1、 . 河北衡水中学河北衡水中学 20182018 年高考押题试卷年高考押题试卷 理数试卷理数试卷（二二） 第第卷卷 一、一、选择题：本大题共选择题：本大题共 1212 个小题个小题，每小题每小题 5 5 分分，共共 6060 分分. .在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. . 1.设集合 2 |60,Ax xxxZ， |,Bz zxy xA yA，则AB （ ） A0,1 B0,1,2 C0,1,2,3 D 1,0,1,2 2.设复数z满足12 1 z i i ，则 1 | z （ ） A5 B 1 5 C 5 5 D 5 2
2、5 3.若 1 cos() 43 ，(0,) 2 ，则sin的值为（ ） A 42 6 B 42 6 C 7 18 D 2 3 4.已知直角坐标原点O为椭圆C： 22 22 1(0) xy ab ab 的中心， 1 F， 2 F为左、右焦点，在区间(0,2)任 取一个数e，则事件“以e为离心率的椭圆C与圆O： 2222 xyab没有交点”的概率为（ ） A 2 4 B 42 4 C 2 2 D 22 2 5.定义平面上两条相交直线的夹角为：两条相交直线交成的不超过90的正角.已知双曲线E： 22 22 1(0,0) xy ab ab ，当其离心率 2,2e时，对应双曲线的渐近线的夹角的取值范围
3、为（ ） A0, 6 B, 63 C, 4 3 D, 3 2 6.某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为32，则它的表面积是（ ） . A 3 13 (3)222 2 B 3 133 ()222 42 C 13 22 2 D 13 22 4 7.函数sinlnyxx在区间 3,3的图象大致为（ ） A B C D 8.二项式 1 () (0,0) n axab bx 的展开式中只有第6项的二项式系数最大，且展开式中的第3项的系数是 第4项的系数的3倍，则ab的值为（ ） A4 B8 C12 D16 9.执行如图的程序框图，若输入的0x，1y ，1n ，则输出的p的值为（ ） A81 B
4、81 2 C 81 4 D 81 8 10.已知数列 1 1a ， 2 2a ，且 2 22( 1)n nn aa ， * nN，则 2017 S的值为（ ） A2016 1010 1 B1009 2017 C2017 1010 1 D1009 2016 11.已知函数( )sin()f xAx(0,0,) 2 A 的图象如图所示，令( )( )( )g xf xfx，则下 . 列关于函数( )g x的说法中不正确的是（ ） A函数( )g x图象的对称轴方程为() 12 xkkZ B函数( )g x的最大值为2 2 C函数( )g x的图象上存在点P，使得在P点处的切线与直线l：31yx平行
5、 D方程( )2g x 的两个不同的解分别为 1 x， 2 x，则 12 xx最小值为 2 12.已知函数 32 ( )31f xaxx，若( )f x存在三个零点，则a的取值范围是（ ） A(, 2) B( 2,2) C(2,) D( 2,0)(0,2) 第第卷卷 二、填空题二、填空题：本大题共：本大题共 4 4 小题，小题，每每小小题题 5 5 分，分，共共 2020 分分. . 13.向量( , )am n，( 1,2)b ，若向量a，b共线，且2ab，则mn的值为 14.设点M是椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 上的点，以点M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的焦点F，圆M 与y轴
6、相交于不同的两点P、Q，若PMQ为锐角三角形，则椭圆的离心率的取值范围为 15.设x，y满足约束条件 230 220 220 xy xy xy ，则 y x 的取值范围为 16.在平面五边形ABCDE中，已知120A，90B，120C，90E，3AB，3AE ， 当五边形ABCDE的面积6 3,9 3)S 时，则BC的取值范围为 三、解答题三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. . 17.已知数列 n a的前n项和为 n S， 1 1 2 a ， * 1 21(2,) nn SSnnN . . （1）求数列 n a的通项公式； （2）记 *
7、1 2 log() nn ba nN，求 1 1 nn b b 的前n项和 n T. 18.如图所示的几何体ABCDEF中，底面ABCD为菱形，2ABa，120ABC，AC与BD相交于 O点，四边形BDEF为直角梯形，/DEBF，BDDE，22 2DEBFa，平面BDEF 底面 ABCD. （1）证明：平面AEF 平面AFC； （2）求二面角EACF的余弦值. 19.某校为缓解高三学生的高考压力，经常举行一些心理素质综合能力训练活动，经过一段时间的训练后从 该年级800名学生中随机抽取100名学生进行测试，并将其成绩分为A、B、C、D、E五个等级，统计 数据如图所示（视频率为概率） ，根据以上
8、抽样调查数据，回答下列问题： （1）试估算该校高三年级学生获得成绩为B的人数； （2）若等级A、B、C、D、E分别对应100分、90分、80分、70分、60分，学校要求平均分达90 分以上为“考前心理稳定整体过关” ，请问该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”是否过关？ （3）为了解心理健康状态稳定学生的特点，现从A、B两种级别中，用分层抽样的方法抽取11个学生样 本，再从中任意选取3个学生样本分析，求这3个样本为A级的个数的分布列与数学期望. . 20.已知椭圆C： 22 22 1(0) xy ab ab 的离心率为 2 2 ，且过点 23 (,) 22 P，动直线l：ykxm交 椭圆C
9、于不同的两点A，B，且0OA OB（O为坐标原点）. （1）求椭圆C的方程. （2）讨论 22 32mk是否为定值？若为定值，求出该定值，若不是请说明理由. 21.设函数 22 ( )ln()f xaxxax aR . （1）试讨论函数( )f x的单调性； （2）设 2 ( )2()lnxxaax，记( )( )( )h xf xx，当0a时，若方程( )()h xm mR有两个不 相等的实根 1 x， 2 x，证明 12 ()0 2 xx h . 请考生在请考生在 2222、2323 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请
10、写清题号，作答时请写清题号. . 22.选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，曲线 1 C： 3cos 2sin xt yt （t为参数，0a） ，在以坐标原点为极点，x轴的非负 半轴为极轴的极坐标系中，曲线 2 C：4sin. （1）试将曲线 1 C与 2 C化为直角坐标系xOy中的普通方程，并指出两曲线有公共点时a的取值范围； （2）当3a 时，两曲线相交于A，B两点，求AB. 23.选修 4-5：不等式选讲 已知函数( )211f xxx . （1）在下面给出的直角坐标系中作出函数( )yf x的图象，并由图象找出满足不等式( )3f x 的解集； （2）若函数( )yf
11、 x的最小值记为m，设, a bR，且有 22 abm，试证明： 22 1418 117ab . . 参考参考答案答案及解析及解析 理科数学理科数学（） 一、选择题一、选择题 1-5: BCAAD 6-10: AABCC 11、12：CD 二、填空题二、填空题 13. 8 14. 6251 22 e 15. 2 7 , 5 4 16. 3,3 3) 三、解答题三、解答题 17.解： （1）当2n时，由 1 21 nn SS 及 1 1 2 a ， 得 21 21SS，即 121 221aaa，解得 2 1 4 a . 又由 1 21 nn SS ， 可知 1 21 nn SS ， -得 1 2
12、 nn aa ，即 1 1 (2) 2 n n a n a . 且1n 时， 2 1 1 2 a a 适合上式，因此数列 n a是以 1 2 为首项， 1 2 为公比的等比数列，故 * 1 () 2 n n anN. （2）由（1）及 * 1 2 log() nn ba nN， 可知 1 2 1 log ( ) 2 n n bn， 所以 1 1111 (1)1 nn b bn nnn ， 故 22 31 111 n nnn T b bb bb b 11111 (1)()() 2231nn 1 1 11 n nn . 18.解： （1）因为底面ABCD为菱形，所以ACBD， 又平面BDEF 底面
13、ABCD，平面BDEF平面ABCDBD， 因此AC 平面BDEF，从而ACEF. 又BDDE，所以DE 平面ABCD， 由2ABa，22 2DEBFa，120ABC， . 可知 22 426AFaaa，2BDa， 22 426EFaaa， 22 482 3AEaaa， 从而 222 AFFEAE，故EFAF. 又AFACA，所以EF 平面AFC. 又EF 平面AEF，所以平面AEF 平面AFC. （2）取EF中点G，由题可知/OGDE，所以OG 平面ABCD，又在菱形ABCD中，OAOB，所 以分别以OA，OB，OG的方向为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系Oxyz（如图示） ， 则(0,0
14、,0)O，( 3 ,0,0)Aa，(3 ,0,0)Ca，(0,2 2 )Eaa，(0, ,2 )Faa， 所以(0,2 2 )( 3 ,0,0)AEaaa(3 ,2 2 )aaa ， (3 ,0,0)( 3 ,0,0)ACaa ( 2 3 ,0,0)a ，(0, ,2 )(0,2 2 )EFaaaa(0,2 ,2 )aa. 由（1）可知EF 平面AFC，所以平面AFC的法向量可取为(0,2 ,2 )EFaa. 设平面AEC的法向量为( , , )nx y z， 则 0 0 n AE n AC ，即 32 20 0 xyz x ，即 2 2 0 yz x ，令2z ，得4y ， 所以(0,4,2
15、)n . 从而cos, n EF n EF nEF 63 36 3 a a . 故所求的二面角EACF的余弦值为 3 3 . 19.解： （1）从条形图中可知这100人中，有56名学生成绩等级为B， . 所以可以估计该校学生获得成绩等级为B的概率为 5614 10025 ， 则该校高三年级学生获得成绩为B的人数约有 14 800448 25 . （2）这100名学生成绩的平均分为 1 (32 10056 907 80 100 3 702 60)91.3 ， 因为91.390，所以该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”已过关. （3）由题可知用分层抽样的方法抽取11个学生样本，其中A级4个，
16、B级7个，从而任意选取3个，这3 个为A级的个数的可能值为0，1，2，3. 则 03 47 3 11 7 (0) 33 C C P C ， 12 47 3 11 28 (1) 55 C C P C ， 21 47 3 11 14 (2) 55 C C P C ， 30 47 3 11 4 (3) 165 C C P C . 因此可得的分布列为： 0 1 2 3 P 7 33 28 55 14 55 4 165 则 72814 ( )012 335555 E 412 3 16511 . 20.解： （1）由题意可知 2 2 c a ，所以 2222 22()acab，即 22 2ab， 又点 2
17、3 (,) 22 P在椭圆上，所以有 22 23 1 44ab ， 由联立，解得 2 1b ， 2 2a ， 故所求的椭圆方程为 2 2 1 2 x y. （2）设 11 ( ,)A x y， 22 (,)B xy，由0OA OB， 可知 1212 0x xy y. 联立方程组 2 2 1 2 ykxm x y ， . 消去y化简整理得 222 (1 2)4220kxkmxm， 由 2222 168(1)(1 2)0k mmk ，得 22 12km，所以 12 2 4 12 km xx k ， 2 12 2 22 1 2 m x x k ， 又由题知 1212 0x xy y， 即 1212
18、()()0x xkxm kxm， 整理为 22 1212 (1)()0kx xkm xxm. 将代入上式，得 2 22 22 224 (1)0 1 21 2 mkm kkmm kk . 化简整理得 22 2 322 0 1 2 mk k ，从而得到 22 322mk. 21.解： （1）由 22 ( )lnf xaxxax ，可知 2 ( )2 a fxxa x 22 2(2)()xaxaxa xa xx . 因为函数( )f x的定义域为(0,)，所以， 若0a时，当(0, )xa时，( )0fx ，函数( )f x单调递减， 当( ,)xa时，( )0fx ，函数( )f x 单调递增；
19、若0a时，当( )20fxx在(0,)x内恒成立，函数( )f x单调递增； 若0a时，当(0,) 2 a x时，( )0fx ，函数( )f x单调递减，当(,) 2 a x 时，( )0fx ，函 数( )f x单调递增. （2）证明：由题可知( )( )( )h xf xx 2 (2)ln (0)xa xax x， 所以( )2(2) a h xxa x 2 2(2)(2)(1)xa xaxa x xx . 所以当(0,) 2 a x时，( )0h x ；当(,) 2 a x 时，( )0h x ；当 2 a x 时，( )0 2 a h. 欲证 12 ()0 2 xx h ，只需证 1
20、2 ()( ) 22 xxa hh ，又 2 ( )20 a hx x ，即( )h x单调递增，故只需证明 12 22 xxa . 设 1 x， 2 x是方程( )h xm的两个不相等的实根，不妨设为 12 0xx， . 则 2 111 2 222 (2)ln (2)ln xa xaxm xa xaxm ， 两式相减并整理得 1212 (lnln)a xxxx 22 1212 22xxxx， 从而 22 1212 1212 22 lnln xxxx a xxxx ， 故只需证明 22 121212 1212 22 22(lnln) xxxxxx xxxx ， 即 22 1212 12 121
21、2 22 lnln xxxx xx xxxx . 因为 1212 lnln0xxxx， 所以(*)式可化为 12 12 12 22 lnln xx xx xx ， 即 1 12 1 2 2 22 ln 1 x xx x x x . 因为 12 0xx，所以 1 2 01 x x ， 不妨令 1 2 x t x ，所以得到 22 ln 1 t t t ，(0,1)t. 设 22 ( )ln 1 t R tt t ，(0,1)t，所以 2 22 14(1) ( )0 (1)(1) t R t ttt t ，当且仅当1t 时，等号成立， 因此( )R t在(0,1)单调递增. 又(1)0R， 因此(
22、 )0R t ，(0,1)t， 故 22 ln 1 t t t ，(0,1)t得证， 从而 12 ()0 2 xx h 得证. . 22.解： （1）曲线 1 C： 3cos 2sin xt yt ，消去参数t可得普通方程为 222 (3)(2)xya. 曲线 2 C：4sin，两边同乘.可得普通方程为 22 (2)4xy. 把 22 (2)4yx代入曲线 1 C的普通方程得： 222 (3)413 6axxx， 而对 2 C有 222 (2)4xxy，即22x ，所以 2 125a故当两曲线有公共点时，a的取值范围 为1,5. （2）当3a 时，曲线 1 C： 22 (3)(2)9xy， 两
23、曲线交点A，B所在直线方程为 2 3 x . 曲线 22 (2)4xy的圆心到直线 2 3 x 的距离为 2 3 d ， 所以 48 2 2 4 93 AB . 23.解： （1）因为( )211f xxx 3 ,1 1 2, 1 2 1 3 , 2 x x xx x x ， 所以作出图象如图所示，并从图可知满足不等式( )3f x 的解集为 1,1. （2）证明：由图可知函数( )yf x的最小值为 3 2 ，即 3 2 m . 所以 22 3 2 ab，从而 22 7 11 2 ab ， 从而 . 22 22 142 (1)(1) 117 ab ab 22 2222 14214(1) ()5() 1711 ba aabab 22 22 21 4(1)18 52 7117 ba ab . 当且仅当 22 22 14(1) 11 ba ab 时，等号成立， 即 2 1 6 a ， 2 4 3 b 时，有最小值， 所以 22 1418 117ab 得证. . . . . . . . . . . . .
