1、 1 / 7 银川北塔中学银川北塔中学 张文忠张文忠 切线长定理教学设计 执教老师：张文忠 工作单位：宁夏银川北塔中学 一一、教学内容分析教学内容分析 本节课是在学习了切线的性质和判定的基础之上，继续对切线的性质的研 究，是在垂径定理之后对圆的对称性又一次的认识.体现了图形的认识、图形的 变换、图形的证明的有机结合.在习题和内切圆的计算中体现了把复杂问题转化 为简单问题后解决问题，从而滲透转化思想和方程思想，提高应用意识. 切线长定理的探究，通过设计让学生动手画切线，明确切线长定理的研究 目标。学生在观察、猜想、度量和对折验证的基础上，最后归纳得出切线长定 理，这样的直观操作与逻辑推理有机的整
2、合到一起，让学生在探究的过程中体 验数学活动充满着探索性和创造性，感受证明的必要性，证明过程的严谨性以 及结论的确定性. 并初步建立了由动手操作画出两条切线抽象出数学条件进而 解决问题的意识.利用定理的证明继续发展学生的演绎推理的能力，让学生的思 维能够经历一个从模糊到清晰，从具体到抽象，从直觉感知到逻辑推理的过程， 使学生体验数学定理证明的过程.切线长定理为求线段长及证明线段相等提供了 有利的方法，同时也是为证明角相等，弧相等，垂直关系等提供了理论依据， 为解决圆的有关数量问题作了铺垫，具有承上启下的作用。 基于以上的分析，确定本节课的重点重点为：切线长定理及其应用 二二、学生学情分析学生学
3、情分析 学生在七、八年级已经学习了轴对称图形、三角形全等的判定与性质、正 方形的判定与性质、勾股定理，在本章圆前面也学习了切线的定义、判定 与性质、圆的对称性.因此学生对圆的相关知识都有一定的认识。在相关知识的 学习过程中，学生经历了利用轴对称图形的性质证明垂径定理的过程，培养了 尺规作图等动手操作能力 ；经历了对数学问题进行观察、实验、猜测、计算、 推理等活动过程. 同时在以前的数学学习中也经历了很多合作学习的过程，具 有了一定的合作学习的经验，具备了一定的动手实践、自主探索与合作交流的 2 / 7 银川北塔中学银川北塔中学 张文忠张文忠 能力.这对本节课的学习打下了基础，学生对本节课定理的
4、证明不是很困难，但 是对定理的应用，尤其是较复杂的应用，学生将感到一定的困难. 基于此，我确定了本节课难点难点是：切线长定理的应用 三三、教学目标设置教学目标设置 基于以上的分析，我确定了如下的教学目标： 1、经历圆的切线长概念的形成过程，知道圆的切线长概念 2. 通过探究活动使学生能理解切线长定理，并能初步运用. 3. 在猜想、探索、证明切线长定理活动中通过相互学生间的合作与交流， 进一步发展学生推理能力和数学表达能力. 四、教学策略分析：四、教学策略分析： 爱因斯坦说过“想象力比知识更重要，因为知识是有限的，而想象力可以 囊括世界” 。对于老师而言，应精心设计教学环节，充分的暴露学生数学思
5、维的 活动过程，实现数学思维的再加工。 本节课我在学生已有的认知基础上，通过让学生动手画“圆的两条切线” ， 引导学生观察切线的位置关系，明确研究对象，引出课题，通过学生的度量、 折纸等活动，为完成定理的证明打下基础。发展学生的演绎推理能力。在定理 的应用中，通过合作互助建立良好的学习氛围，利用动画的演示，让学生直观 感知图形之间的联系，有意识渗透由一般到特殊的研究思路。让学生充分的交 流、讨论，并通过小组的展示，突出重点、突破难点。在老师的及时点评中， 让学生思维清晰化、让解决问题的方法明朗化，让学生在课堂上不仅感受到所 学的新知识，同时也感受到数学思想方法，发展学生解决问题的能力。 五、五
6、、教学过程设计教学过程设计: : 课程改革的理念是改变过去的“教师教” ，实现“学生学” ，教师设计合理 的活动，激发学生学习积极性，帮助他们在自主探究和合作交流的过程中真正 理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法。获得广泛的活动经验。 因此，在本节课中，我在教学设计的活动中让学生争做学习主人，设计了五个 教学环节：复习引入；探索定理；应用定理；小结梳理；作业布置。复习引入；探索定理；应用定理；小结梳理；作业布置。简单概括 为： “动手画、知定义、观察图、猜结论、验结论、证结论、用定理、谈感想、： “动手画、知定义、观察图、猜结论、验结论、证结论、用定理、谈感想、 课后练”课后练” 3
7、 / 7 银川北塔中学银川北塔中学 张文忠张文忠 环节一、复习引入环节一、复习引入 问题引入：问题引入： 在前面学习过圆与直线的位置关系，还记得有哪几种吗？大家在前面学习过圆与直线的位置关系，还记得有哪几种吗？大家还记得还记还记得还记 得圆的切线的画法吗？得圆的切线的画法吗？ 活动活动 1 1：请在透明纸上画出圆 O，在圆上任意找出两点 A、B，过点 A、B 画 圆 O 的两条切线。 设计意图：因为“画的切线”规范的做法是过设计意图：因为“画的切线”规范的做法是过半径外端点做半径外端点做垂直于半径的垂直于半径的 直线，而过圆外一定点画圆的切线，切点不易确定，而我们平时的画法也正好直线，而过圆外
8、一定点画圆的切线，切点不易确定，而我们平时的画法也正好 忽略了这一点，所以我设计了这样的引入。同时以学生已有的知识为基础，通忽略了这一点，所以我设计了这样的引入。同时以学生已有的知识为基础，通 过活动过活动 1 1 让学生直观感知过圆外一点画圆的切线有且只有两条。让学生直观感知过圆外一点画圆的切线有且只有两条。 环节二、探索定理环节二、探索定理 1 1、知道定义、知道定义 明晰切线长定义： （ppt 给出）过圆外一点画圆的切线，这点和切点之间的 线段长叫做这点到圆的切线长切线长 给出课题并板书课题：切线长定理给出课题并板书课题：切线长定理 2 2、猜想结论：、猜想结论： 问题问题 1 1：图中
9、线段 PA 和 PB 有怎样的数量关系？ 设计意图：提出问题，引入课题（这节课，我们设计意图：提出问题，引入课题（这节课，我们 学习切线长定理） ，学习切线长定理） ，引导学生在引导学生在观察观察、探究中、探究中发现发现线段 PA 和 PB 的关系，为后面，为后面 的验证、证明做铺垫。的验证、证明做铺垫。 3 3、验证结论：、验证结论： 追问：追问：你是怎样得到的？（度量法） 老师用几何画板度量，同时改变点 P 的位置，让学生动态中观察、验证。 追问：追问：有没有其他的验证方法？（折叠法） 老师用几何画板做对称折叠，让学生在动态中观察，丰富认知，渗透证明 “结论”过程中如何作辅助线的方法。 4
10、 4、证明结论、证明结论 已知：如图，是切点。的两条切线，是圆BAPBPA,O, 4 / 7 银川北塔中学银川北塔中学 张文忠张文忠 求证：PBPA 设计意图：在前面设计意图：在前面验证的基础上，通过学生的独立思考、证明，发展学生验证的基础上，通过学生的独立思考、证明，发展学生 推理论证的能力。另外借助信息技术展示交流，暴露学生的解题思维，在生生、推理论证的能力。另外借助信息技术展示交流，暴露学生的解题思维，在生生、 师生交流中完善证明过程，规范书写。同时展示不同的解题思路，通过学生多师生交流中完善证明过程，规范书写。同时展示不同的解题思路，通过学生多 角度分析、讲解、交流和教师的点拨、即时评
11、价，促进学生角度分析、讲解、交流和教师的点拨、即时评价，促进学生对对知识、数学思想知识、数学思想 和方法的掌握。和方法的掌握。 证明过程。 证明：连接.,OBOA 的切线，是圆O,PBPA PBOBAPOA, 90PBOPAO PBOPAO和是直角三角形 又OA=OB,OP=OP PBORtPAORt PA=PB 文字语言描述：文字语言描述：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等， 符号语言：符号语言：PA 和 PB 分别和O 相切与点 A 和点 B， PA=PB 环节三、应用定理环节三、应用定理 1、1、已知：如图在ABC 的内切圆 O 中,AF=5，CE =10，则 AC=_； O P B A
12、 C B A O E F D 5 / 7 银川北塔中学银川北塔中学 张文忠张文忠 设计意图：巩固切线长定理，同时让学生感知三角形的内切圆中切线长和设计意图：巩固切线长定理，同时让学生感知三角形的内切圆中切线长和 三角形边之间的简单的数量三角形边之间的简单的数量关系。关系。 几何画板展示三角形变化成直角三角形时，在这一变化的过程中，当变成 直角三角形时，它的内切圆中，又能发现什么呢？ 设计意图：动画的演示过程，形象直观的将三角形由一般形状转变为特殊设计意图：动画的演示过程，形象直观的将三角形由一般形状转变为特殊 形状，渗透由一般到特殊的数学思想，同时在变化的过程中，形状，渗透由一般到特殊的数学思
13、想，同时在变化的过程中，让学生让学生直观的看直观的看 到那些是变化的那些是不变化的，感知其中的关系，启迪学生的思维。到那些是变化的那些是不变化的，感知其中的关系，启迪学生的思维。 2、已知如图，RtABC的两条直角边AB=6，BC=8，O 是ABC 的内切圆， 切点分别为D,E,F，求O 的半径. 设计意图：通过这个特殊的三角形设计意图：通过这个特殊的三角形 直角三角形的内切圆半径的计算，直角三角形的内切圆半径的计算， 进一步巩固切线长定理，同时培养学生进一步巩固切线长定理，同时培养学生 在解决问题时通过等量代换，渗透转化在解决问题时通过等量代换，渗透转化 思想，即求半径其实可以求切线长思想，
14、即求半径其实可以求切线长 BFBF 或者或者 BE,BE,同时也是三角形内切圆学习的拓同时也是三角形内切圆学习的拓 展和延伸，也为后面后续学习的任意三角形的内切圆半径的计算方法提供了参展和延伸，也为后面后续学习的任意三角形的内切圆半径的计算方法提供了参 考的依据。考的依据。在解题过程中，将未知的半径在解题过程中，将未知的半径 r r 设为未知数，利用切线长定理得到设为未知数，利用切线长定理得到 方程，渗透方程思想。方程，渗透方程思想。 3 3、如图，四边形 ABCD 分别与圆 O 相切于点 M、N、Q、P，请同学们找出图 中所有相等的线段，试说明： C B A O E F D C B A O
15、E F D C B A O E F D 6 / 7 银川北塔中学银川北塔中学 张文忠张文忠 B A D C O M N P Q AB+CD=BC+AD 设计意图：设计意图：圆的外切三角形圆的外切三角形到到圆的外切四边形圆的外切四边形，进一步的巩固切线定理的，进一步的巩固切线定理的 同时，同时，引导引导学生学生根据根据研究问题的方法，探究圆的外切四边形边和相等，从中渗研究问题的方法，探究圆的外切四边形边和相等，从中渗 透等式性质。学生透等式性质。学生在学习的过程中充分感受到切线长在学习的过程中充分感受到切线长之间的和与差的关系，发之间的和与差的关系，发 展学生分析问题、解决问题的能力展学生分析问
16、题、解决问题的能力。 本节课你学到了什么？ 设计意图：设计意图：通过小结，引导学生梳理本节课所学的知识通过小结，引导学生梳理本节课所学的知识，构建知识网络，构建知识网络， 提炼数学思想和方法，发展学生的语言表达能力。提炼数学思想和方法，发展学生的语言表达能力。 环节五、作业布置环节五、作业布置 必做题必做题 1、如图，PA、PB分别切O于A、B两点，C是弧 AB上任意一点，过C作 O的切线，交PA及PB于D、E两点，PA=PB=6cm，求PDE的周长 2、已知：如图，O是ABC的内切圆，切点分别为D、E、F， （1）图中共有几对相等线段？ （2）若AF=4，BD=6，CE=8，求ABC的周长
17、（3）若AB=9，BC=15，AC=12，求：AF、BD、CE 选做题选做题 如图，在四边形 ABCD 中，AB=AD=6 ，CB=CD=8 ，且B=90，该四边 形存在内切圆吗？如果存在，请计算内切圆的半径。 设计意图：心理学研究表明：学生的身心发展由于先天设计意图：心理学研究表明：学生的身心发展由于先天 A B P D O E C 第 1 题 第1题 O F E DCB A 第 2 题 7 / 7 银川北塔中学银川北塔中学 张文忠张文忠 禀赋以及后天诸多因素的影响，禀赋以及后天诸多因素的影响，每位学生在学习上每位学生在学习上都存在着差异。因此都存在着差异。因此我我遵循遵循 因材施教和层次性
18、原则，因材施教和层次性原则，分层布置作业。其中必做题属于基础分层布置作业。其中必做题属于基础题题，达到，达到巩固新巩固新 知知的目的，的目的，有利于他们获得成功的快乐；有利于他们获得成功的快乐；选做题属于选做题属于发展题发展题，具，具有一定的难度有一定的难度 和挑战性，和挑战性，有利于培养有利于培养他们他们思维的灵活性和深刻性思维的灵活性和深刻性。给学生留有自主选择的空给学生留有自主选择的空 间间，充分发挥他们的学习主动性充分发挥他们的学习主动性，让他们各取所需让他们各取所需，各尽所能，避免了尖子生，各尽所能，避免了尖子生 “吃不饱” ，后进生“吃不消”的局面，实现了“人人都能获得必需的数学，“吃不饱” ，后进生“吃不消”的局面，实现了“人人都能获得必需的数学， 不同人在数学上得到不同的发展”的目标。不同人在数学上得到不同的发展”的目标。 板书设计 切线长定理 1、切线长定义 线段 PA、PB 的长 2、切线长定理 符号语言： PA 和 PB 是圆 O 的切 线， 切点为 A、B； CD AB AD BC AM=AP BM=BN CQ=CN DQ=DP
