1、第二讲第二讲 参数方程参数方程1、参数方程的概念、参数方程的概念（1）在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐）在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标标x、y都是某个变数都是某个变数t的函数，即的函数，即并且对于并且对于t的每一个允许值，由上述方程组所确定的点的每一个允许值，由上述方程组所确定的点M（x,y）都在这条曲线上，那么上述方程组就叫做这）都在这条曲线上，那么上述方程组就叫做这条曲线的条曲线的参数方程参数方程，联系，联系x、y之间关系的变数叫做之间关系的变数叫做参参变数变数，简称，简称参数参数。参数方程的参数可以是有物理、几。参数方程的参数可以是有物理、几何意义的变数，也可以是没有
2、明显意义的变数。何意义的变数，也可以是没有明显意义的变数。)()(tgytfx（2）相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲线上点的坐标关系的方程，叫做曲线的线上点的坐标关系的方程，叫做曲线的普通方程普通方程。即的函数都是纵坐标、的横坐标点根据三角函数定义圆半径为的坐标为如果点,),(0yxPOPPryxPsincosryrx并且对于并且对于 的每一个允许值的每一个允许值,由方程组由方程组所确定的点所确定的点P(x,y),都在圆都在圆O上上.o思考思考1：圆心为原点，半径为圆心为原点，半径为r 的圆的参数方程？的圆的参数方程？-555-5rp0P(x,y
3、)我们把方程组叫做圆心在原点、半径为我们把方程组叫做圆心在原点、半径为r的圆的的圆的参数方程，参数方程，是参数是参数.观察观察1sincos11ryrx?,)()(),(:22221那么参数方程是什么呢为的圆的标准方程、半径为圆心为思考rbyaxrbaO观察观察25-5-55v(a,b)oP(x,y)O1),(111yxP(a,b)r11111(,),(,)(,),O a brOrOP x yOP x y圆心为、半径为 的圆可以看作由圆心为原点、半径为 的圆平移得到 设圆上任意一点是圆 上的点平移得到的由平移公式 有又又所以所以sincosrbyraxbyyaxx11（3）参数方程与普通方程的
4、互化）参数方程与普通方程的互化sincosryrxx x2 2+y+y2 2=r=r2 2222)()(rbyaxsincosrbyrax注：注：1、参数方程的特点是没有直接体现曲线上点的、参数方程的特点是没有直接体现曲线上点的横、纵坐标之间的关系，而是分别体现了点的横、纵横、纵坐标之间的关系，而是分别体现了点的横、纵坐标与参数之间的关系。坐标与参数之间的关系。2、参数方程的应用往往是在、参数方程的应用往往是在x与与y直接关系很难或不直接关系很难或不可能体现时，通过参数建立间接的联系。可能体现时，通过参数建立间接的联系。已知曲线C的参数方程是(1)判断点（0，1）,(5,4)是否在上.(2)已
5、知点（，a）在曲线上，求a.1232tytx例例1 1、已知圆方程已知圆方程x x2 2+y+y2 2+2x-6y+9=0+2x-6y+9=0，将它，将它化为参数方程。化为参数方程。解：解：x x2 2+y+y2 2+2x-6y+9=0+2x-6y+9=0化为标准方程，化为标准方程，（x+1x+1）2 2+（y-3y-3）2 2=1=1，参数方程为参数方程为sin3cos1yx(为参数为参数)练习：练习：1.填空：已知圆填空：已知圆O的参数方程是的参数方程是sin5cos5yx(0 2 )5 5 32,22QQ如果圆上点 所对应的坐标是则点 对应的参数 等于如果圆上点如果圆上点P所对应的参数所
6、对应的参数 ，则点，则点P的坐标是的坐标是35235,25322cos2.()2sin.,2.,2.xyABCD 选择题：参数方程为参数 表示的曲线是圆心在原点 半径为 的圆圆心不在原点 但半径为 的圆不是圆以上都有可能A半径为表示圆心为参数方程、填空题sin2cos2)1(:3yx的圆，化为标准方程为（2，-2）112222yxsin22cos21yx化为参数方程为把圆方程0142)2(22yxyxxMPAyO解解:设设M的坐标为的坐标为(x,y),可设点可设点P坐标为坐标为(4cos,4sin)点点M的轨迹是以的轨迹是以(6,0)为圆心、为圆心、2为半径的圆。为半径的圆。由中点公式得由中点
7、公式得:点点M的轨迹方程为的轨迹方程为x=6+2cosy=2sinx=4cosy=4sin圆圆x2+y2=16的参数方程为的参数方程为例例2.如图如图,已知点已知点P是圆是圆x2+y2=16上的一个动点上的一个动点,点点A是是x轴上的定点轴上的定点,坐标为坐标为(12,0).当点当点P在圆在圆 上运动时上运动时,线段线段PA中点中点M的轨迹是什么的轨迹是什么?观察观察3解解:设设M的坐标为的坐标为(x,y),点点M的轨迹是以的轨迹是以(6,0)为圆心、为圆心、2为半径的圆。为半径的圆。由中点坐标公式得由中点坐标公式得:点点P的坐标为的坐标为(2x-12,2y)(2x-12)2+(2y)2=16
8、即即 M的轨迹方程为的轨迹方程为(x-6)2+y2=4点点P在圆在圆x2+y2=16上上xMPAyO例例2.如图如图,已知点已知点P是圆是圆x2+y2=16上的一个动点上的一个动点,点点A是是x轴上的定点轴上的定点,坐标为坐标为(12,0).当点当点P在圆在圆 上运动时上运动时,线段线段PA中点中点M的轨迹是什么的轨迹是什么?例例3、已知点已知点P（x，y）是圆）是圆x2+y2-6x-4y+12=0上动上动点，求（点，求（1）x2+y2的最值，的最值，（2）x+y的最值，的最值，（3）P到直线到直线x+y-1=0的距离的距离d的最值。的最值。解：圆解：圆x2+y2-6x-4y+12=0即（即（
9、x-3）2+（y-2）2=1，用参数方程表示为用参数方程表示为sin2cos3yx由于点由于点P在圆上，所以可设在圆上，所以可设P（3+cos，2+sin）（1）x2+y2=(3+cos)2+(2+sin)2=14+4 sin+6cos=14+2 sin(+).13(其中其中tan =3/2)x2+y2的最大值为的最大值为14+2 ，最小值为，最小值为14-2 。1313(2)x+y=3+cos+2+sin=5+sin（+）24 x+y的最大值为的最大值为5+，最小值为，最小值为5-。22(3)2)4sin(2421sin2cos3d显然当显然当sin（+）=1时，时，d取最大值，最取最大值，
10、最小值，分别为小值，分别为 ，。4122221例例4、将下列参数方程化为普通方程：将下列参数方程化为普通方程：sin3cos32yx(1)2cossinyx(2)(3)x=t+1/tx=t+1/ty=ty=t2 2+1/t+1/t2 2（1）（）（x-2）2+y2=9（2）y=1-2x2（-1x1）（3）x2-y=2（X2或或x-2）步骤：步骤：（1）消参；）消参；（2）求定义域。）求定义域。小小 结结:1、圆的参数方程、圆的参数方程2、参数方程与普通方程的概念、参数方程与普通方程的概念3、圆的参数方程与普通方程的互化、圆的参数方程与普通方程的互化4、求轨迹方程的三种方法：相关点点问、求轨迹方
11、程的三种方法：相关点点问题（代入法）；题（代入法）；参数法；定义法参数法；定义法5、求最值、求最值)(2110012为参数，表示时间、tgthytx)(4132,41,32),(2为参数以时间的轨迹的参数方程为于是点则，动点的位置是、设经过时间ttytxMtytxyxMtxyACBO6)23(sin)21(cos)23(sin)21(cossin)1(cos)sin,(cos)23,21(),23,21(),0,1(,)(sincos,13222222222MCMBMAMCBAyxxCBABC则设点的坐标分别为为参数是那么外接圆的参数方程轴对称关于，时点如图的平面直角坐标系，建立的外接圆的半径为、解：不妨设双曲线；）（一段抛物线；为端点的以）（直线；、解,43)2,1(),2,1(,1,1,22,072)1(;4222yxxxyyx)(sincos)2()(113)1(5442为参数为参数、ayaxttyttx
