1、 M 文科数学试题 第 1 页（共 19 页） 2020 年福建省高三毕业班质量检查测试年福建省高三毕业班质量检查测试 文文科数学答题分析科数学答题分析 1已知集合 28 x Ax，1,2,3B ，则AB A 1 B1,2 C2,3 D1,2,3 【答案答案】B 【考查意图考查意图】本小题以集合为载体，考查指数不等式的解法、集合的运算等基础知识，考查 运算求解能力，考查数学运算核心素养，体现基础性和综合性 【答题分析答题分析】只要掌握指数不等式的解法，求出集合A，再根据集合的定义及交集运算便 可求解；或者根据集合的定义、交集运算的含义，利用特殊值代入验证，排除错误选项，亦 可解决问题 解法一：
2、因为 3 22 x ，所以 3Ax x ，故AB 1,2 ，故选 B 解法二：验证法，由3A，排除 C，D；由2AB，排除 A，故选 B 【错因分析错因分析】 选择 A 答案，解不等式28 x 出错，得到 2x ，导致错误； 选择 C 答案，解不等式28 x 出错，得到0 3x ，导致错误； 选择 D 答案，审题不认真，将28 x 误为28 x ，导致错误；或者交集运算时，端点的取舍 出错 【难度属性难度属性】属于容易题 2复数z的共轭复数z满足1 i2iz，则z A2 B2 C 2 2 D 1 2 【答案答案】B 【考查意图考查意图】本小题以复数为载体，考查复数的模、共轭复数概念及复数四则运
3、算等基础知 识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，考查数学运算核心素养，体现基础性 【答题分析答题分析】 只要掌握复数代数形式的四则运算法则， 理解共轭复数的概念及复数的模的概 念和求法，即可解决问题；或者利用复数模的运算性质，亦可解决问题 解法一： 2i 1i2i22i 1i 1i1i 1i2 z ，得1 iz ，2z ，故选 B 解法二：由 1 i2iz 得 1 i2iz ，所以 2i 2 1i z ，从而2z ，故选 B 【错因分析错因分析】 选择 A 答案，运用复数代数形式求模的公式时，忘记开方，导致错误； 选择 C 答案，概念不清，误认为 1 z z ，导致错误； 选择 D 答案
4、，概念不清，误认为 1 z z ，且计算不细心，忘记开方，导致错误 【难度属性难度属性】属于容易题 M 文科数学试题 第 2 页（共 19 页） 3若 3 sin 5 ，则cos2 A 24 25 B 7 25 C 7 25 D 24 25 【答案答案】C 【考查意图考查意图】本小题以三角化简求值为载体，考查诱导公式、二倍角公式等基础知识，考查 运算求解能力，考查化归与转化思想，考查数学运算素养，体现基础性和综合性 【答题分析答题分析】只要掌握三角函数诱导公式及二倍角公式即可解决问题 解法一：由 3 sin 5 ，得 3 sin 5 所以 2 7 cos212sin 25 ，故选 C 解法二：
5、 2 7 cos2cos 2212sin 25 ，故选 C 【错因分析错因分析】 选择 A 答案，公式记忆出错，误认为 sin sin ，cos22sincos导致错误； 选择 B 答案，公式记忆出错，误认为 2 cos22sin1，导致错误； 选择 D 答案，公式记忆出错，误认为cos22sincos，导致错误 【难度属性难度属性】属于容易题 4设, x y满足约束条件 0, 20, 1 0, xy xy y 则2zxy的最大值为 A0 B3 C4 D5 【答案答案】D 【考查意图考查意图】本题以线性规划问题为载体，考查可行域及目标函数的最值等基础知识，考查 运算求解能力，考查数形结合思想，
6、考查直观想象、数学运算等核心素养，体现基础性 【答题分析答题分析】先画出可行域，做出目标函数对应的直线 2yxz ，经操作确认，当动直线 2yxz 过点 (2,1)C 时，截距z取得最大值；也可以通过直接求出可行域的边界交点，代 入求出目标函数在边界交点的值，通过比较知道点C为最优解 解法一：易知该可行域是一个以(0,0)O，(1,1)B，(2,1)C为顶点的 三角形区域(包括边界)当动直线2yxz 过点(2,1)C时，截距 z取得最大值 5，故选 D 解法二：依题意求出三条直线交点 (0,0)O ， (1,1)B ， (2,1)C ，代入 目标函数 2zxy ，求出相应函数值，并通过比较知道
7、点C为最 优解，故选 D 【错因分析错因分析】 选择 A 答案，审题不清，误认为题目所求是最小值； 选择 B 答案，对图形特征理解不到位，把最大值点判断成(1,1)B出错； 选择 C 答案，混淆点 (2,1)C 的横纵坐标代入 2zxy 导致出错 【难度属性难度属性】属于容易题 5已知 0.6 0.3a ， 0.5 0.3b ， 0.5 0.4c ，则 Aabc Bacb Cbca Dcba y x y=-2x+z y=1 x-2y=0 x-y=0 O CB M 文科数学试题 第 3 页（共 19 页） 【答案答案】D 【考查意图考查意图】本小题以数的大小比较为载体，考查幂函数、指数函数的性质
8、等基础知识，考 查抽象概括能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，考查数学抽象素 养，体现基础性和综合性 【答题分析答题分析】 只要掌握指数函数及幂函数的性质， 便可利用0.3xy 的单调性可判断a b ， 利用 0.5 yx的单调性判断b c ， 再根据不等式的传递性即可解决问题； 或根据指数函数、 幂函数的性质，分别比较 a b ， b c 与“1”的大小，再由, ,a b c均为正数，根据不等式基本性质 便可解决问题 解法一：由指数函数0.3xy 在定义域内单调递减，得a b ，由幂函数 0.5 yx在定义域内 的单调递增，得c b ，故选 D 解法二： 因为 6 5 0
9、.31 a b ， 且 0.5 3 1 4 b c ， 又因为, ,a b c都为正数， 得c ba ， 故选 D 【错因分析错因分析】 选择 A 答案，错以为指数函数0.3xy 是增函数，幂函数 0.5 yx是减函数； 选择 B 答案，错以为 0.60.5 0.30.4ac，导致错误； 选择 C 答案，错以为幂函数 0.5 yx是减函数，导致b c 的错误判断 【难度属性难度属性】属于容易题 6首项为2，公比为3的等比数列 n a的前n项和为 n S，则 A322 nn aS B22 nn aS C22 nn aS D34 nn aS 【答案答案】A 【考查意图考查意图】本小题以数列为载体，
10、考查等比数列的通项公式、前n项和公式等知识，考查 运算求解能力，考查化归与转化思想、特殊与一般思想，考查数学运算素养，体现基础性 【答题分析答题分析】 只要掌握数列等比数列的通项公式及前n项和公式， 得到 1 2 3n n a ，31 n n S ， 再通过消去3n即可得到正确选项；或由公比不为 1 的等比数列求和公式，推出 n a与 n S之间 的关系即可；或通过等比数列的前两项进行验证，排除错误选项，亦可解决问题 解法一：依题意有 1 2 3n n a ， 1 1 31 1 n n n aq S q ，再将 3 3 2 n n a代入 n S化简，得到 322 nn aS，故选 A 解法二
11、：利用等比数列前n项和公式 111 11 n n n aa qaa q S qq ，把 1 2,3aq代入化简，得 到322 nn aS，故选 A 解法三：将 1 2a ， 1 2S 代入四个选项，排除 B 选项；再将 22 6,8aS代入，排除 C，D， 故选 A 【错因分析错因分析】 选择 B 答案， 公式记忆出错， 得到2 3n n a ， 或者等比数列前n项和公式记成 1 1 n n aa S q ， M 文科数学试题 第 4 页（共 19 页） 导致错误； 选择 C 答案，错将等比数列前n项和公式记成 1 1 n n aa S q ，且运算出错； 选择 D 答案，将等比数列前n项和公
12、式记成 1n n aa q S q ，且运算出错 【难度属性难度属性】属于容易题 7函数 32 1 3 f xxxax的大致图象不可能是 【答案答案】C 【考查意图考查意图】本小题以三次函数图象为载体，考查导数及其应用等基础知识；考查运算求解 能力、 抽象概括能力、 推理论证能力， 考查分类与整合思想、 数形结合思想， 考查直观想象、 逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性和综合性 【答题分析答题分析】只要掌握应用导数研究函数的图象与性质的方法，通过求导并令导数为零，得 到若该函数存在极值点，则极值点必是 2 20xxa的两根 12 ,x x，且 12 2xx ，再结合 图象特征便可得到答案
13、 解： 2 2fxxxa，令 0fx，可得 2 20xxa，若函数存在极值点 12 ,x x，则 12 2xx ，又选项 C 的图象的极值点之和为正数，不可能是 f x的图象，故选 C 【错因分析错因分析】 选择 A 答案，误以为三次函数必有两个极值点； 选择 B 答案， 审题不认真， 误把“不可能是”看作“可能是”， 并通过取特殊值0a ， 得到 f x 图象为 B，导致错误； 选择 D 答案， 审题不认真， 误把“不可能是”看作“可能是”， 并通过取特殊值2a ， 得到 f x 图象为 D，导致错误 【难度属性难度属性】属于中档题 82020 年初，我国突发新冠肺炎疫情面对“突发灾难”，举
14、国上下一心，继解放军医疗 队于除夕夜飞抵武汉，各省医疗队也陆续增援，纷纷投身疫情防控与病人救治之中. 为 分担“逆行者”的后顾之忧，某校教师志愿者团队开展“爱心辅学”活动，为抗疫前线 工作者子女在线辅导功课今欲随机安排甲、乙 2 位志愿者为 1 位小学生辅导功课共 4 次，每位志愿者至少辅导 1 次，每次由 1 位志愿者辅导，则甲恰好辅导 2 次的概率为 A 1 3 B 2 7 C 3 7 D. 4 7 【答案答案】C 【考查意图考查意图】本小题以重大时事为背景，设计题型考查古典概型等基础知识，考查运算求解 M 文科数学试题 第 5 页（共 19 页） 能力、抽象概括能力、应用意识，考查统计与
15、概率思想、分类与整合思想，考查数学建模、 数学运算等核心素养，体现基础性和应用性 【答题分析答题分析】只要正确列举出所有基本事件，应用古典概型的概率公式，即可解决问题 解：由题意得所有不同方案有（甲，乙，乙，乙） ， （乙，甲，乙，乙） ， （乙，乙，甲，乙） ， （乙，乙，乙，甲） ， （甲，甲，乙，乙） ， （乙，乙，甲，甲） ， （甲，乙，乙，甲） ， （乙，甲， 甲，乙） ， （甲，乙，甲，乙） ， （乙，甲，乙，甲） ， （乙，甲，甲，甲） ， （甲，乙，甲，甲） ， （甲，甲，乙，甲） ， （甲，甲，甲，乙） 一共 14 个基本事件，其中（甲，甲，乙，乙） （乙， 乙，甲，甲） （
16、甲，乙，乙，甲） （乙，甲，甲，乙） （甲，乙，甲，乙） （乙，甲，乙，甲） 共 6 个符合题意的基本事件，故所求的概率为 63 147 ，故选 C 【错因分析错因分析】 选择 A 答案，误以为事件“甲恰好辅导 1 次”，“甲恰好辅导 2 次”，“甲恰好辅导 3 次”为 基本事件，或者误认为这三类事件所包含的基本事件个数相同，导致错误； 选择 B 答案，误以为事件“甲恰好辅导 1 次”，“甲恰好辅导 2 次”，“甲恰好辅导 3 次”所 包含的基本事件个数分别为4,2,1，导致错误； 选择 D 答案， 误认为A事件： “甲恰好辅导 2 次”与B事件： “乙恰好辅导 2 次”为对立事件， 1P A
17、P B ，导致错误 【难度属性难度属性】属于中档题 9已知函数 2sinf xx和 2cosg xx0图象的交点中，任意连续三个交点 均可作为一个等腰直角三角形的顶点为了得到 yg x的图象，只需把 yf x的图 象 A向左平移1个单位 B向左平移 2 个单位 C向右平移1个单位 D向右平移 2 个单位 【答案答案】A 【考查意图考查意图】本小题考查三角函数的图象与性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解 能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，考查数学运算素养，体现基础性和综合性 【答题分析答题分析】只要根据题意正确作出草图：等腰三角形的底边平行于x轴，且斜边长为函数 f x最小正周期再求
18、出相邻交点的纵坐标，得到该等腰直角三角形斜边上的高为 2，故 该三角形的斜边为 4， 即 f x的最小正周期为 4， 利用sinyAx 与 cosyAx 的函数图象特征， 即可得出结论； 或者求得 2 ， 再利用诱导公式， 便可得到 1g xf x 解法一：由题意得该等腰三角形的底边平行于x轴，且斜边长为函数 f x最小正周期令 f xg x，解得 0 4 4 k x ，kZ，故两函数图象交点的坐标为 00 ,xf x 相邻两 个交点的纵坐标分别为 2sin 4 k ， 5 2sin 4 k ，所以该等腰直角三角形的斜边上 的高为 5 2sin2sin2 44 hkk ，故该等腰直角三角形的斜
19、边长为 4，故 M 文科数学试题 第 6 页（共 19 页） 2sinf xx最小正周期为 4， 根据 2sinf xx与 2cosg xx的图象关系可得 只需把 yf x 的图象向左平移 1 4 个周期即可得到 yg x 的图象 解法二：由题意得该等腰三角形的底边平行于x轴，且斜边长为函数 f x最小正周期令 f xg x，解得 0 4 4 k x ，kZ，故两函数图象交点的坐标为 00 ,xf x 相邻两 个交点的纵坐标分别为 2sin 4 k ， 5 2sin 4 k ，所以该等腰直角三角形的斜边上 的高为 5 2sin2sin2 44 hkk ，故该等腰直角三角形的斜边长为 4，因此
20、2sinf xx最小正周期为 4，即 2 4 ，解得 2 ，所以 2sin 2 x f x ， 2cos2sin1 22 x g xx ，所以只需要把 yf x 图象向左平移 1 个单位得到 yg x的图象，故选 A 解法三：由题意得该等腰三角形的底边平行于x轴，且斜边长为函数 f x最小正周期设 1122 ,x yxy为两函数图象的相邻交点，令 f xg x，可得sincosxx，再利用 22 sincos1xx，解得 1 2 sin 2 x， 2 2 sin 2 x 故该等腰直角三角形的斜边上的 高为 1212 2 sinsin2yyxx，所以该三角形的斜边长为 4，故 2sinf xx的
21、 最小正周期为 4， 即 2 4 ， 解得 2 ， 所以 2sin 2 x f x ， 2sin1 2 g xx ， 所以只需要把 yf x 图象向左平移 1 个单位得到 yg x 的图象，故选 A 【错因分析错因分析】 选择 B 答案， 对图象平移认识不清， 误认为 2sin 22 x g x 图象与 2sin 2 x f x 图象的相位之差的绝对值即为平移的大小，导致错误； 选择 C 答案，对图象平移认识不清，混淆了图象平移的方向，导致错误； 选择 D 答案，对图象平移认识不清，误认为相位之差的绝对值即为平移的大小，且混淆了 图象平移的方向，导致错误 【难度属性难度属性】属于中档题 10.
22、 设O是坐标原点，F是椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 的一个焦点，点M在C外，且 3MOOF，P是过点M的直线l与C的一个交点，PMF是有一个内角为120的等腰 三角形，则C的离心率等于 A 3 4 B 3 3 C 31 4 D 3 2 【答案答案】B 【考查意图考查意图】本小题考查椭圆方程及椭圆的简单几何性质等基础知识，考查运算求解能力、 M 文科数学试题 第 7 页（共 19 页） 推理论证能力，考查数形结合思想、函数与方程思想，考查数学运算素养，体现基础性和综 合性 【答题分析答题分析】只要掌握椭圆方程及椭圆的简单几何性质，可得该椭圆的另一个焦点 1 F恰为 MF的中点，根
23、据图形的特征，可得PM PF ，由此推得 1 PFx轴，即 1 PFF为直角三 角形， 进而得到各边的长度比， 再根据椭圆的定义及性质求得离心率； 或者在得到 1 PFx轴 后，求出点P坐标，利用MP的斜率得到, ,a b c的关系式，并化为关于离心率e的方程，再 通过求解方程解决问题 解法一：不妨设 1 ,0 ,0FcF c 为C的左、右焦点，可得 3 ,0Mc由椭圆的几何性质知PFac，点M在C外， 所以FM ac ，所以PF FM ，又在等腰PMF中顶角 为钝角， 故:1:1: 3PFPMFM ， 如图 因为 1 F为线段MF 的 中 点 ， 故 1 PFx轴 ， 即 1 PFF为 直
24、角 三 角 形 且 11 :1: 3:2PFFFPF ，所以 1 1 23 23 FF c e aPFPF ，故选 B 解法二：不妨设 1 ,0 ,0FcF c 为C的左、右焦点，可得 3 ,0Mc 由椭圆的几何性质知 PFac ，点M在C外，所以FM ac ，所以PF FM ，又在等腰PMF中顶角为 钝角， 故:1:1: 3PFPMFM ， 如图 因为 1 F为线段MF的 中点， 故 1 PFx轴， 不妨设P的坐标为 2 , b c a 由直线MP的 倾斜角为30，得其斜率为 3 3 ，计算可得 2 32bac，即 22 32acac 方程的两边同时除以 2 a， 得 2 3230ee ，
25、解得 3 3 e 或 3e （舍 去） ，故选 B 【错因分析错因分析】 选择 A 答案，审题不认真，把 3MOOF 错看为 3MOFO ，导致对图形判断出错，误以为 P为椭圆的短轴端点，误认为PF a ， 4 3 c PF ，导致错误； 选择 C 答案， 无法正确作出草图， 误以为 11 :1:2: 3PFFFPF ， 且对离心率概念不清， 误以为 1 1 13 24 PFPF e FF ，导致错误； 选择 D 答案，审题不认真，把 3MOOF 错看为 3MOFO ，导致对图形判断出错，误以为 P为椭圆的短轴端点，误认为PF a ， 1 2 3 c PF ，导致错误 【难度属性难度属性】属于
26、中档题 M 文科数学试题 第 8 页（共 19 页） 11. 上世纪末河南出土的以鹤的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（图 1） ，充分展示了我国古代高超 的音律艺术及先进的数学水平，也印证了我国古代音律与历法的密 切联系. 图 2 为骨笛测量“春 （秋） 分”， “夏 （冬） 至”的示意图， 图 3 是某骨笛的部分测量数据（骨笛的弯曲忽略不计） ，夏至（或冬 至） 日光 （当日正午太阳光线） 与春秋分日光 （当日正午太阳光线） 的夹角等于黄赤交角. 由历法理论知，黄赤交角近 1 万年持续减小，其正切值及对应的年代如下表： 黄赤交角 23 41 23 57 24 13 24 28 24 44 正切值
27、 0.439 0.444 0.450 0.455 0.461 年代 公元元年 公元前 2000 年 公元前 4000 年 公元前 6000 年 公元前 8000 年 根据以上信息，通过计算黄赤交角，可估计该骨笛的大致年代是 A公元前 2000 年到公元元年 B公元前 4000 年到公元前 2000 年 C公元前 6000 年到公元前 4000 年 D早于公元前 6000 年 【答案答案】D 【考查意图考查意图】 本小题以我国传统文化“历律同源”为背景， 借助出土文物骨笛的年代估算设 计试题，考查解三角形、两角差的正切公式等基础知识；考查运算求解能力、应用意识；考 查数学抽象、数学建模、数学运算
28、等核心素养；体现综合性和应用性 【答题分析答题分析】只要能从题目中获取有效信息、合理运用图形，构建三角形，计算出夏至（或 冬至）日光（当日正午太阳光线）与春秋分日光（当日正午太阳光线）的夹角的正切值，再 根据表格提供的数据确定相应的年代范围，便可解决问题 解：由题意可画示意图，如右，其中AOBO（BO代表骨笛） ， 得到10.00AO ，9.40BC ，16.00BO ，故求得6.6OC ， 设黄赤交角为，由题意得BACCAD ， 故可得，BAOCAO ，其中 16 tan1.6 10 BAO； 6.6 tan0.66 10 CAO，所以 tantan tantan 1tantan BAOCA
29、O BAOCAO BAOCAO ， 代入数据得 1.60.660.94 tan0.457 1 1.6 0.662.056 ，对照年代表格，由0.4550.4570.461，得 该骨笛的年代早于公元前 6000 年，故选 D 图 1 图 3 图 2 M 文科数学试题 第 9 页（共 19 页） 【错因分析错因分析】 选择 A 答案，无法理解题意，或无法建立数学模型，或计算错误； 选择 B 答案，无法理解题意，或无法建立数学模型，或计算错误； 选择 C 答案，无法理解题意，或无法建立数学模型，或计算错误 【难度属性难度属性】属于难题 12.已知长方体 1111 ABCDABC D中，5AB ，3A
30、D ， 1 4AA ，过点A且与直线CD平行 的平面将长方体分成两部分，现同时将两个球分别放入这两部分几何体内，则在平面 变化的过程中，这两个球的半径之和的最大值是 A 3 2 B2 C 21 10 D72 6 【答案】C 【考查意图】本小题考查柱体的截面、内切球、导数的应用等知识，考查空间想象能力、推 理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程思想、分类与整合思想、化归与转 化思想、特殊与一般思想，考查数学抽象、数学运算、直观想象、数学建模等核心素养，体 现综合性、应用性和创新性 【答题分析】在理解题意、作出图形的基础上，合理选择平面运动过程中的某个几何量 （如：平面与平面ABCD的
31、夹角）为变量，建立两个球的半径之和关于该变量的函数 关系式，并利用导数研究该函数的最大值，从而解决问题 解：设平面与平面ABCD的夹角，tan 2 t ， 0,1t 记与平面ABCD相切的球半 径为 1 r，另一个球的半径为 2 r，则 1 1 3 r t r ，解得 1 3 1 t r t ，同理可得， 2 22rt 注意到两个球的直径都不超过 3，得 1 2 3 0, 2 3 0, 2 r r 解得 1 ,1 4 t 设 12 yrr，可得 3 22 1 t yt t ， 1 ,1 4 t 设 3 22 1 t g tt t ，其导函数 2 3 2 1 g t t ， 当 1 1 4 t
32、时， 0g t，所以 g t在 1 ,1 4 单调递减，当 1 4 t 时，取到最大值 21 10 ，故选 C 【错因分析错因分析】 选择 A 答案，审题不清，误求最小值，导致错误； 选择 B 答案， 无法理解题意， 误认为当平面为长方体的对角面时取到最大值， 导致错误； 选择 D 答案， 求出半径之和关于的解析式后， 未考虑变量的范围， 导致取最大值时出错 【难度属性难度属性】属于难题 M 文科数学试题 第 10 页（共 19 页） 二、填空题：本二、填空题：本题共题共 4 小题小题，每小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13向量1,2AB ，2,3AC ，若向量,2xa与BC共
33、线，则x 【答案答案】2 【考查意图考查意图】本小题以平面向量为载体，考查平面向量的线性运算、共线向量等基础知识， 考查运算求解能力，考查函数与方程思想，考查数学运算等核心素养，体现基础性 【答题分析答题分析】利用平面向量的坐标运算求出BC，再根据共线向量的充要条件得到关于x的 方程，解方程可求得2x 解：因为向量1,2AB ，2,3AC ，所以1,1BCACAB，又因为向量,2xa与 1,1BC 共线，所以12 10x ，所以2x 【错因分析错因分析】考生可能出现的错误有：概念不清，误认为CB ACAB ，导致错误；或者 混淆两向量共线与垂直的条件，导致错误；或者计算错误 【难度属性难度属性
34、】属于容易题 14若双曲线 22 22 10,0 xy ab ab 的一个焦点5,0F，一条渐近线的斜率为 3 4 ，则 a 【答案答案】4 【考查意图考查意图】本小题以双曲线为载体，考查圆锥曲线的简单几何性质等基础知识，考查运算 求解能力，考查函数与方程思想，考查数学运算素养，体现基础性 【答题分析答题分析】只要掌握双曲线方程及其几何性质便可由焦点坐标得5c ，又由其渐近线的 斜率得到关于, a b的方程，结合 222 cab便可求得结果 解：因为双曲线的一个焦点为 5,0F ，则5c 注意到该双曲线焦点在x轴上，且一条渐 近线的斜率为 3 4 ，得 3 4 b a ，即 2 2 9 16
35、a b ，又因为 22 25ab，可解得4a 【错因分析错因分析】考生可能出现的错误有：概念不清，混淆双曲线方程中, ,a b c的关系，导致出 错；或者混淆焦点在x轴上与焦点在y轴上的双曲线的渐近线方程及斜率，导致错误；或者 计算错误 【难度属性难度属性】属于容易题 15ABC的内角, ,A B C的对边分别为, ,a b c， 2 3 A ，7a 若ABC的面积为 15 3 4 ， 则其周长是 【答案答案】15 【考查意图考查意图】本小题以解三角形为载体，考查正余弦定理、三角形面积公式等基础知识，考 查运算求解能力，考查函数与方程思想，考查数学运算素养，体现基础性和综合性 【答题分析答题分
36、析】只要由三角形面积公式 1 sin 2 ABC SbcA ，得15bc ；再利用余弦定理得到 , ,a b c的关系式 222 abcbc，并结合已知条件求得8bc，所以周长为 15 解：由面积公式可得 13 sin 24 ABC SbcAbc ，又由题意知 15 3 4 ABC S ，得15bc 根据余弦定理 222 abcbc， 可得 2 2 bcbca， 由7a ，15bc ， 解得 2 64bc， 即8bc，所以周长为15abc 【错因分析错因分析】考生可能出现的错误有：未能掌握三角形面积公式、余弦定理导致无从下手； M 文科数学试题 第 11 页（共 19 页） 或者计算不合理，无
37、法顺利求出8bc，导致半途而废；或其它计算错误，导致错误 【难度属性难度属性】属于中档题 16已知 f x是定义在R上的偶函数，其图象关于点1,0对称以下关于 f x的结论： f x是周期函数； f x在0,2单调递减； f x满足 4f xfx； cos 2 x f x 是满足条件的一个函数 其中正确的结论是 .（写出所有正确结论的序号） 【答案答案】 【考查意图考查意图】本小题以抽象函数为载体，考查函数周期性、奇偶性、对称性、单调性及三角 函数的图象性质等基础知识，考查推理论证能力、抽象概括能力，考查数形结合思想、特 殊与一般思想，考查数学抽象、直观想象等核心素养，体现基础性和综合性 【答
38、题分析答题分析】 只要利用偶函数的性质及函数的对称中心， 求得函数的一个周期及其图象的对 称轴，即可判断，再通过对满足条件的具体函数的验证即可判断 解： 因为 f x为偶函数， 则 fxf x ， 其图象关于点 1,0对称， 故有2fxfx ， 故 2f xf x ， 故有 42f xf xf x ， 即 f x是以 4 为周期的周期函数， 故正确；由 4fxf xf x ，把x替换成 x 可得 4f xfx ，故正确； cos 2 x f x 是定义在R上的偶函数， 1,0是它的一个对称中心，可得正确又因为取 cos 2 x f x 时满足题设条件，但它在0,2单调递增，故错误 【错因分析】
39、对函数性质掌握不足，无法把函数的奇偶性、对称性准确地转化为代数表示， 并加以正确推理， 从而导致或不能正确判断； 直接用中的函数 cos 2 x f x 验证， 导致对的判断错误 【难度属性难度属性】属于中档题 17 （12 分） 在数列 n a中， 1 2a ， 2 6a ，且 2+1 2+2 nnn aaa ，设 1nnn baa （1）证明数列 n b是等差数列，并求 n b； （2）设 n S为数列 1 n a 的前n项和，求 n S 17（1） 【考查意图考查意图】本小题考查递推数列、等差数列通项公式等基础知识，考查推理论证能力、运 算求解能力，考查化归与转化思想，考查逻辑推理、数学
40、运算等核心素养，体现基础性与综 合性； 【解法综述解法综述】只要掌握等差数列的定义，懂得本题即证 1nn bb 为定值，再利用 1nnn baa 把 1nn bb 转化为 21 , nnn aaa 的关系，并结合已知条件即可得到 1nn bb 为定值进而根据等 差数列的通项公式求出 n b，从而解决问题 【错因分析错因分析】不会根据定义证明一个数列是等差数列；或无法根据已知条件将 1nn bb 转化 M 文科数学试题 第 12 页（共 19 页） 为 21 , nnn aaa 的关系实现证明目的；或等差数列通项公式记忆出错 【难度分析难度分析】属于容易题 17（2） 【考查意图考查意图】本小题
41、以数列求和为载体，考查累加法、列项法等基础知识，考查运算求解能 力，考查化归与转化思想，考查数学运算素养，体现基础性与综合性 【解法综述解法综述】 只要掌握累加法， 便可通过“配凑”求出 n a的通项公式， 再用裂项相消的方法， 求出 1 n a 的前n项和，从而解决问题 思路：由（1）知 1 22 nn aan ，运用累加法得1 n an n，再运用裂项相消的方法， 求出 1 n a 的前n项和，从而解决问题 【错因分析错因分析】 不会用累加法求数列 n a的通项公式； 不会用裂项相消法求数列 1 n a 的前n项 和；累加过程、裂项过程出错等 【难度属性难度属性】属于中档题 18 （12
42、分） 如图 1，直角梯形ABCD中，ADBC，90D，3BC ，1ADDC把 ACD沿着AC翻折至 1 ACD的位置，点 1 D 平面ABC，连结 1 BD，如图 2 （1）当 1 2 2BD 时，证明：平面 1 ACD 平面 1 ABD； （2）当三棱锥 1 DABC的体积最大时，求点B到平面 1 ACD的距离 图 1 图 2 18（1） 【考查意图考查意图】 本小题以折叠问题为载体， 考查线面垂直、 面面垂直的判定与性质等基础知识， 考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，考查直观想象、 逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性与综合性； 【解法综述解法综述】只要
43、能正确分析几何量之间关系，利用勾股定理的逆定理证得 11 CDBD，再 根据直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定定理即可得证 思路：先根据勾股定理的逆定理得出 11 CDBD，并结合在翻折过程中始终有 11 CDAD， 根据线面垂直的判定可证得 1 CD 平面 1 ABD，再根据面面垂直的判定定理即可证明平面 1 ACD 平面 1 ABD 【错因分析错因分析】考生可能存在的错误：无法从几何量关系中发现和证明 11 CDBD，导致无从 入手；或空间想象能力有限，未能把握折叠过程中的不变量，不能发现 11 CDAD，导致思 M 文科数学试题 第 13 页（共 19 页） 频率频率 组距组距 家庭人
44、均年纯收入家庭人均年纯收入（千元千元） 0.32 0.28 0.16 0.12 0.08 87 6534O2 0.04 路受阻； 或概念不清， 定理掌握不到位， 不会用线面垂直的判定定理证明 1 CD 平面 1 ABD； 或不会用面面垂直的判定定理证明平面 1 ACD 平面 1 ABD；或证明过程逻辑条理混乱，表 达不清 【难度属性难度属性】属于容易题 18（2） 【考查意图考查意图】本小题以折叠问题为载体，考查线面垂直、面面垂直的判定和性质、空间点到 平面的距离、 三棱锥的体积等基础知识， 考查空间想象能力、 推理论证能力、 运算求解能力， 考查函数与方程思想，考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合 性和创新性 【解法综述解法综述】只要懂得平面 1 ACD 平面ABC时 1 DABC V 取得最大值，并由此求得 1 DABC V ，再 根据 11 DABCB ACD VV
