1、第一讲第一讲 坐标系坐标系 一、一、 平面直角坐标系平面直角坐标系 学习目标学习目标 1.体会直角坐标系的作用体会直角坐标系的作用，掌握平面直掌握平面直 角角坐标系中刻画点的位置的方法和坐标法的解题步坐标系中刻画点的位置的方法和坐标法的解题步 骤骤 2.会运用坐标法解决实际问题与几何问题会运用坐标法解决实际问题与几何问题(难难 点点) 3.通过具体例子通过具体例子，了解在平面直角坐标系伸缩变了解在平面直角坐标系伸缩变 换下平面图形的变化情况及作用换下平面图形的变化情况及作用(重点重点) 知识提炼知识提炼 梳理梳理 1平面直角坐标系平面直角坐标系 在在平面上平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点
2、为原当取定两条互相垂直的直线的交点为原 点点，并确定度量单位和这两条直线的方向并确定度量单位和这两条直线的方向，就建立了就建立了平平 面直角坐标系面直角坐标系它它使平面上任一点使平面上任一点 P 都可以由都可以由唯一的唯一的实实 数对数对(x，y)确确定定 2坐标法坐标法 根据几何对象的特征根据几何对象的特征，选取适当的选取适当的坐标系坐标系，建立它建立它 的方程的方程，通过方程研究它的性质及与其他几何图形的关通过方程研究它的性质及与其他几何图形的关 系系，这就是研究几何问题的这就是研究几何问题的坐标法坐标法 3伸缩变换伸缩变换 设设 P(x，y)是平面直角坐标系中任意一点是平面直角坐标系中任
3、意一点，在变换在变换 ： x x，0， yy，0 的作用下的作用下，点点 P(x，y)对应点对应点 P(x，y)， 称为平面直角坐标系中的称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换坐标伸缩变换，简称伸缩变简称伸缩变换换 温馨提示温馨提示 变换中的系数均为正数变换中的系数均为正数 在伸缩变换在伸缩变换 下下，平面直角坐标系保持不变平面直角坐标系保持不变，即在同一坐标系下对坐标即在同一坐标系下对坐标 进行伸缩变换进行伸缩变换 思考尝试思考尝试 夯基夯基 1思思考判断考判断(正确的打正确的打“”，错误的打错误的打“”“”) (1)建立了平面直角坐标系之后建立了平面直角坐标系之后，坐标平面内的坐标平面内的所有
4、所有 点组成的点集与有序数对点组成的点集与有序数对(x，y)组成的集合组成的集合(x，y)|xR， yR之间就建立了一一对应关之间就建立了一一对应关系系( ) (2)点点 M(3，5)经过经过 ： 3x 5x， 5y3y 变换后得变换后得到点到点 M 的坐标为的坐标为(5，3)( ) (3)若曲线若曲线 C 经过伸缩变换经过伸缩变换 ： x 2x， y3y 变换后得变换后得 到的曲到的曲线方程为线方程为 x2y21，则曲线则曲线 C 的方程是的方程是 4x29y2 1.( ) (4)椭圆椭圆 x2 16 y 2 9 1经过伸缩变换经过伸缩变换变换后得到的图形变换后得到的图形 仍为椭圆仍为椭圆，
5、并且焦点一定还在并且焦点一定还在 x 轴轴上上( ) 解析：解析：(1)正确正确 (2)将将 x 3， y5 代入代入 3x 5x， 5y 3y 得得 x 5， y 3， 故故 M(5，3)， 正确正确 (3)将将 x 2x， y 3y 代入代入 x2y21 得得 4x29y21， 故变故变 换前方程为换前方程为 4x29y21 也正确也正确 (4)设伸缩变换设伸缩变换 ： x x， y y， 则当则当 1 4， ，1 3时变 时变换换 后的图后的图形是圆形是圆 x2y21，当当 1 4， ，1 时变换后的图形时变换后的图形 是椭圆是椭圆 x2y 2 9 1，此时焦点在此时焦点在 y 轴轴，(
6、4)不正确不正确 答案：答案：(1) (2) (3) (4) 2在在平面直角坐标系中平面直角坐标系中，到两坐标轴距离相等的点到两坐标轴距离相等的点 的轨迹是的轨迹是( ) A圆圆 B抛抛物线物线 C两两条平行直线条平行直线 D两两条相交直线条相交直线 解析：解析：点的轨迹是第一、点的轨迹是第一、三象限的角平分线和第二、三象限的角平分线和第二、 四象限的角平分线四象限的角平分线，为两条相交直线，为两条相交直线 答案：答案：D 3在在平面直角坐标系中平面直角坐标系中，方程方程 3x2y10 所对应所对应 的直线经过伸缩变换的直线经过伸缩变换 x 1 3x， ， y2y 后得到的直线方程为后得到的直
7、线方程为 ( ) A3x4y10 B3xy10 C9xy10 Dx4y10 解析：解析：由伸缩变换由伸缩变换 x 1 3x， ， y 2y 得得 x 3x， y1 2y， ， 代入方程代入方程 3x2y10，得得 9xy10. 故经过伸缩变换后得到的直线方程为故经过伸缩变换后得到的直线方程为 9xy10. 答案：答案：C 4将将点点(2，3)变成点变成点(3，2)的伸缩变换是的伸缩变换是_ 答案：答案： x 3 2x， ， y2 3y 5在在同一平面直角坐标系中同一平面直角坐标系中，将曲线将曲线 y1 3cos 2x 按 按 伸缩变换伸缩变换 x 2x， y3y 后变换为后变换为_ 解析：解析
8、：由由 x 2x， y 3y 得得 x 1 2x， ， y1 3y. 代入曲线代入曲线 y1 3cos 2x， ，得得 ycos x ，即即 ycos x. 答案：答案：ycos x 类型类型 1 运用坐标法解决平面几何问题运用坐标法解决平面几何问题(自主研析自主研析) 典例典例 1 已已知知 ABCD，求证求证|AC|2|BD|22(|AB|2 |AD|2) 证明：证明：以以 A 为坐标原点为坐标原点，AB 所在的所在的直线为直线为 x 轴轴，建建 立平面直角坐标系立平面直角坐标系 xAy， 则则 A(0，0)，B(a，0)，C(b，c)， 由平行四边形的性质可知由平行四边形的性质可知 D(
9、ba，c)，如图所示如图所示， 所以所以|AB|2a2，|AD|2(ba)2c2， |AC|2b2c2，|BD|2(b2a)2c2， |AC|2|BD|24a22b22c24ab 2(2a2b2c22ab)， |AB|2|AD|22a2b2c22ab， 所以所以|AC|2|BD|22(|AB|2|AD|2) 归纳升华归纳升华 在平面图形上建立平面直角坐标系时在平面图形上建立平面直角坐标系时， 通常选取通常选取图形图形 的对称中心为坐标原点、对称轴为坐标轴的对称中心为坐标原点、对称轴为坐标轴，或选互相垂直，或选互相垂直 的直线为坐标轴， 并且尽量使图形中的一些特殊点落在坐的直线为坐标轴， 并且尽
10、量使图形中的一些特殊点落在坐 标轴上标轴上坐标系建立得越恰当坐标系建立得越恰当，各点坐标及各线的方程就各点坐标及各线的方程就 越简单越简单，运算量就越小运算量就越小 变式训练变式训练 如图所示如图所示， 点点 P 是正方形是正方形 ABCD 的对角的对角 线线 AC 上一点上一点，过过 P 作作 PEAB 于于 E，PFBC 于于 F，连连 接接 DP，EF.求证：求证： (1)DPEF； (2)DPEF. 证明：证明：如图所示如图所示，以以 A 为原点为原点，AB，AD 所在直线所在直线 分别为分别为 x 轴轴，y 轴建立平面直角坐标系轴建立平面直角坐标系 设正方形边长为设正方形边长为 a，
11、则则 A(0，0)， B(a，0)，C(a，a)，D(0，a) 设设 P(x，x)，则则 E(x，0)，F(a，x)，00. 所以所以 x 1 x， ， y1 y， ， 代入代入 ysin x 得得1 y sin 1 x . 与与 y1 2sin 4x 比较知： 比较知： 1 4， ， 1 2. 所以所以 x 1 4x， ， y 1 2y. 所以变换公式所以变换公式 x 1 4x， ， y 1 2y. 类型类型 3 平面直角坐标系下的轨迹问题平面直角坐标系下的轨迹问题(规范解答规范解答) 典例典例 3 (本小题满分本小题满分 10 分分)如图所示如图所示，圆圆 O1与圆与圆 O2的半径都是的半
12、径都是 1，|O1O2|4，过动点过动点 P 分别作圆分别作圆 O1、圆、圆 O2的切线的切线 PM，PN(M， N 分别为切点分别为切点)，使得使得|PM| 2|PN|， 试建立适当的平面直角坐标系试建立适当的平面直角坐标系，并求并求 动点动点 P 的轨迹方程的轨迹方程 规范解答规范解答 以以 O1O2的中点的中点 O 为坐标原点为坐标原点，O1O2所所 在的直线为在的直线为 x 轴轴，建立如图所示的平面直角坐标系建立如图所示的平面直角坐标系， (2 分分) 失分警示：失分警示：若漏掉建系说明或作图若漏掉建系说明或作图，各扣各扣 1 分分 则则 O1(2，0)，O2(2，0)，设设 P(x，
13、y)(4 分分) 由已知由已知|PM| 2|PN|，得得|PM|22|PN|2. 因为两圆的半径均为因为两圆的半径均为 1， 所以所以|PO1|2122(|PO2|212) 则则(x2)2y212(x2)2y21，即即(x6)2y2 33，(8 分分) 所以所求轨迹方程为所以所求轨迹方程为(x6)2y233(或或 x2y212x 30)(10 分分) 2建立适当的坐标系建立适当的坐标系，建系不同求得的轨迹方程也建系不同求得的轨迹方程也 不同不同，坐标系的选取应以求解过程的计算量最小坐标系的选取应以求解过程的计算量最小，求出的求出的 轨迹方程最简单为目标 在求解过程中不仅要从约束条件轨迹方程最简
14、单为目标 在求解过程中不仅要从约束条件 中的等量关系求出轨迹方程中的等量关系求出轨迹方程， 同时还要关注约束条件中的同时还要关注约束条件中的 不等关系不等关系，并转化成并转化成 x，y 的取值范围在方程后面加以注的取值范围在方程后面加以注 明明 变式训练变式训练 线段线段 AB 的两个端点分别在两条互相垂的两个端点分别在两条互相垂 直的直线上滑动直的直线上滑动，且且|AB|4，求求 AB 中点中点 P 的轨迹的轨迹方方程程 解：解： 法一法一 以两条互相垂直的直线分别为以两条互相垂直的直线分别为 x 轴轴， y 轴轴， 建立直角坐标系建立直角坐标系，如图所示如图所示 设设 P(x，y)，由于由
15、于OAB 是直角是直角 三角形三角形，P 为为 AB 的中点的中点， 所以所以，|OP|1 2|AB|， ， 则则x2y21 2 4，即即 x2y24. 故点故点 P 的轨迹方程为的轨迹方程为 x2y24. 法二法二 建立直角坐标系建立直角坐标系，同法一同法一 设设 P(x，y)，A(x1，0)，B(0，y2)， 则则 x2 1 y2 2 16. 又又 P 为为 AB 的中点的中点，所以所以 x12x，y22y. 代入代入，得得 4x24y216. 故点故点 P 的轨迹方程为的轨迹方程为 x2y24. 1建建立直角坐标立直角坐标系的原系的原则则 在建立直角坐标系的过程中在建立直角坐标系的过程中
16、，要先研究所给图形的要先研究所给图形的 对称对称性若性若是轴对称图形是轴对称图形，一般选取对称轴为坐标轴；一般选取对称轴为坐标轴； 若是中心对称图形若是中心对称图形，一般以对称中心为原点；若存在两一般以对称中心为原点；若存在两 条互相垂直的直线条互相垂直的直线，一般以这两条直线为坐标一般以这两条直线为坐标轴轴 总之总之，在建立直角坐标系时在建立直角坐标系时，原则上是使尽可能多原则上是使尽可能多 的点在坐标轴上的点在坐标轴上，有对称的尽可能使它们关于坐标轴或有对称的尽可能使它们关于坐标轴或 原点对原点对称称 2 在求动点在求动点 P 的轨迹方程时的轨迹方程时， 用几何性质求解比用代用几何性质求解
17、比用代 数方法简单数方法简单 3伸缩变换对图形的影响伸缩变换对图形的影响 (1)由伸缩变换公式由伸缩变换公式 x x，0， yy，0 知知，当当 01 时时，沿沿 x 轴向两侧缩短到原来的轴向两侧缩短到原来的1 ， ，其中纵坐标不变其中纵坐标不变 (2)在伸缩变换过程中在伸缩变换过程中，图象与图象与 y 轴的交点是不动轴的交点是不动点点 (3)在伸缩变换过程中在伸缩变换过程中，每个点随着坐标的伸缩而移每个点随着坐标的伸缩而移 动动，整个图形就发生相应的伸缩变整个图形就发生相应的伸缩变换换 (4)因为伸缩变换把直线变成直线因为伸缩变换把直线变成直线，所以伸缩变换把所以伸缩变换把 多边形变成边数一致的多边多边形变成边数一致的多边形伸形伸缩变换不能实现曲线缩变换不能实现曲线 段与直线段的互变段与直线段的互变，换句话说换句话说，它不能把圆变成正方形它不能把圆变成正方形.
