能使两袋乒乓球的个数相等？(100-28)(42)=9(次)答：拿9次才能使两袋乒乓球的个数相等。六年级下册数学毕业总复习课件-第八章数学广角 人教新课标(共32张PPT)六年级下册数学毕业总复习课件-第八章数学广角 人教新课标(共32张PPT)
