1、 课课题题 第十七章第十七章 勾股定理勾股定理 17.117.1 勾股定理（一）勾股定理（一） 时间时间 教教 学学 目目 的的 知识与技知识与技 能能 了解勾股定理的文化背景，体验勾股定理的探索过程. 过程与方过程与方 法法 通过观察、 归纳、 猜想和验证勾股定理，体验由特殊到一般的 探索数学问题的方法和数形结合的思想. 情感态度情感态度 与价值观与价值观 1通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，激发学习热情. 2对比介绍我国古代和西方数学家关于勾股定理的研究，对学生 进行爱国主义教育. 教学重点教学重点 探索和证明勾股定理. 教学难点教学难点 用拼图的方法证明勾股定理. 教学手段教学手段
2、 用多媒体课件 教教 学学 内内 容容 和和 过过 程程 一、复习提问 1、三角形的三边关系是什么？ 2、直角三角形的三边有什么关系？ 两边之和大于第三边； 斜边大于任何一条直角边； 30 角所对的直角边等于斜边的一半等. 3、介绍直角三角形各边的古代名： 勾：较短的直角边；股：较长的直角边；弦：斜边 二、引入 1、2002 年北京召开了被誉为数学界“奥运会”的国际数学家大会， 这就是当时采用的会徽. 你知道这个图案的名字吗？你知道它 的背景吗？你知道为什么会用它作为会徽吗？ 2、相传 2500 年前，古希腊的数学家毕达哥拉斯在朋友家做客时，发现朋友家用 地砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的
3、某种数量关系. 请同学们也观察 一下，看看能发现什么？ (1) 引导学生观察三个正方形之间的面积的关系； (2) 引导学生把面积的关系转化为边的关系. 结论：等腰直角三角形三边的特殊关系：斜边的平方等于两直角边的平方和. C A B 弦 股 勾 a b c c 3、等腰直角三角形有上述性质，其它直角三角形也有这个性质吗？（书 P65 探 究） 4、计算机演示 (1) 如图：在 RtABC 中，ACB=90 ，改变 a、b、c 的长度，但始终保持 ACB=90 ， 在运动过程中，测算 2 a， 2 b， 2 c， 22 ba 的值. 取其中 几组测算值，让学生观察这几个数值之间的关系？ 提问：哪
4、些量是不变的？（ACB=90 ） 哪些关系是不变的？（ 222 cba） (2) 演示锐角三角形、钝角三角形三边的平方是否存在这种关系？ 因此这个结论只适用于是直角三角形. 三、新课 让学生叙述猜想、画图，并说出已知、求证. 命题1： 如果直角三角形的两直角边长分别为a， b， 斜边长为c， 那么 222 cba. 已知：在 RtABC 中，ACB=90 ， a，b，c 分别为A、B、C 的对边. 求证： 222 cba 到目前为止，对这个命题的证明方法已有几百种. 下面，我们就来看一看我国 数学家赵爽是怎样证明这个命题的 提问： 拼接后的图形是否是由原 4 个直角三角形和小正方形没有重叠、
5、没有空 C B A C B A C A B b a c a c b a b c a c b a b c 隙地拼成的？拼接后的图形是什么图形？ 由此得到： 222 cba 小结：小结：这种证法是面积证法图形割补拼接后，只要没有重叠、没有空隙，面积不 会改变 下面介绍另一种拼图的证法： （选讲） 做八个全等的直角三角形和分别以 a、b、c 为边长的三个正方形. 拼成如下两 个图形： 提问：这两个图形分别是什么图形？（正方形，四条边都相等，四个角都为 直角） 这两个图形的面积相等吗？（相等，都等于 2 )(ba ） 如何利用这两个图形证明： 222 cba？ 勾股定理：勾股定理：(P65) 如果直角
6、三角形的两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 222 cba. 几何语言：RtABC 中，C=90 222 abc（勾股定理） （或 222 acb， 22 cab， 22 acb等.） 注：勾股定理存在于直角三角形中，运用勾股定理必须具备“直角”的条件； 勾股定理说明了直角三角形中三边之间的关系在直角三角形中，已知 任意两边的长，就可以求出第三边的长. 运用勾股定理要注意哪个角是直角，由此确定哪条边是斜边，抓住“斜 边的平方等于两直角边的平方和” ； 无论求斜边， 还是求直角边， 最后都要开平方. 开平方时， 由于边长为正， 所以取算术平方根； 勾股定理是直角三角形的一条重要性质，它
7、由一个角是直角作“因” ，三 边的数量关系作“果” ，体现了由“形”到“数”的转化，是数形结合思 想的一个典范. 勾股定理不仅是最古老的数学定理之一，也是数学中证法最多的一个定 理. 目前世界上已有几百种证法，就连美国第 20 届总统加菲尔德也提供 了一种面积证法.请同学们课下阅读书上 P7172. 例、(1) 已知 Rt ABC 中，C=90 ，BC=6，AC=8，求 AB. (2) 已知 Rt ABC 中，A=90 ，AB=5，BC=6，求 AC. (3) 已知 Rt ABC 中，B=90 ，a，b，c 分别是A，B，C 的对边，c a aa b b b a b ab a b a b b
8、a C A B b a c a=34，b=15，求 a，c 及斜边高线 h. 解：先画图 (1) RtABC 中，C=90 222 BCACAB（勾股定理） 22 BCACAB=3664=100=10 (2) 11AC (3) ca=34 设 a=4k，c=3k RtABC 中，B=90 222 bca（勾股定理） 222 15)3()4(kk 9 2 k 3k（舍负） a=4k=12，c=3k=9 ABC=90 ，h 是斜边高线 ac=bh h= b ac = 15 129 = 5 36 a=12，c=9，h= 5 36 四、课堂小结 1、勾股定理从边的角度刻画了直角三角形的又一特征； 2、
9、勾股定理把直角三角形“形”的特征，即一角为 90 ，转化为数量关系，体现 了数形结合的思想. 五、课堂练习 如图，所有的四边形都是正方形，所有三角形都是直角 三角形，其中最大的正方形的边长是 a，则图中四个小 正方形 A、B、C、D 的面积之和是 . （ 2 a） 六、作业 见素材 课课 后后 反反 思思 C A B B A C h a c b A B C D a 课课 题题 17.117.1 勾股定理（二）勾股定理（二） 时间时间 教教 学学 目目 的的 知识与技知识与技 能能 1、利用勾股定理解决实际问题. 2、从实际问题中抽象出数学模型，利用勾股定理解决，渗透建模 思想和数形结合思想和方
10、程思想. 过程与方过程与方 法法 运用勾股定理解决与直角三角形相关的问题. 情感态度情感态度 与价值观与价值观 1、通过研究一系列富有探究性的问题，培养学生与他人交流、合 作的意识和品质 2、通过对勾股定理的运用体会数学的应用价值. 教学重点教学重点 勾股定理的应用 教学难点教学难点 勾股定理在实际生活中的应用 教学手段教学手段 讲练结合 教教 学学 内内 容容 和和 过过 程程 一、复习提问 1、勾股定理？应用条件？ 2、证明方法？（面积法） 3、在长方形 ABCD 中，宽 AB 为 1m，长 BC 为 2m，求 AC 的长 答：AC 的长为m5 二、新课 例 1、一个门框的尺寸如图所示：
11、(1) 若有一块长 3 米，宽 0.8 米的薄木板，能否从门框内通过？ (2) 若有一块长 3 米，宽 1.5 米的薄木板，能否从门框内通过？ (3) 若有一块长 3 米，宽 2.2 米的薄木板，能否从门框内通过？ 分析：(3) 木板的宽 2.2 米大于 1 米，所以横着不能从门框内通过 木板的宽 2.2 米大于 2 米，所以竖着不能从门框内通过 因为对角线 AC 的长度最大，所以只能试试斜着能否通过 所以将实际问题转化为数学问题 解：(3) 在 Rt ABC 中，B=90 AC2=AB2 +BC2 (勾股定理) AC= 22 12=52.236 AC2.2362.2 木板能从门框内通过（书上
12、 P67 填空） 小结：此题是将实际为题转化为数学问题，从中抽象出 Rt ABC，并求出斜边 AC 的长. 例 2、如图，一个 3 米长的梯子 AB，斜靠在一竖直的墙 AO 上，这时 AO 的距离为 2.5 米 如果梯子的顶端 A 沿墙下滑 0.5 米，那么梯子底端 B 也外移 0.5 米吗？ B CD A 2m 1m B CD A 2m 1m （计算结果保留两位小数） 分析：要求出梯子的底端 B 是否也外移 0.5 米，实际就是求 BD 的长，而 BD=OD-OB 解：在 Rt ABO 中，AOB=90 OB2=AB2-AO2 (勾股定理) OB= 22 AOAB = 22 5 . 23 =
13、75. 21.658 OC=AO-AC OC= 2.5-0.5=2 在 Rt COD 中，COD=90 OD2=CD2-CO2 (勾股定理) OD= 22 COCD= 22 23 =52.236 BD=OD -OB2.236 -1.6580.58 答：梯的顶端 A 沿墙下滑 0.5 米时，梯子的底端 B 外移约 0.58 米 例 3、一个大树高 8 米，折断后大树顶端落在离大树底端 2 米处，折断处离地面的 高度是多少？ 分析：方程思想方程思想 解：设 AB= x m，则 AC= (8-x) m 在 Rt ABC 中，ABC=90 AB2+BC2=AC2 222 )8(2xx x=3.75 折
14、断处离地面的高度是 3.75 m. 小结：1、方程思想. 2、勾股定理是此题的等量关系. 三、课堂练习 1、已知：ABC 为等边三角形，ADBC 于 D，AD=6. 求 AC 的长. 解：ABC 为等边三角形 AB=AC=BC ADBC DC= 2 1 BC DC= 2 1 AC 设 DC=x，则 AC=2x 在 RtADC 中，ADC=90 AD2+DC2=AC2 (勾股定理) 222 )2(6xx 12x（舍负） OB C A D BC A D B C A 1222 xAC 2、如图，要修建一个蔬菜大棚，大棚的截面是直角三角形，棚宽 m=4 米，高 n=2 米，长 d=15 米，求覆盖在顶
15、上的塑料薄膜需多少平方米？（结果保留小数点 后 1 位） 解：在 Rt ABC 中，C=90 AB2 =m2+n2 (勾股定理) AB= 22 nm = 22 24 =20 S=ABd =20154.47215=67.0868（平方米） 注意：这里要取过剩近似值注意：这里要取过剩近似值. 四、课堂小结 1、勾股定理的作用它把直角三角形的图形特征转化为边的数量关系. 2、 会用勾股定理进行有关计算和证明， 要注意利用方程的思想求有关三角形的边 长. 3、会从实际问题中抽象出数学模型，从而解决实际问题. 五、作业 见素材 课课 后后 反反 思思 课课 题题 17.117.1 勾股定理（三）勾股定理
16、（三） 时间时间 教教 学学 目目 的的 知识与技知识与技 能能 1、会在数轴上表示n（n 为正整数）. 2、利用勾股定理解决数学问题，进一步渗透方程思想和数形结合 思想. 过程与方过程与方 法法 运用勾股定理解决与直角三角形相关的问题. 情感态度情感态度 与价值观与价值观 1、通过研究一系列富有探究性的问题，培养学生与他人交流、合 作的意识和品质 2、通过对勾股定理的运用体会数学的应用价值. 教学重点教学重点 勾股定理的应用. 教学难点教学难点 利用勾股定理建立方程. 教学手段教学手段 讲练结合 m n d CB A 教教 学学 内内 容容 和和 过过 程程 一、复习提问 1、勾股定理？ 2
17、、解决有关直角三角形问题常用方程思想. 二、新课 例 1、 （书 P68）我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在 数轴上画出表示13的点吗？ 分析：(1)若能画出长为13的线段，就能在数轴上画出表示13的点. (2)由勾股定理知，直角边为 1 的等腰 Rt ，斜边为2因此在数轴上能表 示2的点那么长为13的线段能否是直角边为正整数的直角三角形的 斜边呢？ 解：在 Rt ABC 中，OAB=90 ，OA=3，AB=2 OB= 22 AOAB =13 在数轴上取点 A，使 OA=3，过点 A 作 ABOA 于 A， 使 AB=2，以原点 O 为圆心，以 OB 为半径作弧，弧与 数
18、轴的交点 C 即为表示13的点. 思考：怎样在数轴上画出表示n（n 为正整数）的点？ 利用勾股定理，可以做出长为n（n 为正整数）的线段，进而可以在数轴上 画出表示n （n 为正整数）的点.（P69） 结论：利用勾股定理，可以做出长为n（n 为正整数）的线段，进而在数轴上可 画出表示n （n 是正整数）的点. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 119 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 C B A 13 32 O 1 6 41 532 0123 练习：书 P69 练习 1， （再练8，45等） 例 2、已知：
19、如图，四边形 ABCD 中，AB=2，CD=1，A=60 , B=D=90 . 求 四边形 ABCD 的面积. 解：延长 BC 与 AD 交于点 E A=60 ，B=90 E=30 在 RtABE 中，E=30 AE=2AB=4 在 RtABE 中，B=90 12 22 ABAEBE 12 2 1 BEABS ABE 在 RtDCE 中，E=30 CE=2CD=2 在 RtDCE 中，CDE=90 3 22 CDCEDE 2 3 2 1 DECDS CDE 2 3 12 A BCD S四边形 小结：通过添加辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理解决问题. 例 3、已知：如图，在ABC 中，ADB
20、C 于 D，AB=6，AC=4，BC=8，求 BD， DC 的长. 解：设 BD=x，则 CD=8-x ADBC 1=2=90 在 RtABD 中，1=90 222 BDABAD 在 RtADC 中，2=90 222 CDACAD 2222 CDACBDAB（双勾股） 2222 )8(46xx 4 21 x BD= 4 21 ，CD=8-x= 4 11 小结：当两个直角三角形有公共边时，可以利用公共边作桥梁，建立方程，这种 方法称为双勾股. A CE D B 60 1 2 D A CB 21 8-x 64 x 三、课堂练习 已知矩形 ABCD 沿直线 BD 折叠，使点 C 落在同一平面内 C处
21、，BC与 AD 交 于点 E， AD=6，AB=4，求 DE 的长. 解：矩形 ABCD BC=AD=6，CD=AB=4，C=90 ，ADBC 矩形 ABCD 沿直线 BD 折叠 BCDBCD BC=BC=6，CD=CD=4，C=C=90 ，1=2 ADBC 2=3 1=3 BE=DE 设 DE=BE=x，则 CE=6-x 在 RtDCE 中，C=90 222 EDDCEC 222 4)6(xx 3 13 x 3 13 DE 四、课堂小结 1、在数轴上画出表示n（n 为正整数）的点的方法. 2、利用辅助线构造 Rt . 3、利用直角三角形的公共边构造方程，简称“双勾股”. 五、作业 见素材 课
22、课 后后 反反 思思 课课 题题 17.117.1 勾股定理（四）勾股定理（四） 时间时间 教教 学学 目目 的的 知识与技知识与技 能能 利用勾股定理解决数学问题，进一步渗透方程思想和数形结合思 想. 过程与方过程与方 法法 运用勾股定理解决与直角三角形相关的问题. 情感态度情感态度1、通过研究一系列富有探究性的问题，培养学生与他人交流、合 B C A D C E 3 2 1 与价值观与价值观 作的意识和品质 2、通过对勾股定理的运用体会数学的应用价值. 教学重点教学重点 勾股定理的应用. 教学难点教学难点 利用勾股定理建立方程. 教学手段教学手段 讲练结合 教教 学学 内内 容容 和和 过
23、过 程程 一、复习提问 1、直角三角形的性质： (1)直角三角形两锐角互余. (2)斜边大于直角边. (3)直角三角形中，30 角所对的直角边等于斜边一半. (4)勾股定理 2、在数轴上画出表示n（n 为正整数）的点的方法. 二、新课 例 1、(1) 已知直角三角形有一个锐角为 30 ，求这个直角三角形三边的比值. (2) 已知等腰直角三角形，求其三边的比值. （此题让学生练习） 解：(1) 设 BC=k 在 Rt ABC 中，C=90 ，A=30 AB=2BC=2k 在 Rt ABC 中，C=90 ， AC2=AB2-BC2 (勾股定理) AC= 22 BCAB =kkk3)2( 22 BC
24、ACAB=132 (2) 设 BC=k 在 Rt ABC 中，C=90 ，A=45 AC=BC=k 在 Rt ABC 中，C=90 ， AB2=AC2+BC2 (勾股定理) AB= 22 BCAC=kkk2 22 BCACAB=112 小结：记住以上结论. 例 2、某风景区的湖心岛有一凉亭 A，其正东方向有一棵树 B，小明想测量 A、B 之间的距离，他从湖边 C 处测得 A 在北偏西 45方向上，测得 B 在北偏东 30方向上，且量得 B、C 之间的距离为 100 米，根据上述测量结果，请你 帮助小明计算 A、B 之间的距离是多少？（只分析，不板书） 解：过 C 作 CDAB 于 D 在 Rt
25、 BCD 中，CDB=90 ，1=30 C A B 30 C A B 45 A C B 东 北 50 2 1 BCBD 在 Rt BCD 中，CDB=90 750050100 2222 DBCBCD 在 Rt CDA 中，CDA=90 ，2=45 AD=CD=7500 )507500(DBADAB米. 例 3、ABC 中，AB=AC=4，点 P 在 BC 边上运动，猜想PCPBAP 2 的值是否随 点 P 位置的变化而变化，并证明你的猜想. 结论：不变 证明：过 A 作 ADBC 于 D AB=AC，ADBC BD=CD BP=BD-PD，PC=CD+PD=BD+PD )( 22 PDBDPD
26、BDAPPCPBAP 222 PDBDAP 在 Rt ABD 中，ADB=90 ， 222 ADABBD 在 Rt APD 中，ADP=90 ， 222 ADAPPD )()( 222222 ADAPADABAPPCPBAP 2 AB AB =4 16 22 ABPCPBAP PCPBAP 2 的值不随点 P 位置的变化而变化. 小结：利用代数计算来证明几何问题. 例 4、已知：如图，AB=AC=20，BC=32，DAC=90 ，求 BD 的长. 解：作 AEBC 于 E AB=AC，AEBC BE=EC= 2 1 BC=16 设 BD=x，则 DE=16-x DC=32-x 在 Rt AEC
27、 中，AEC=90 222 ECACAE=144 在 Rt ADE 中，AED=90 222 DEADAE 144 22 DEAD 在 Rt ADC 中，DAC=90 222 ACCDAD ECDB A x 20 20 D A BC P A D C B 2 1 东 北 144 222 DEACCD 144)16(20)32( 222 xx x=7 BD=7 小结：通过添加辅助线，构造直角三角形，利用方程思想和勾股定理求边长. 由于 在不同的 Rt 中用勾股定理，故要分清每个 Rt 中的直角边，斜边，正确 使用勾股定理. 三、课堂练习 1、如图：C=90 ，图中有阴影的三个正方形的面积 S1，S
28、2，S3有什么关系？ 2、如图：C=90 ，图中有阴影的三个半圆的面积 S1，S2，S3有什么关系？（P71 / 11） 3、如图：C=90 ，ABC 的面积为 20，在 AB 的同侧，分别以 AB，BC，AC 为直径作三个半圆， 则阴影部分 （即“希波克拉底月牙形”） 的面积为 20 . （P71 / 12） 4、直线 l 上依次摆放着七个正方形 (如图所示)已知斜放置的三个正方形的面积 分别是 1、 2、 3， 正放置的四个正方形的面积依次是 S1、 S2、 S3 、 S4， 则 S1+S2+S3 +S4= 4 . 四、课堂小结 1、30 、45 直角三角形三边关系. 1、利用辅助线构造 Rt . 2、利用勾股定理构造方程. 五、作业 见素材 S1 S3 S2 A B C 第 2 题图 C A B 第 3 题图 S3 S1 S2 A C B 第 1 题图 1 2 3 l 1 S 2 S 3 S 4 S 课课 后后 反反 思思
