1、 17.2 17.2 勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理 学习目标学习目标 知识：1体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理。 能力：探究勾股定理的逆定理的证明方法。 情感：理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。 学习重点学习重点: : 1.重点：掌握勾股定理的逆定理及证明。 学习难点学习难点: : 1.勾股定理的逆定理的证明。 【导课】【导课】 创设情境：怎样判定一个三角形是等腰三角形？ 怎样判定一个三角形是直角三角形？和等腰三角形的判定进行对比， 从勾股定 理的逆命题进行猜想。 【多元互动【多元互动 合作探究】合作探究】 例 1（补充）说出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题成立吗
2、？ 同旁内角互补，两条直线平行。 如果两个实数的平方相等，那么两个实数平方相等。 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。 直角三角形中 30角所对的直角边等于斜边的一半。 分析：每个命题都有逆命题，说逆命题时注意将题设和结论调换即可，但要分清题设 和结论，并注意语言的运用。 理顺他们之间的关系，原命题有真有假，逆命题也有真有假，可能都真，也可能一真 一假，还可能都假。 解略。 例 2（P74 探究）证明：如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a 2+b2=c2，那么这个三角形是 直角三角形。 分析：注意命题证明的格式，首先要根据题意画出图形，然后写已知求证。 如何判断一个三角形是直角三角
3、形，现在只知道若有一个角 是直角的三角形是直角三角形，从而将问题转化为如何判断一个角 是直角。 利用已知条件作一个直角三角形，再证明和原三角形全等， 使问题得以解决。 先做直角，再截取两直角边相等，利用勾股定理计算斜边 A1B1=c，则通过三边对应相等的两个三角形全等可证。 先让学生动手操作， 画好图形后剪下放到一起观察能否重合， 激发学生的兴趣和求知 欲，再探究理论证明方法。充分利用这道题锻炼学生的动手操作能力，由实践到理论学生更 容易接受。 证明略。 例 3（补充）已知：在ABC 中，A、B、C 的对边分别是 a、b、c，a=n 21，b=2n， c=n 21（n1） a b c a b
4、BC AA1 C1 B1 求证：C=90。 分析： 运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的一般步骤： 先判 断那条边最大。分别用代数方法计算出 a 2+b2和 c2的值。判断 a2+b2和 c2是否相等，若 相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形。 要证C=90，只要证ABC 是直角三角形，并且 c 边最大。根据勾股定理的逆定理 只要证明 a 2+b2=c2即可。 由于 a 2+b2= （n21）2 （2n）2=n42n21， c2= （n21）2= n42n21， 从而 a2+b2=c2， 故命题获证。 【训练检测【训练检测 目标探究】目标探究】 1判断题。 在一个三
5、角形中， 如果一边上的中线等于这条边的一半， 那么这条边所对的角是直角。 命题： “在一个三角形中，有一个角是 30，那么它所对的边是另一边的一半。 ”的 逆命题是真命题。 勾股定理的逆定理是： 如果两条直角边的平方和等于斜边的平方， 那么这个三角形是 直角三角形。 ABC 的三边之比是 1：1：2，则ABC 是直角三角形。 2ABC 中A、B、C 的对边分别是 a、b、c，下列命题中的假命题是（ ） A如果CB=A，则ABC 是直角三角形。 B如果 c 2= b2a2，则ABC 是直角三角形，且C=90。 C如果（ca） （ca）=b 2，则ABC 是直角三角形。 D如果A：B：C=5：2：
6、3，则ABC 是直角三角形。 3下列四条线段不能组成直角三角形的是（ ） Aa=8，b=15，c=17 Ba=9，b=12，c=15 Ca=5，b=3，c=2 Da：b：c=2：3：4 4已知：在ABC 中，A、B、C 的对边分别是 a、b、c，分别为下列长度，判断该 三角形是否是直角三角形？并指出那一个角是直角？ a=3，b=22，c=5； a=5，b=7，c=9； a=2，b=3，c=7； a=5，b=62，c=1。 第十七章第十七章 勾股定理勾股定理 17.2 17.2 勾股定理的逆定理（勾股定理的逆定理（2 2） 学习目标学习目标 知识：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。 能力：进
7、一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。 情感： 学习重点学习重点: : 1重点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。 学习难点学习难点: : 1.灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。 【导课】【导课】 创设情境： 在军事和航海上经常要确定方向和位置， 从而使用一些数学知识和数学方法。 【多元互动【多元互动 合作探究】合作探究】 例 1（P75 例 2） 分析：了解方位角，及方位名词； 依题意画出图形； 依题意可得 PR=121.5=18，PQ=161.5=24， QR=30； 因为 24 2+182=302，PQ2+PR2=QR2，根据勾股定理 的逆定理，知QPR=90； PRS=QP
8、R-QPS=45。 小结：让学生养成“已知三边求角，利用勾股定理的逆定理”的意识。 例 2（补充）一根 30 米长的细绳折成 3 段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较 短边长 7 米，比较长边短 1 米，请你试判断这个三角形的形状。 分析：若判断三角形的形状，先求三角形的三边长； 设未知数列方程，求出三角形的三边长 5、12、13； 根据勾股定理的逆定理，由 5 2+122=132，知三角形为直角三角形。 解略。 【训练检测【训练检测 目标探究】目标探究】 1小强在操场上向东走 80m 后，又走了 60m，再走 100m 回到原地。小强在 操场上向东走了 80m 后，又走 60m 的方向是
9、 。 2如图，在操场上竖直立着一根长为 2 米的测影竿，早晨测得它的影长为 4 米，中午测得它的影长为 1 米，则 A、B、C 三点能否构成直角三角形？为什 么？ 3如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立 即从相距 13 海里的 A、B 两个基地前去拦截，六分钟后同时到达 C 地将其拦截。已知甲巡逻 艇每小时航行 120 海里，乙巡逻艇每小时航行 50 海里，航向为北偏西 40，问：甲巡逻艇 的航向？ E N AB C A BC D 【迁移应用【迁移应用 拓展拓展探究】探究】 1一根 24 米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为 ， 此三角形
10、的形状为 。 2一根 12 米的电线杆 AB，用铁丝 AC、AD 固定，现已知用去铁丝 AC=15 米，AD=13 米， 又测得地面上 B、C 两点之间距离是 9 米，B、D 两点之间距离是 5 米，则电线杆和地面是否 垂直，为什么？ 3如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算一下 土地的面积，以便计算一下产量。小明找了一卷米尺，测得 AB=4 米，BC=3 米，CD=13 米， DA=12 米，又已知B=90。 授课时间：授课时间： 累计课时：累计课时： 第十七章第十七章 勾股定理勾股定理 17.2 17.2 勾股定理的逆定理（勾股定理的逆定理（3 3） 学习目
11、标学习目标 知识：应用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形。 能力：灵活应用勾股定理及逆定理解综合题。 情感：进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。 学习重点学习重点: : 利用勾股定理及逆定理解综合题。 学习难点学习难点: : 利用勾股定理及逆定理解综合题。 教学流程教学流程 【导课】【导课】 勾股定理和它的逆定理是黄金搭档，经常综合应用来解决一些难度较大的题目。 【多元互动【多元互动 合作探究】合作探究】 例 1（补充）已知：在ABC 中，A、B、C 的对边分别是 a、b、c，满足 a 2+b2+c2+338=10a+24b+26c。 试判断ABC 的形状。 D C A B
12、 A BC D E 分析：移项，配成三个完全平方；三个非负数的和为 0，则都为 0；已知 a、b、 c，利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状为直角三角形。 例 2（补充）已知：如图，四边形 ABCD，ADBC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3。 求：四边形 ABCD 的面积。 分析：作 DEAB，连结 BD，则可以证明ABDEDB（ASA） ； DE=AB=4，BE=AD=3，EC=EB=3；在DEC 中，3、4、5 勾股数，DEC 为直角三角形， DEBC；利用梯形面积公式可解，或利用三角形的面积。 例 3（补充）已知：如图，在ABC 中，CD 是 AB 边上的高，且 CD 2=ADB
13、D。 求证：ABC 是直角三角形。 分析：AC 2=AD2+CD2，BC2=CD2+BD2 AC 2+BC2=AD2+2CD2+BD2 =AD 2+2ADBD+BD2 =（AD+BD） 2=AB2 【训练检测【训练检测 目标探究】目标探究】 1若ABC 的三边 a、b、c，满足（ab） （a 2b2c2）=0，则ABC 是（ ） A等腰三角形； B直角三角形； C等腰三角形或直角三角形； D等腰直角三角形。 2若ABC 的三边 a、b、c，满足 a：b：c=1：1：2，试判断ABC 的形状。 3已知：如图，四边形 ABCD，AB=1，BC= 4 3 ，CD= 4 13 ，AD=3，且 ABBC
14、。 求：四边形 ABCD 的面积。 4已知：在ABC 中，ACB=90，CDAB 于 D，且 CD 2=ADBD。 求证：ABC 中是直角三角形。 【迁移应用【迁移应用 拓展拓展探究】探究】 1若ABC 的三边 a、b、c 满足 a 2+b2+c2+50=6a+8b+10c，求ABC 的面积。 2在ABC 中，AB=13cm，AC=24cm，中线 BD=5cm。 求证：ABC 是等腰三角形。 BA C D BC A E D A BC D 3已知：如图，1=2，AD=AE，D 为 BC 上一点，且 BD=DC，AC 2=AE2+CE2。 求证：AB 2=AE2+CE2。4已知ABC 的三边为 a、b、c，且 a+b=4，ab=1，c= 14，试判 定ABC 的形状。
