1、1、设椭圆 22 :1 22 1 xy E aa ，其焦点在x轴上，若其准焦距(焦点到 准线的距离) 3 4 p ，求椭圆的方程. 解：先求 2 a的范围： 由焦点在x轴上，则： 22 1aa ，即： 1 2 2 a； 另外， 22 10ba ，所以 2 1a ；所以 1 2 ( ,1) 2 a . 求 2 a的值： 焦点坐标： 222222 (1)21cabaaa； 椭圆的准线： 2 a x c ； 准焦距： 22222 13 42 21 aacba pc ccc a 则： 2 22 16(1)9(21)aa，即： 42 1650250aa 方程有两个解： 50305 2 1 322 a （
2、舍） ， 和 503051 2 ( ,1) 3282 a ，故 5 2 8 a. 确定椭圆方程： 将 5 2 8 a， 3 2 1 8 a代入方程得： 22 88 1 53 xy 2、设椭圆 22 :1 (0) 22 xy Eab ab 的离心率 3 2 e ，其通径(过 焦点且垂直于长轴的焦直径)1d ，, 1 2 F F为两焦点，P是E上 除长轴端点外的任一点， 12 F PF的角平分线PM交长轴于 ( ,0)M m，求m的取值范围. 解：通径，即xc时的yc. 当xc时代入方程得： 2 2222 1 2222 y cacb c baaa ， 即： 4 2 2 b yc a ， 故通径：
3、2 2 1 b dyc a ， 即： 2 2ab 由离心率 22 3 2 2 cab e a a ，即： 22 3 2 4 ab a ， 即： 2 1 2 4 b a 则：2ab 联立解得：2a，1b，则3c 写出椭圆E的方程： 2 2 1 4 x y 求 12 F PF的角平分线PM的直线方程： 由得过(,) 00 P xy点的切线方程为： 0 1 0 4 x x y y 即： 11 00 (1) 44 000 x xx x y yyy ，其斜率为： 0 4 0 x k y 根据椭圆的切线定理，PM是过(,) 00 P xy点的法线，其斜率 为： 4 1 0 y k kx 则PM的直线方程为
4、： 4 0 () 00 0 y yyxx x 将( ,0)M m代入上式得： 4 0 0() 00 0 y ymx x 即： 0 0 4 x mx ，故： 3 0 4 x m 求出m的范围 因为(,) 00 P xy点是E上除长轴端点外的任一点， 故：(, ) 0 xa a ， 即：( 2,2) 0 x . 代入式得： 3 3 (, ) 2 2 m . 3、设椭圆 22 :1 (0) 22 xy Eab ab 的离心率 1 2 e ，, 1 2 F F为两焦 点， 椭 圆E与y轴的交点为( 0, 3)A，求三角形的面积 ? 12 S F AF 解：先求E的方程： 将(0,3)A代入E的方程得：
5、 22 03 1 22 ab ，故：3b 再由 1 2 c e a ，即： 222 1 22 4 cab aa ， 4 22 12 3 ab， 则：2 3a ， 2 3 3 22 a c ，E的方程为： 22 1 129 xy 求三角形 12 F AF的面积 12 S F AF ： 12 F AF的高，即3OAb； 12 F AF的底，即焦距22 3 1 2 F Fc； 故： 11 2 3 3 3 3 1 2 22 12 SF F OA F AF 另外， 12 F AF是椭圆的焦点三角形，可以用椭圆的焦点三角形 公式秒之. 22 tan3 3 2 12 c Sbbbc F AF b 4、如图，
6、设椭圆 22 :1 (0) 22 xy Eab ab ，,M N为长轴顶点， 过左焦点F、 斜率为3k 的直线l 交 椭 圆E于AB、两 点 ， 若 2FAFB，求? S FAM S FBN 解：本题由于直线l过左焦点F，所以采用以左焦点为原点的极坐 标，可使问题大大简化. 椭圆的极坐标方程为： 1cos ep e 直线l的方程为： 3 那么 2 2 1cos13 32 epepep FA e e e ； 2 2 1cos()13 32 epepep FB e e e 代入2FAFB得： 12 22ee ， 即 22(2)42eee， 故 2 3 e 于是： 0 1cos01 epep FM
7、ee ； 1cos1 epep FN ee 故 2 FA FB ， 2 1 15 3 5 2 11 1 3 FMe FNe 所以 1 sin 2 2 510 1 sin 2 FA FM S FA FM FAM SFB FN FB FN FBN 5、设椭圆 22 :1 (0) 22 xy Eab ab ，其离心率 3 3 e ，其通径 4 3 3 d ， 求椭圆E的方程. 两条焦直径(过焦点的弦)AB 与 CD 互相垂直.求 11 ? ABCD 解：先求椭圆E的方程： 由离心率 3 3 c e a 得： 222 1 22 3 cab aa ，则： 2 2 2 3 b a 由通径 2 24 3 3
8、 b d a 得： 2 2 3 3 b a 联立得：3a ，2b， 故椭圆E的方程为： 22 1 32 xy 两条焦直径都过焦点，所以采用以焦点为原点的极坐标解 题更便捷. 以左焦点为原点的椭圆极坐标方程为： 1cos ep e 那么，设：(, ) 1 A ，则：(,) 2 B，(,) 3 2 C ， 3 (,) 4 2 D 代入方程式得： A B N M F O 12 1cos1cos() 2 22 1cos1cos 1cos epep AB ee epepep ee e 于是， 22 11cos 2 e ABep 343 1cos()1cos() 22 2 22 1sin1sin 1sin
9、 epep CD ee epepep ee e 于是， 22 11sin 2 e CDep 由式式得： 22222 111cos1sin2 222 eee ABCDepepep 将 3 3 e ， 2 2 2 1 b p c 代入式得： 115 3 12ABCD 6、设椭圆 22 :1 3627 xy E，左焦点为F，在椭圆上任取三个不同 点 123 PPP、 、， 使 得 2 122331 3 P F PP F PP F P ， 求 ： 111 ? 123 FPFPFP 解：椭圆E的参数：6a，3 3b ，3c ， 故离心率 1 2 c e a ，准焦距 22 27 9 3 ab pc cc
10、 . 采用极坐标，以左焦点为原点的极坐标方程为： 1cos ep e ，即： 11cose ep 设(, ) 11 FP ，则 2 (,) 22 3 FP ， 2 (,) 33 3 FP 分别代入式得： 11cos 1 e ep ， 2 1cos() 1 3 2 e ep ， 2 1cos() 1 3 3 e ep 由于： 22 coscos()cos()0 33 所以上三式相加得： 111332 1 3 9 123 2 ep 故： 111 123 1112 3 123 FPFPFP 7、如图所示，椭圆 2 2 1 :1 169 xy E ，过原点的两条直线交圆 于ABCD，AD与CB的延长线
11、相交于M，AC与DB的延长线 相交于N，求MN所在的直线方程. 解：首先看一下原点(0,0)O和椭圆的位置关系 将原点坐标代入 2 2 1 1 169 xy 得： 2 2 0 101 110 16916 小于 0 表明原点在椭圆内部. 本题中，原点O和直线MN是椭圆E的一对极点和极线. 这里先简单介绍一下极点和极线： 过椭圆外一点P向椭圆E作的所有割线点的连线，相交于两 点A和B， 一个点在椭圆内(假设A)， 一个点在椭圆外(假设B). 这 3 个点P、A和B构成特殊的三角形，称为自极三点形. 其中，点 P和直线AB是一对极点和极线；点A和直线PB是一对极点和极 线； 点B和直线PA是一对极点
12、和极线.如果将极点的坐标， 做等效 代入椭圆方程，得到的就是其极线方程.这样使得求极线方程变得 极为简单. 本题，将原点坐标做等效代入椭圆方程，就得到MN所在的直线 方程. 将极点坐标(,) 00 xy做等效代入椭圆方程得到极线方程： A B C D M N 11 00 1 169 xxy y 故：代入0 0 x ，0 0 y后得到： 0 110 1 169 xy 即：1 16x ，即：15x 所以MN所在的直线方程是：15x 8 、 设 椭 圆 22 :1 (0) 22 xy Eab ab ， 过 右 焦 点 的 直 线 :30l xy交E于AB、两点，P为AB中点. 若OP的斜率为： 1
13、2 k ，求椭圆E的方程； 若直线:30m xy交E于CD、两点，AD与BC相交于Q， 求Q点的坐标. 解：由于右焦点在直线l上，将右焦点( ,0)F c的坐标代入 :30lxy，得：030c，故：3c ， 2 3c 联立椭圆E和直线l得到交点AB、的坐标： 22 1 22 30 xy ab xy 消元法消去y得： 22 ( 3) 1 222 xx aac 即： 222222 (3)( 3)(3)0axaxaa 整理得： 22222 (23)2 3(6)0axa xaa 由于P为AB中点，所以 1 () 2 xxx PAB ，3yx PP 代进式由韦达定理得： 22 11 2 33 () 22
14、 22 2323 aa xxx PAB aa 22 333 3 33 22 2323 aa yx PP aa 由此得到OP的斜率为： 22 33 33 22 3 y aa P k x aa P 已知 1 2 k ，故： 2 6a，于是 22 33ba 所以椭圆E的方程为： 22 1 63 xy 直 线:30mxy经 过(3 , 0 )F点 ， 直 线l也 经 过 (3 , 0 )F点， 故Q点必在关于椭圆E以F为极点的极线上. 代入极线方程得： 30 1 63 xy ；即： 6 2 3 3 xQ 由于AD与BC关于x轴对称，根据对称性，0yQ 所以Q点的坐标为：(2 3,0)Q 9、设椭圆 2
15、2 :1 168 xy E的长轴端点为AB、，与y轴平行的直线 交 椭 圆E于PQ、两 点 ， P AQ B、的延长线相交于S点， 求S点的轨迹. 解 ： 设(,) 00 S xy，( , )P m n， ( ,)Q mn 由/PAAS得：kk PAAS 0 () nn kPA mama 0 00 () 00 yy kAS axxa 故： 0 0 y n maxa 由/ /BQQS得：kk BQQS 0nn kBQ maam ， 0 00 00 yy kQS xaxa 故： 0 0 y n amxa P Q S A B 由式得： 2 2 0 2222 0 y n amxa 又，PQ、两点在椭圆
16、E上，满足： 22 1 22 mn ab 即： 2222 1 222 nmam baa ， 即： 2222 222222 baan namnam 代入式得： 2 2222 0 2222222 0 y bana nnamnxa 即： 2222 000 1 222 yxax baa ，故： 22 00 1 22 xy ab 即： 22 00 1 168 xy ，这就是S点的轨迹方程. 10、已知抛物线 2 :2(0)P ypxp，F为P的焦点，M为P上 任一点，l为过M点的切线， 求证：FM与l的夹角等于l与x轴 的夹角. 证明：FM为抛物线的焦半径，设其倾角为，(,)M xy MM ， (,0)
17、 2 p F 我们看上半轴即0y 部分，下半轴与上半轴对称。 (0, ，(0, 2 则：tan 2 yyy MFM p xx x MF M 抛物线 2 2ypx两边对x求导：22yyp，即 p y y 故M点的切线为：tan p y xx y M M 2 2 2tan tan(2 ) 2222 1 tan 1 2 p ypy MM pyp M yM 22 tan 222 2 2 pypyy MMM p yppxp x MM M 即：2，FM与l的夹角为2，而就 是l与x轴的夹角. 11、 已知 抛物 线P的顶点为 原点 ，其 焦 点(0, )Fc到直线 :20lxy的距离为 3 2 2 d ，
18、M在l上， 过M作抛物线P 的两条切线MA、MB，其中A、B为切点. 当M的坐标为(4,2)时，求AB的直线方程； 当M在l上移动时，求AFBF的最小值. 解：先求抛物线P的方程 由焦点(0, )Fc到直线:20l xy的距离为 3 2 2 d 得： 0223 2 2222 1( 1) cc d ，即：1c 抛物线P的方程为： 2 44xcyy 下面求AB的直线方程： AB的直线方程与M点是抛物线P的一对极线和极点， 故用极线方 程秒之. AB的直线方程：2()xxyy MM 将(4,2)M的坐标值代入得：42(2)42xyy， 即：220xy AF A点到准线的距离，BF B点到准线的距离.
19、 ()()(1)(1)AFBFycycyy ABAB 即：(1)(1)() 1AFBFyyy yyy ABA BAB 由于Ml，可将:20l xy作为极线，来求其极点N. 极点(,)N xy NN 关于抛物线P的极线为： 2()xxyy NN ，即：220xxyy NN 与:20l xy对比得：2xN，2yN 当M在l上移动时，其极线AB必过N点. 设AB的 直 线 的 斜 率 为k， 则AB的 直 线 方 程 为 ： ()yk xxy NN 即：22ykxk AB点为与的交点. 将代入式得： 2 12 2 41yxyk kk 即： 222 44(1)4(1)k yykyk 即： 222 4(
20、1)4(1)0ykkyk 方程的两个根就是yA和yB. 由韦达定理得： 2 4(1)y yk A B ， 2 4(1)yykk AB 代入式得： 22 4(1)4(1) 1 222 4(211) 14(23 )9 AFBFkkk kkkkkk 333 2222 4(23 )982( ) 8 ( )9 444 22 39399 898 42422 kkkk kk 故AFBF的最小值是 9 2 . 12、 过抛物线 2 :2(0)P xpyp的焦点F作斜率分别为 12 kk、两 条不同弦AB和CD，2 12 kk，以AB、CD为直径的圆M 圆N(M、N为圆心)的公共弦所在的直线记为l， 若圆心M到
21、 l距离的最小值为 7 5 5 ，求抛物线P的方程. 解：抛物线 2 2xpy的焦点(0,) 2 p F. 设AB直线的方程为： 1 2 p yk x，CD直线的方程为： 2 2 p yk x 则：AB点的坐标满足抛物线方程和AB直线的方程 即： 2 2 1 2 xpy p yk x 于是： 22 22 ()2 11 2 p xpyp k xpk xp 故： 22 20 1 xpk xp AB是圆M的直径，圆心是(,)M xy MM ， 则由韦达定理得： 1 () 1 2 xxxpk MAB ， 2 xxp AB ()()() 111 22 pp yyk xk xkxx ABABAB 圆M的直
22、径平方为： 2 222222 ()()(1)()(1)4 11 ABxxyykxxkxxxx ABABABABAB 将式代入上式得: 222 2222 2 (1)(44)4(1) 111 ABkp kppk 故圆M的直径为： 2 2 (1) 1 ABpk 圆M的半径为： 2 (1) 1 rpk M 圆M的方程为： 22222 2 ()()(1) 1 xxyyrpk MMM 同理， 圆N的方程为： 2222 2 ()()(1) 2 xxyypk NN 由-得： ()2()()2() 22222 ()(2) 1212 xxxxxyyyyy NMNMNMNM pkkkk 将() 21 xxp kk
23、NM ，()2 21 xxp kkp NM 22 () 21 yyp kk NM ， 22 (1) 21 yypkk NM 代入上式化简得：20xy 这就是两圆的公共弦l的直线方程. 由圆心M到l距离为： 22 225 1( 2) xyxy MMMM 将 1 xpk M ， 2 11 22 pp yk xpk MM ， 代入上式，并由圆心M到l距离的最小值为 7 5 5 得： 1121111 222 (2)(21)2 11111122 42555 44 2 21777 5 1 416558 5 p pkpkppkkkk pp k 故：8p ，则抛物线方程为： 2 16xy. 13、 已知动圆C
24、过定点(4,0)A， 且在y轴上截得的弦MN的长为 8， 求动圆圆心C的轨迹方程. 解：解题思路：弦MN和AM的垂直平分线相交于圆心. 设：(0,) 0 My，则：(0,8) 0 Ny ， MN的垂直平分线方程为： 1 ()4 0 2 yyyy MN AM的斜率为： 0 00 044 yyyy MA kAM xx MA 则AM的垂直平分线的斜率为： 14 0 k ky AM AM的中点K为： 04 2 22 xx MA xK ， 0 00 222 yyyy MA yK 则AM的垂直平分线方程为： 44 0 ()(2) 2 00 y yxxyx KK yy 联立，消去 0 y得： 44 (2)
25、(4)2 y yx y 即： 44 (2) 2(4) y x y ，即： 22 48(2)816yxx， 即： 2 8yx 这就是求动圆圆心C的轨迹方程，是条抛物线. 14、如图已知，在抛物线 2 :4P yx的焦点为F，其准线与x轴的 交点为A. 过原点的圆C其圆心 在抛物线P上， 与抛物线的准线l 交 于 不 同 的 两 点MN、， 若 2 A FA MA N，求圆C的半 径. 解：抛物线的准线方程：1 2 p x 设圆C其圆心坐标为：(,) 00 xy， 因圆心在抛物线P上， 则： 2 0 0 4 y x 又圆C过原点，则： 4 22220 000 16 y rxyy C 故圆C得方程为
26、： 2 24 2 200 00 416 yy xyyy 即： 244 2222000 2 000 21616 yyy xxyy yyy 即： 2 220 20 0 2 y xxyy y 对于在准线l上的MN、两点，其1 2 p x ， 代入上式得： 2 20 120 0 2 y yy y 即： 2 20 210 0 2 y yy y 方程的两个解就是MN、的纵坐标. 由韦达定理得：2 0 yyy MN ， 2 0 1 2 y yy MN A M N C 22 2 2 14 22 p AFc ； AMyM，ANyN； 代入 2 AFAMAN得：4yy MN 将结果代入式得： 2 0 14 2 y
27、 ，即： 2 6 0 y. 将结果代入式得： 4 36933 220 66 0 161644 y ry C 故：圆C的半径为： 33 2 r C 15、如图，抛物线 2 :4 1 Pxy，抛物线 2 :2(0) 2 Pxpyp ，点 (,) 00 M xy在抛物线 2 P上， 过M 作 1 P的两条切线MA和MB，当 12 0 x 时，切线MA的斜率 为 1 2 k . 求：AB所在的直线方程； 当点M在抛物线 2 P上运动时，求AB中点的轨迹方程. 解：先求A点的坐标： 抛物线 2 :4 1 Pxy的导函数为：4 2yx，即： 2 x y 抛物线在A点的斜率 2 xA y A 就是切线MA的
28、斜率为 1 2 k ， 故：1xA ， 2 1 44 xA yA，即： 1 ( 1, ) 4 A 再求AB所在的直线方程： (,) 00 M xy点与AB所在的直线是关于 1 P的一对极点和极线， 故：AB所在的直线方程为：2() 00 x xyy 即： 0 0 2 x yxy 求(,) 00 M xy的坐标： 因为方程过A点，故： 1 0 0 42 x y ； 当12 0 x 时， 122 2132 2 0 0 2444 x y 确定AB所在的直线方程： 将(,) 00 M xy代入式得： 1232 21232 2 () 2424 yxx 这就是AB所在的直线方程. 设AB的中点为(,)N
29、xy NN ，则： 1 () 2 xxx NAB ， 2 000 0 224 xxx yxyx NNN 将代入抛物线 1 P方程得： 20 44()24 000 2 x xyxyx xy， 即： 2 240 00 xx xy 由韦达定理得： 11 ()2 00 22 xxxxx NAB 22 33 22000 00 22444 xxx yxyxx NNN 或者： 4 2 3 xy NN . 这就是AB中点的轨迹方程. 16、16.已知抛物线 2 :8P yx，焦弦AB被F分为FA、FB两段， 求： 11 ? FAFB 解：抛物线的焦点(,0) 2 p F，即：(2,0)F，4p ，1e 以焦点
30、为原点建极坐标，则抛物线的极坐标方程为： 4 1cos1cos ep e 设：(, ) 1 A ，则：(,) 2 B A B M 于是： 111 cos 4 1 FA 111c o s ()1c o s 44 2 FB 故： 111 cos1 cos1 442FAFB 17、 17.如图，在正方形 OABC中，O为坐标原点，点A的坐标为 10,0，点 C的坐标为0,10，分别将线段 OAOA和AB AB等分成十等分，分点分 别记为, 129 A AA和, 129 B BB，连接 OBiOBi ，过Ai作轴的垂线 与OBi交于点*,19PiNi i . 求：点P i 的轨迹方程； 求：过点P i
31、 的切线方程。 解：因为(10, )Bi i ，所以OBi的直线方程为： 10 yi x ， 即： 10 i yx Ai所在的的垂线方程为：xi 那么过Ai作轴的垂线与OBi交于点 2 ( ,) 10 i P i i ， 故：xi p ， 2 10 i y p ， 则： 2 10 x y ，这就是点P i 的轨迹方程. P i 点的坐标为： 2 ( ,) 10 i P i i 则该点的切线方程为： 210 yyx x ii ，即： 5 xi yxyi 18、 18.已知， 双曲线 22 :1 45 xy H， 过右焦点F的直线交H于AB、两 点，以AB为直径的圆C与H的准线还有另外两个交点MN
32、、，与 原点O构成的三角形，求：S MON 的最小值. 解：该双曲线的基本参数： 2 4a， 2 5b ， 222 9cab， 故：3c ，焦点(3,0)F 设过右焦点F的直线方程为：(3)yk x，则：3 y x k . 代入双曲线方程 22 45200yx 得： 22 45(3)200 y y k 化简得： 2 222 45(3 )200k yykk （0k 时） 即： 222 (45)30250kykyk 当0k 时，直线方程为0y ，与H的准线的交点，不构成 三角形. 圆C的方程： 设圆C的圆心坐标为： (,) CC C xy ，A B、两点为圆直径上的点， 故由式得韦达定理得： 11
33、5 () 2 2 45 k yyy CAB k 2 25 2 (45) k yy AB k 则： 2 1512 33 22 4545 y k C xC k kk 圆直径的平方为： 1 22222 ()()()() 2 ABxxyyyyyy ABABABAB k 故： 2 11 222 (1)()() 22 k AByyyy ABAB kk 即： 2 222 113025 22 ()44 2222 45(45) kkkk AByyyy ABAB kkkk 2 900100945 22 1100(1) 2222222 (45)(45)(45)(45) k kk kkkk 22 2 100(1)40
34、0(1) 2 (44) 2222 (45)(45) kk k kk 故： 2 20(1) 2 45 k AB k ，圆的半径为： 2 10(1) 2 45 k r C k . 圆的方程为： 2 2 100(1) 22 ()() 22 (45) k xxyy CC k 求MN、点坐标： 双曲线的准线方程为： 2 4 3 a x c 对于圆，当 4 3 xxz时，圆此时的坐标就是MN、点的坐标. 故由得： 2 2 4100(1) 22 ()() 22 3 (45) k xyy CC k 2 2 100(1)4 22 ()() 22 3 (45) k yyx CC k 2 222 2 100(1)4
35、12100(1) 22 ()() 22222 3 (45)45(45) 2 22 4(45)3 12 22 3(45)3(45) kkk yyC kkk kk kk 2 2 222 100(1)4(45)3 12 2222 (45)3(45)3(45) 2 2 22 100(1)2020 222 (45)3(45) kkk kkk kk kk 2 22 22 2 900(1)400(1)500(1) 222222 9(45)9(45)9(45) kkk kkk 2 10 5(1) 2 3(45) k yy ABC k 、 ， 故： 2 20 5(1) 2 3(45) k yyy AB k 求 MON S的最小值： 22 11 4 20 5(1)40 51 22 22 39 3(45)45 kk Sxy MONz kk 只要求出 2 1 2 45 k k 的最小值，就可以得到S MON 的最小值. 对 2 1 ( ) 2 45 k f k k 进行分类讨论： 0k ，前面已说明； 5 2 k ，与准线只有一个交点； k ， 1 ( ) 4 f k ，此时， 40 5 110 5 949 S MON .
