1、 - 1 - 20192019- -20202020 学年第一学期高二期末考试数学学科试题学年第一学期高二期末考试数学学科试题 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的题目要求的. 1设0ab，则下列各不等式一定成立的是 ( ) A 22 aabb B 22 aabb C 22 abab D 22 abab 2已知向量a(0，1，1)，b(1，2，1)若向量a+b与向量c(m，2，n)平行，则 实数 n 的值是（ ） A6 B6 C4 D4 3.已知椭圆 C：0
2、1 2 2 2 2 ba b y a x ，若长轴长为 6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此 椭圆的标准方程为（ ） A. 1 89 22 yx B. 1 3236 22 yx C. 1 59 22 yx D.1 1216 22 yx 4. 九章算术是我国古代的数学名著，书中有如下问题： “今有大夫、不更、簪裹、上造、 公士，凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”其意思： “共有五头鹿，5 人以 爵次进行分配（古代数学中“以爵次分之”这种表述，一般表示等差分配，在本题中表示等 差分配） ”在这个问题中，若大夫得“一鹿、三分鹿之二” ，则簪裹得（ ） A一鹿、三分鹿之一 B一鹿 C三分鹿
3、之二 D三分鹿之一 5.已知等比数列 n a为单调递增数列，设其前 n 项和为 n S，若2 2 a，7 3 S，则 5 a的值 为 （ ） A16 B32 C8 D 4 1 6.下列不等式或命题一定成立的是( ) lg(x2+ 4 1 )lg x(x0); sin x+ xsin 1 2(xk,kZ)； x2+12|x|(xR); 2 3 2 2 x x y (xR)最小值为 2. - 2 - A. B. C. D. 7 已知关于 x的不等式01)2()4( 22 xaxa的解集为空集,则实数 a 的取值 范围是( ) A. 5 6 , 2 B. ) 5 6 , 2 C. 2 , 5 6 (
4、 D. ), 22,( 8. 设 n S为数列 n a的前n项和,满足32 nn aS，则 6 S （ ） A192 B96 C93 D189 9.若正数 a、 b 满足52baab， 设babay124， 则 y 的最大值是 （ ） A.12 B. -12 C. 16 D. -16 10 正四面体 ABCD 的棱长为 2， E、F 分别为 BC、 AD 的中点， 则AFAE的值为 （ ） A-2 B4 C2 D1 11已知椭圆01 2 2 2 2 ba b y a x 的左右焦点分别为 F1,F2,离心率为 e,若椭圆上存在点 P, 使得 e PF PF 2 1 ，则该离心率 e 的取值范围
5、是（ ） A. 1 , 12 B. 1 , 2 2 C. 12, 0 D. 2 2 , 0 12当 n 为正整数时，定义函数 nN表示 n 的最大奇因数。如 33 N， 510 N， n NNNNnS2321 ，则 5S （ ） A. 342 B. 345 C. 341 D. 346 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分. 13命题 p： “0x，都有0 2 xx”的否定： . 14不等式3 1 x x 的解集是_ 15.已知双曲线 22 22 1 xy ab 的离心率为 2，焦点与椭圆1 925 22 yx 的焦点相同，那么 双曲线的渐近线方程为
6、- 3 - 16已知1 , 0, 2 1 baab，那么 ba 1 2 1 1 的最小值为_ _ 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，小题，共共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本题满分（本题满分 10 分）分） 已知等差数列 n a的前 n 项和为 n S，且25 52 aa，55 5 S . （1）求数列 n a的通项公式； （2）设 13 1 n ba nn ，求数列 n b的前 n 项和 Tn. 18.（本题满分（本题满分 12 分）分） 已知Ra，函数 x axf 1 . （1）若 xxf2对2 ,
7、0x恒成立，求实数 a 的取值范围。 （2）当 a=1 时，解不等式 xxf2. 19.（本题满分（本题满分 12 分）分） 在平面直角坐标系 xoy 中， 曲线 C 上的动点0,xyxM到点0 , 2F的距离减去 M 到直线 1x的距离等于 1. (1)求曲线 C 的方程； (2)若直线2xky与曲线 C 交于 A，B 两点，求证：直线 FA 与直线 FB 的倾斜角互补. - 4 - 20.（本题满分（本题满分 12 分）分） 某种汽车购买时费用为 14.4 万元，每年应交付保险费、养路费及汽油费共 0.9 万元，汽车的 维修费为：第一年 0.2 万元，第二年 0.4 万元，第三年 0.6
8、万元，依等差数列逐年递增 设使用n年该车的总费用(包括购车费用)为 f(n)，试写出 f(n)的表达式； 求这种汽车使用多少年报废最合算(即该车使用多少年平均费用最少) - 5 - - 6 - 21.（本题满分（本题满分 12 分）分） 如图 1，在高为 6 的等腰梯形 ABCD 中，ABCD，且 CD=6，AB=12，将它沿对称轴 OO1折 起，使平面 ADO1O平面 BCO1O. 如图 2，点 P 为 BC 中点，点 E 在线段 AB 上(不同于 A,B 两点)，连接 OE 并延长至点 Q，使 AQOB. (1)证明：OD平面 PAQ； (2)若BE=2AE， 求二面角CBQA的余弦值。
9、22. （本小题满分（本小题满分 12 分）分） 已知椭圆 C1：01 2 2 2 2 ba b y a x ，F 为左焦点，A 为上顶点，B(2,0)为右顶点，若 ABAF27，抛物线 C2的顶点在坐标原点，焦点为 F (1)求 C1的标准方程； (2)是否存在过 F 点的直线，与 C1和 C2交点分别是 P，Q 和 M，N，使得 S OPQ = 2 1 SOMN？如 - 7 - 果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由 - 8 - 2019-2020 学年第一学期高二期末考试数学学科试题学年第一学期高二期末考试数学学科试题 一、 选择题 B D A B A C C D A D A A
10、 二、 填空题 13., 0x使得0 2 xx 14. 0 , 2 1 15. xy3 16. 10 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，小题，共共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本题满分（本题满分 10 分）分） 已知等差数列 n a的前 n 项和为 n S，且25 52 aa，55 5 S . （1）求数列 n a的通项公式； （2）设 13 1 n ba nn ，求数列 n b的前 n 项和 Tn. 17.（1）在等差数列 n a中，25 52 aa，55 5 S ， 解得3, 5 1 da,.3 分
11、综上所述，数列 n a的通项公式是23 nan.5 分 （2）由(1)知：23 nan，又因为 13 1 n ba nn ，.7 分 10 分 综上所述，数列 n b的前 n 项和是 46 n n Tn.10 分 - 9 - 18.（本题满分（本题满分 12 分）分） 已知Ra，函数 x axf 1 . （1）若 xxf2对2 , 0x恒成立，求实数 a 的取值范围。 （2）当 a=1 时，解不等式 xxf2. 18.(1)f(x)2x 对 x(0,2)恒成立， a x 1 +2x 对 x(0,2)恒成立，.2 分 x0 x 1 +2x22，当且仅当 x 1 =2x，即 x= 2 2 时等号成
12、立，.4 分 a22.6 分 (2)当 a=1 时，f(x)=1 x 1 ，f(x)2x，1 x 1 2x， 若 x0，则 1 x 1 2x 可化为：2x2x+10，所以 x；.8 分 若 x0， 2 2 21 48 k k xx , x1x2=48分 直线 FA 与直线 FB 的斜率之和= 22 2 2 1 1 x y x y = 2 2 2 2 2 2 1 1 x xk x xk = )2)(2( 2222 21 2121 xx xxkxxk = )2)(2( 42 21 21 xx xxk 因为 x1x2=4直线 FA 与直线 FB 的斜率之和为 0， 11分 直线 FA 与直线 FB
13、的倾斜角互补。12分 20.（本题满分（本题满分 12 分）分） 【解】 依题意 f(n)144(02040602n)09n2 分 14401n(n1)09n 01n2n144，nN*5 分(没有定义域扣 1 分) 设该车的年平均费用为 S 万元，则有 S1 nf(n) 1 n(01n 2n144)1 10n144 1 n17 分 n 是正整数，故 1 10n144 1 n124134，10 分 当且仅当 1 10n 1 n(144)，即 n12 时，等号成立11 分 故汽车使用 12 年报废为宜12 分 21.（本题满分（本题满分 12 分）分） (1)解法一(几何法) 证明：取 OO1的中
14、点为 F,连接 AF,PF; PFOB， AQOB,PFAQ， P、F. A. Q 四点共面， 又由图 1 可知 OBOO1， 平面 ADO1O平面 BCO1O， 且平面 ADO1O平面 BCO1O=OO1， OB平面 ADO1O， PF平面 ADO1O， - 11 - 又OD平面 ADO1O， PFOD. 2 分 在直角梯形 ADO1O 中,OF=O1D,AOF=OO1D,AOFOO1D,FAO=DOO1， FAO+AOD=DOO1+AOD=90， AFOD. 4分 AFPF=F，且 AF平面 PAQ，PF平面 PAQ， OD平面 PAQ. 6分 解法二(向量法) 由题设知 OA,OB,OO
15、1两两垂直,所以以 O 为坐标原点,OA,OB,OO1所在直线分别为 x 轴、y 轴、 z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，设 AQ 的长度为 m， 则相关各点的坐标为 O(0,0,0),A(6,0,0),B(0,6,0),C(0,3,6),D(3,0,6),Q(6,m,0). 点 P 为 BC 中点,P(0, 2 9 ,3)， OD=(3,0,6), AQ=(0,m,0) PQ=(6,m 2 9 ,3)， 2分 ODAQ=0, ODPQ=0 ODAQ, ODPQ且AQ与PQ不共线， .4 分 OD平面 PAQ. . 6分 (2)BE=2AE,AQOB,AQ= 2 1 OB=3， 则 Q(
16、6,3,0),QB =(6,3,0), BC =(0,3,6). 设平面 CBQ 的法向量为 1 n =(x,y,z)， 0 0 1 1 BCn QBn 063 036 zy yx - 12 - 令 z=1,则 y=2,x=1,则 1 n=(1,2,1)， 8分 又显然,平面 ABQ 的法向量为 2 n=(0,0,1)，. 10分 设二面角 CBQA 的平面角为 ，由图可知， 为锐角， 则 cos= 21 21 nn nn = 6 6 . 12分 22（本题满分（本题满分 12 分）分） (1) 依题意可知ABAF27，即 22 27baa 由右顶点为 B(2,0)，得 a=2，解得 b2=3
17、， 所以 C1的标准方程为1 34 22 yx 3 分 (2) 依题意可知 C2的方程为 y2=4x，4 分 假设存在符合题意的直线， 设直线方程为 x=ky1，P(x1,y1)，Q(x2,y2)，M(x3,y3)，N(x4,y4)， 联立方程组 1 1 34 22 kyx yx 得(3k2+4)y26ky9=0， 由韦达定理得 y1+y2= 2 43 6 k k ，y1y2= 2 43 9 k ， 则|y1y2|= 21 2 21 4yyyy= 2 2 43 112 k k ，.6 分 （写出 PQ 长度也可以） 联立方程组 1 4 2 kyx xy ，得 y2+4ky4=0， 由韦达定理得 y3+y4=4k，y3y4=4， 所以|y3y4|= 43 2 43 4yyyy=14 2 k， 8 分 （写出 MN 长度也可以） 若 S OPQ = 2 1 SOMN，则 PQ=2MN，. 10 分 则|y1y2|= 2 1 |y3y4|，即 2 2 43 112 k k =12 2 k，解得 k= 3 6 ， 所以存在符合题意的直线方程为 x+ 3 6 y+1=0 或 x 3 6 y+1=0. 12 分 - 13 -
