1、2022-11-13郑平正制作3.1回归分析的基回归分析的基本思想及其初步本思想及其初步应用（三）应用（三）高二数学选修高二数学选修2-32022-11-13比数学3中“回归”增加的内容数学数学统计统计1.画散点图画散点图2.了解最小二乘法了解最小二乘法的思想的思想3.求回归直线方程求回归直线方程ybxa4.用回归直线方程用回归直线方程解决应用问题解决应用问题选修2-3统计案例5.引入线性回归模型引入线性回归模型ybxae6.了解模型中随机误差项了解模型中随机误差项e产产生的原因生的原因7.了解相关指数了解相关指数R2和模型拟合和模型拟合的效果之间的关系的效果之间的关系8.了解残差图的作用了解
2、残差图的作用9.利用线性回归模型解决一类利用线性回归模型解决一类非线性回归问题非线性回归问题10.正确理解分析方法与结果正确理解分析方法与结果2022-11-13复习回顾复习回顾1、线性回归模型：、线性回归模型：y=bx+a+e，(3)其中其中a和和b为模型的未知参数，为模型的未知参数，e称为随机误差称为随机误差。y=bx+a+e，E(e)=0,D(e)=(4)2.2、数据点和它在回归直线上相应位置的差异是随机、数据点和它在回归直线上相应位置的差异是随机误差的效应，称为误差的效应，称为残差残差。)iiyy(iiieyy=3、对每名女大学生计算这个差异，然后分别将所得、对每名女大学生计算这个差异
3、，然后分别将所得的值平方后加起来，用数学符号表示为：的值平方后加起来，用数学符号表示为：称为称为残差平方和残差平方和，它代表了随机误差的效应。它代表了随机误差的效应。21()niiiyy2022-11-134、两个指标：两个指标：（1）类比样本方差估计总体方差的思想，可以用作）类比样本方差估计总体方差的思想，可以用作为的估计量，越小，预报精度越高。为的估计量，越小，预报精度越高。22111(,)(2)22nieQ a b nnn22（2）我们可以用）我们可以用相关指数相关指数R2来刻画回归的效果，其来刻画回归的效果，其计算公式是：计算公式是：222112211()()1()()nniiiiin
4、niiiiyyyyRyyyy 2022-11-13表表3-2列出了女大学生身高和体重的原始数据以及相应的残差数据。列出了女大学生身高和体重的原始数据以及相应的残差数据。在研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来粗略判断它们是否线在研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来粗略判断它们是否线性相关，是否可以用回归模型来拟合数据。性相关，是否可以用回归模型来拟合数据。5、残差分析与残差图的定义：、残差分析与残差图的定义：然后，我们可以通过残差来判断模型拟合的效果，判断原始数据中是然后，我们可以通过残差来判断模型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据，否存在可疑数据，这方面的分析工作称为残差分
5、析这方面的分析工作称为残差分析。12,ne ee编号编号12345678身高身高/cm165165157170175165155170体重体重/kg4857505464614359残差残差-6.3732.6272.419-4.6181.1376.627-2.8830.382我们可以利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为残差，横我们可以利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为作出的图形称为残差图残差图。2022-11-13残差图的制作及作用残差图的制作及作用1 1、坐标
6、纵轴为残差变量，横轴可以有不同的选择；、坐标纵轴为残差变量，横轴可以有不同的选择；2 2、若模型选择的正确，残差图中的点应该分布在以横、若模型选择的正确，残差图中的点应该分布在以横轴为心的带形区域；轴为心的带形区域；3 3、对于远离横轴的点，要特别注意。、对于远离横轴的点，要特别注意。身高与体重残差图异常点错误数据模型问题几点说明：几点说明：第一个样本点和第第一个样本点和第6个样本点的残差比较大，需要确认在采集过程中是否有人为的个样本点的残差比较大，需要确认在采集过程中是否有人为的错误。如果数据采集有错误，就予以纠正，然后再重新利用线性回归模型拟合数据；错误。如果数据采集有错误，就予以纠正，然
7、后再重新利用线性回归模型拟合数据；如果数据采集没有错误，则需要寻找其他的原因。如果数据采集没有错误，则需要寻找其他的原因。另外，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型计较合适，这样另外，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型计较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高。的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高。2022-11-13例例1在一段时间内，某中商品的价格在一段时间内，某中商品的价格x元和需求量元和需求量Y件之间件之间的一组数据为：的一组数据为：求出求出Y对的回归直线方程，并说明拟合效果的好坏。对
8、的回归直线方程，并说明拟合效果的好坏。价格价格x1416182022需求量需求量Y1210753解：解：18,7.4,xy555221111660,327,620,iiiiiiixyx y7.4 1.15 1828.1.a1.1528.1.yx 回归直线方程为：51522155iiiiix yxybxx26205 18 7.41.15.16605 18 2022-11-13例例1在一段时间内，某中商品的价格在一段时间内，某中商品的价格x元和需求量元和需求量Y件之间件之间的一组数据为：的一组数据为：求出求出Y对的回归直线方程，并说明拟合效果的好坏。对的回归直线方程，并说明拟合效果的好坏。价格价格
9、x1416182022需求量需求量Y1210753列出残差表为列出残差表为521()iiiyy0.3,521()iiyy53.2,5221521()1()iiiiiyyRyy 0.994因而，拟合效果较好。因而，拟合效果较好。iiyyiyy00.3-0.4-0.10.24.62.6-0.4-2.4-4.42022-11-13例例2关于关于x与与y有如下数据：有如下数据：有如下的两个线性模型：有如下的两个线性模型：（1）；（）；（2）试比较哪一个拟合效果更好。试比较哪一个拟合效果更好。x24568y30406050706.517.5yx717.yx2022-11-136 6、注意回归模型的适用范
10、围：、注意回归模型的适用范围：（1）回归方程只适用于我们所研究的样本的总体。样本数据）回归方程只适用于我们所研究的样本的总体。样本数据来自哪个总体的，预报时也仅适用于这个总体。来自哪个总体的，预报时也仅适用于这个总体。（2）模型的时效性。利用不同时间段的样本数据建立的模型，）模型的时效性。利用不同时间段的样本数据建立的模型，只有用来对那段时间范围的数据进行预报。只有用来对那段时间范围的数据进行预报。（3）建立模型时自变量的取值范围决定了预报时模型的适用）建立模型时自变量的取值范围决定了预报时模型的适用范围，通常不能超出太多。范围，通常不能超出太多。（4）在回归模型中，因变量的值不能由自变量的值
11、完全确定。）在回归模型中，因变量的值不能由自变量的值完全确定。正如前面已经指出的，某个女大学生的身高为正如前面已经指出的，某个女大学生的身高为172cm，我们，我们不能利用所建立的模型预测她的体重，只能给出身高为不能利用所建立的模型预测她的体重，只能给出身高为172cm的女大学生的平均体重的预测值。的女大学生的平均体重的预测值。2022-11-137、一般地，建立回归模型的基本步骤为：、一般地，建立回归模型的基本步骤为：（1）确定研究对象，明确哪个变量是解析变量，哪个变量是）确定研究对象，明确哪个变量是解析变量，哪个变量是预报变量。预报变量。（2）画出确定好的解析变量和预报变量的散点图，观察它
12、们）画出确定好的解析变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（如是否存在线性关系等）。之间的关系（如是否存在线性关系等）。（3）由经验确定回归方程的类型（如我们观察到数据呈线性）由经验确定回归方程的类型（如我们观察到数据呈线性关系，则选用线性回归方程关系，则选用线性回归方程y=bx+a）.（4）按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二乘法）。）按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二乘法）。（5）得出结果后分析残差图是否有异常（个别数据对应残差）得出结果后分析残差图是否有异常（个别数据对应残差过大，或残差呈现不随机的规律性，等等），过存在异常，则过大，或残差呈现不随机的规律性，等等），过存在
13、异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等。检查数据是否有误，或模型是否合适等。2022-11-13案例案例2一只红铃虫的产卵数一只红铃虫的产卵数y和温度和温度x有关。现收有关。现收集了集了7组观测数据列于表中：组观测数据列于表中：（1 1）试建立产卵数）试建立产卵数y y与温度与温度x x之间的回归方程；并之间的回归方程；并预测温度为预测温度为2828o oC C时产卵数目。时产卵数目。（2 2）你所建立的模型中温度在多大程度上解释了）你所建立的模型中温度在多大程度上解释了产卵数的变化？产卵数的变化？温度温度xoC21232527293235产卵数产卵数y/个个711212466115325
14、2022-11-13选变量选变量解：选取气温为解释变量解：选取气温为解释变量x x，产卵数，产卵数为预报变量为预报变量y y。画散点图画散点图假设线性回归方程为假设线性回归方程为：=bx+a选模型选模型分析和预测分析和预测当当x=28时，时，y=19.8728-463.7393估计参数估计参数由计算器得：线性回归方程为由计算器得：线性回归方程为y=y=19.8719.87x x-463.73-463.73相关指数相关指数R R2 2=r r2 20.8640.8642 2=0.7464=0.7464所以，一次函数模型中温度解释了所以，一次函数模型中温度解释了74.64%的产卵数变化。的产卵数变
15、化。探索新知探索新知050100150200250300350036912151821242730333639方案1当当x=28时，时，y=19.8728-463.7393一元线性模型一元线性模型2022-11-13奇怪？奇怪？9366?模型不好？模型不好？2022-11-13y=bx2+a变换变换y=bt+a非线性关系线性关系非线性关系线性关系方案2问题问题选用选用y=bx2+a，还是，还是y=bx2+cx+a？问题问题3-200-1000100200300400-40-30-20-10010203040产卵数产卵数气温气温问题问题2如何求如何求a、b？合作探究合作探究t=x2二次函数模型二
16、次函数模型2022-11-13方案2解答平方变换平方变换：令令t=xt=x2 2，产卵数，产卵数y y和温度和温度x x之间二次函数模型之间二次函数模型y=bxy=bx2 2+a+a就转化为产卵数就转化为产卵数y y和温度的平方和温度的平方t t之间线性回归模型之间线性回归模型y=bt+ay=bt+a温度温度21232527293235温度的平方温度的平方t44152962572984110241225产卵数产卵数y/个个711212466115325作散点图，并由计算器得：作散点图，并由计算器得：y y和和t t之间的线性回归方程为之间的线性回归方程为y=y=0.3670.367t t-20
17、2.54-202.54，相关指数，相关指数R R2 2=r r2 20.8960.8962 2=0.802=0.802将将t=xt=x2 2代入线性回归方程得：代入线性回归方程得：y=y=0.3670.367x x2 2-202.54-202.54当当x x=28=28时时，y y=0.367=0.36728282 2-202.5485202.5485，且，且R R2 2=0.802=0.802，所以，二次函数模型中温度解所以，二次函数模型中温度解释了释了80.2%80.2%的产卵数变化。的产卵数变化。产卵数y/个0501001502002503003500150300450600750900
18、 1050 1200 1350t2022-11-13问题问题变换变换y=bx+a非线性关系线性关系非线性关系线性关系2110c xyc问题问题如何选取指数函数的底如何选取指数函数的底?-50050100150200250300350400450-10-50510152025303540产卵数产卵数气温气温指数函数模型指数函数模型方案3合作探究合作探究对数对数2022-11-13方案3解答温度温度xoC21232527293235z=lgy0.851.041.321.381.822.062.51产卵数产卵数y/个个71121246611532500.40.81.21.622.42.8036912
19、 15 18 21 24 27 30 33 36 39xz当当x=28x=28o oC C时，时，y44y44，指数回归模型，指数回归模型中温度解释了中温度解释了98.5%98.5%的产卵数的变化的产卵数的变化由计算器得：由计算器得：z z关于关于x x的线性回归方程的线性回归方程为为z=0.118z=0.118x x-1.665-1.665，相关指数相关指数R R2 2=r r2 20.99250.99252 2=0.985=0.9850.118x-1.665 10y 对数变换：在中两边取常用对数得对数变换：在中两边取常用对数得令，则令，则就转换为就转换为z z=bx+a=bx+a22111
20、221lglg(10)lglg10lglg10lgc xc xycccc xc xc2110c xyc12lg,lg,zy ac bc2110c xyc2022-11-13最好的模型是哪个最好的模型是哪个?-200-1000100200300400-40-30-20-10010203040产卵数产卵数气温气温-50050100150200250300350400450-10-50510152025303540产卵数产卵数气温气温线性模型线性模型二次函数模型二次函数模型指数函数模型指数函数模型2022-11-13比一比比一比函数模型函数模型相关指数相关指数R2线性回归模型线性回归模型0.7464
21、二次函数模型二次函数模型0.802指数函数模型指数函数模型0.985最好的模型是哪个最好的模型是哪个?2022-11-13用身高预报体重时，需要注意下列问题：用身高预报体重时，需要注意下列问题：1、回归方程只适用于我们所研究的样本的总体；、回归方程只适用于我们所研究的样本的总体；2、我们所建立的回归方程一般都有时间性；、我们所建立的回归方程一般都有时间性；3、样本采集的范围会影响回归方程的适用范围；、样本采集的范围会影响回归方程的适用范围；4、不能期望回归方程得到的预报值就是预报变量的精确值。、不能期望回归方程得到的预报值就是预报变量的精确值。事实上，它是预报变量的可能取值的平均值。事实上，它
22、是预报变量的可能取值的平均值。这些问题也使用于其他问题。这些问题也使用于其他问题。涉及到统计的一些思想：涉及到统计的一些思想：模型适用的总体；模型适用的总体；模型的时间性；模型的时间性；样本的取值范围对模型的影响；样本的取值范围对模型的影响；模型预报结果的正确理解。模型预报结果的正确理解。小结小结2022-11-132022-11-132022-11-13练习练习假设关于某设备的使用年限假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用和所支出的维修费用y（万（万元），有如下的统计资料。元），有如下的统计资料。使用年限使用年限x23456维修费用维修费用y2.23.85.56.57.0若由资料知若由
23、资料知,y对对x呈线性相关关系。试求：呈线性相关关系。试求：（1）线性回归方程的回归系数；）线性回归方程的回归系数；（2）求残差平方和；）求残差平方和；（3）求相关系数；）求相关系数；（4）估计使用年限为）估计使用年限为10年时，维修费用是多少？年时，维修费用是多少？ybxa ab、2R2022-11-13解：解：（1）由已知数据制成表格。）由已知数据制成表格。12345合计合计23456202.23.85.56.57.0254.411.422.032.542.0112.34916253690ixiyiix y2ix4;5;xy5521190;112.3.iiiiixx yi1.23,0.08.ba1.230.08.yx所以有所以有
