1、二 圆锥曲线的参数方程 【自主预习自主预习】 椭圆、双曲线、抛物线的普通方程和参数方程椭圆、双曲线、抛物线的普通方程和参数方程 圆锥曲线圆锥曲线 普通方程普通方程 参数方程参数方程 椭圆椭圆 (ab0)(ab0) _ ( (为参数为参数) ) 22 22 xy 1 ab xacos ybsin ， 圆锥曲线圆锥曲线 普通方程普通方程 参数方程参数方程 双曲线双曲线 (a0,b0)(a0,b0) ( (为参数为参数) ) 抛物线抛物线 _ ( (为参数为参数) ) 22 22 xy 1 ab xasec ybtan ， 2 2p x tan 2p y tan ， y y2 2=2px(p0)=2
2、px(p0) 【即时小测即时小测】 1.1.参数方程参数方程 ( (为参数为参数) )表示的曲线为表示的曲线为( ( ) ) xcos y2sin ， 【解析解析】选选B.B.由参数方程由参数方程 ( (为参数为参数) )得得 将两式平方相加将两式平方相加, ,得得x x2 2+ =1,+ =1,表示焦点在表示焦点在y y轴轴 上的椭圆上的椭圆. . xcos y2sin ， xcos y sin 2 ， ， 2 y 4 2.2.直线直线y=2xy=2x- - 与曲线与曲线 ( (为参数为参数) )的交点坐的交点坐 标是标是_._. 1 2 xsin , ycos 2 【解析解析】因为因为co
3、s2cos2=1=1- -2sin2sin2 2, , 所以曲线方程化为所以曲线方程化为y=1y=1- -2x2x2 2, ,与直线与直线y=2xy=2x- - 联立联立, , 解得解得: : 1 2 13 x,x, 22 17 yy, 22 或 由由- -1sin1sin1,1,故故 不符合题意不符合题意, ,舍去舍去, , 则直线与曲线的交点坐标为则直线与曲线的交点坐标为 答案答案: : 3 x, 2 7 y 2 1 1 . 2 2 ( ， ) 1 1 2 2 ( ， ) 【知识探究知识探究】 探究点探究点 圆锥曲线的参数方程圆锥曲线的参数方程 1.1.椭圆的参数方程中参数的几何意义是什么
4、椭圆的参数方程中参数的几何意义是什么? ? 提示提示: :椭圆的参数方程中椭圆的参数方程中, ,参数参数的几何意义为椭圆上的几何意义为椭圆上 任一点的离心角任一点的离心角, ,要把它和这一点的旋转角要把它和这一点的旋转角区分开来区分开来, , 除了点除了点M M在四个顶点处在四个顶点处, ,离心角和旋转角数值可相等外离心角和旋转角数值可相等外 ( (即在即在0 0到到2 2的范围内的范围内),),在其他任何一点在其他任何一点, ,两个角的数两个角的数 值都不相等值都不相等. .但当但当0 0 时时, ,相应地也有相应地也有0 0 , , 在其他象限内也有类似范围在其他象限内也有类似范围. .
5、2 2 2.2.抛物线抛物线y y2 2=2px(p0)=2px(p0)的参数方程的参数方程 (t(t为参数为参数) ) 中参数中参数t t的几何意义是什么的几何意义是什么? ? 提示提示: :由抛物线参数方程的推导过程可知由抛物线参数方程的推导过程可知, ,参数参数t t表示抛表示抛 物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数. . 2 x2pt y2pt ， 【归纳总结归纳总结】 1.1.椭圆的参数方程椭圆的参数方程 中的参数中的参数与圆的参数与圆的参数 方程方程 中的参数中的参数意义的区别意义的区别 从椭圆参数方程的推导过程可以看出参数从
6、椭圆参数方程的推导过程可以看出参数是椭圆上是椭圆上 的点的点M M所对应的大圆的半径所对应的大圆的半径OAOA的旋转角的旋转角, ,不是不是OMOM的旋转的旋转 角角, ,而圆的参数方程中的而圆的参数方程中的是半径是半径OMOM的旋转角的旋转角, ,椭圆参椭圆参 数方程中的数方程中的称为点称为点M M的离心角的离心角. . xacos ybsin ， xrcos yrsin ， 2.2.余切函数、正割函数、余割函数与双曲线的参数方余切函数、正割函数、余割函数与双曲线的参数方 程程 (1)(1)定义定义. . 如图如图, ,已知点已知点P(x,y)P(x,y)是角是角的终边上异于原点的任一点的终
7、边上异于原点的任一点 ( (角角的始边是的始边是x x轴的正半轴轴的正半轴, ,顶点是坐标原点顶点是坐标原点),),其到原其到原 点的距离为点的距离为|OP|=r,|OP|=r,则则 分别叫做角分别叫做角的余切函的余切函 x r r y x y ， 数、正割函数、余割函数数、正割函数、余割函数, ,表示为表示为cotcot= = | | k k,kZ;sec,kZ;sec= = | |kk+ kZ;csc+ kZ;csc= = | |kk,kZ.,kZ. r , y x y ， r x ， 2 ， (2)(2)双曲线双曲线 (a0,b0)(a0,b0)的参数方程为的参数方程为 ( (为参数为参
8、数, ,且且kk+ kZ)+ kZ)双曲线双曲线 (a0,b0)(a0,b0)的参数方程为的参数方程为 ( (为参数为参数, ,且且 k k,kZ),kZ) 22 22 xy 1 ab 2 ， 22 22 yx 1 ab xbcot yacsc . ， xasec ybtan . ， 类型一类型一 椭圆的参数方程与应用椭圆的参数方程与应用 【典例典例】已知曲线已知曲线C C1 1的参数方程是的参数方程是 ( (为参数为参数) ) 以坐标原点为极点以坐标原点为极点,x,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系轴的正半轴为极轴建立极坐标系, , 曲线曲线C C2 2的极坐标方程是的极坐标方程是=2,=2,正
9、方形正方形ABCDABCD的顶点都在的顶点都在C C2 2 上上, ,且且A,B,C,DA,B,C,D依逆时针次序排列依逆时针次序排列, ,点点A A的极坐标为的极坐标为 x2cos , y3sin , (2, ) 3 ， (1)(1)求点求点A,B,C,DA,B,C,D的直角坐标的直角坐标. . (2)(2)求曲线求曲线C C1 1的普通方程的普通方程, ,判断曲线形状判断曲线形状. . (3)(3)设设P P为为C C1 1上任意一点上任意一点, ,求求 的取的取 值范围值范围. . 2222 |PA|PB|PC|PD| 【解题探究解题探究】(1)(1)典例典例(1)(1)中如何求各点的直
10、角坐标中如何求各点的直角坐标? ? 提示提示: :先求先求A A点的直角坐标点的直角坐标, ,由对称性求其余各点的坐标由对称性求其余各点的坐标. . (2)(2)曲线曲线C C1 1的形状是什么的形状是什么? ? 提示提示: :将曲线将曲线C C1 1的参数方程化为普通方程的参数方程化为普通方程, ,是椭圆是椭圆. . (3)(3)如何求距离平方和的取值范围如何求距离平方和的取值范围? ? 提示提示: :利用椭圆的参数方程转化为三角函数的最值问题利用椭圆的参数方程转化为三角函数的最值问题. . 【解析解析】(1)(1)由曲线由曲线C C2 2的极坐标方程的极坐标方程=2,=2,可知曲线可知曲线
11、C C2 2 是圆心在极点是圆心在极点, ,半径为半径为2 2的圆的圆, ,正方形正方形ABCDABCD的顶点都在的顶点都在C C2 2 上上, ,且且A,B,C,DA,B,C,D依逆时针次序排列依逆时针次序排列, ,点点A A的极坐标为的极坐标为 故故 由对称性得由对称性得, ,直角坐标分别为直角坐标分别为 (2, ) 3 ， 5 B(2,) 6 ，A(1, 3),B(3,1）， C( 1,3),D( 3, 1). (2)(2)由曲线由曲线C C1 1的参数方程的参数方程 ( (为参数为参数) ) 得得 两式平方相加得两式平方相加得 所以曲线是焦点在所以曲线是焦点在y y轴上的椭圆轴上的椭圆
12、. . x2cos , y3sin , x cos , 2 y sin , 3 22 xy 1. 49 (3)(3)由于点由于点P P为曲线为曲线C C1 1 上任意一点上任意一点, , 得得P(2cosP(2cos,3sin,3sin),), 则则|PA|PA|2 2+|PB|+|PB|2 2+|PC|+|PC|2 2+|PD|+|PD|2 2 =(2cos=(2cos- -1)1)2 2+(3sin+(3sin- - ) )2 2+ + (2cos(2cos+ )+ )2 2+(3sin+(3sin- -1)1)2 2+ + (2cos(2cos+1)+1)2 2+(3sin+(3sin+
13、 )+ )2 2+ + x2cos , y3sin 3 3 3 (2cos(2cos- - ) )2 2+(3sin+(3sin+1)+1)2 2 =16cos=16cos2 2+36sin+36sin2 2+16+16 =32+20sin=32+20sin2 2, , 因为因为3232+20sin3232+20sin2 252,52, 所以所以|PA|PA|2 2+|PB|+|PB|2 2+|PC|+|PC|2 2+|PD|+|PD|2 2的取值范围是的取值范围是32,52.32,52. 3 【方法技巧方法技巧】椭圆的参数方程应用技巧椭圆的参数方程应用技巧 (1)(1)椭圆的参数方程椭圆的参
14、数方程: :中心在原点的椭圆的参数方程中心在原点的椭圆的参数方程 (为参数为参数,ab0),ab0)常数常数a,ba,b分别是椭圆的长分别是椭圆的长 半轴半轴, ,短半轴短半轴, ,焦点焦点F(F(c,0)c,0)在在x x轴上轴上, ,其中其中a a2 2=b=b2 2+c+c2 2. . 椭圆的参数方程也可以是椭圆的参数方程也可以是 (为参数为参数,ab0),ab0) xacos , ybsin ， xasin , ybcos . (2)(2)与椭圆上的动点有关的最大值、最小值或取值范围与椭圆上的动点有关的最大值、最小值或取值范围 问题问题, ,常常利用椭圆的参数方程转化为三角函数解决常常
15、利用椭圆的参数方程转化为三角函数解决. . 【变式训练变式训练】1.1.椭圆椭圆 ( (为参数为参数) )在坐标轴的在坐标轴的 正半轴上的焦点坐标为正半轴上的焦点坐标为_._. x5cos y3sin ， 【解析解析】将椭圆的参数方程将椭圆的参数方程 ( (为参数为参数) )化化 为普通方程为为普通方程为 由由a a2 2=25,b=25,b2 2=9,=9, 得得c c2 2=a=a2 2- -b b2 2=16,=16, 所以所以c=4,c=4,椭圆在坐标轴的正半轴上的焦点坐标为椭圆在坐标轴的正半轴上的焦点坐标为(4,0).(4,0). 答案答案: :(4,0)(4,0) x5cos y3
16、sin ， 22 xy 1 259 ， 2.2.在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOyxOy中中, ,设设P(x,y)P(x,y)是椭圆是椭圆 上的动点上的动点, ,求求S=x+yS=x+y的最大值的最大值. . 2 2 x y1 3 【解析解析】椭圆椭圆 的参数方程为的参数方程为 (为参数为参数) )故可设动点故可设动点P P的坐标为的坐标为( cos,sin),( cos,sin), 其中其中00)(ab0)上上, ,如何求如何求|PQ|PQ|的最小值的最小值? ? 22 22 xy 1 ab 【解析解析】由双曲线由双曲线 得参数方程为得参数方程为 ( (为参数为参数) ) 则则 22 2
17、2 xy 1(ab0), ab xasec , ybtan , 2 22 |PQ|a secbbtan 222222 a secb tan2b tan b 2222 c tan2b tan c 当且仅当当且仅当 时时, , 24444 22 222 bcbcb c (tan ), ccc 2 2 b tan c 44 min 2 cb |PQ|. c 【方法技巧方法技巧】双曲线的参数方程中的应用技巧双曲线的参数方程中的应用技巧 (1)(1)双曲线的参数方程双曲线的参数方程 ( (为参数为参数) )中中, , 所以所以coscos0,0, xasec , ybtan 1 sec cos ， 所以
18、所以kk+ kZ,+ kZ,这也与使这也与使tantan有意义的有意义的的的 取值范围相一致取值范围相一致. .故我们通常规定参数故我们通常规定参数的范围为的范围为 0,20,2),),且且 2 ， 2 ， 3 . 2 (2)(2)双曲线的参数方程中双曲线的参数方程中, ,常用的三角函数关系式为常用的三角函数关系式为 sinsin2 2+cos+cos2 2=1=11+tan1+tan2 2= =sec= =sec2 2secsec2 2- - tantan2 2=1.=1. 2 1 cos 【补偿训练补偿训练】1.1.参数方程参数方程 ( (为参数为参数) ) 表示曲线的离心率为表示曲线的离
19、心率为_._. x4tan , y3sec 【解析解析】参数方程参数方程 ( (为参数为参数) )即即 所以所以 表示双曲线表示双曲线, , 其中其中c c2 2=a=a2 2+b+b2 2=9+16=25,=9+16=25,所以所以 答案答案: : x4tan , y3sec 1 xtan , 4 1 ysec , 3 22 22 yx sectan1 916 ， c5 e. a3 5 3 2.(20152.(2015湖北高考湖北高考) )在直角坐标系在直角坐标系xOyxOy中中, ,以以O O为极点为极点,x,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系轴的正半轴为极轴建立极坐标系. .已知直线已知直
20、线l的极坐标的极坐标 方程为方程为(sin(sin- -3cos3cos)=0,)=0,曲线曲线C C的参数方程为的参数方程为 (t(t为参数为参数) )l与与C C相交于相交于A,BA,B两点两点, ,则则|AB|=_.|AB|=_. 1 xt, t 1 yt, t 【解题指南解题指南】先将极坐标方程先将极坐标方程(sin(sin- -3cos3cos)=0)=0和和 曲线曲线C C的参数方程的参数方程 (t(t为参数为参数) )化成普通方程化成普通方程, , 再求解再求解. . 1 xt, t 1 yt, t 【解析解析】由由(sin(sin- -3cos)=03cos)=0知知, ,直线
21、的方程是直线的方程是y=3x,y=3x, 由曲线由曲线C C的参数方程为的参数方程为 (t(t为参数为参数) )消去参数消去参数 得得,y,y2 2- -x x2 2=4,=4,解方程组解方程组 1 xt, t 1 yt, t 22 y3x yx4 ， ， 得得 答案答案: : 2 3 223 2 A,B(, 2222 （） ） 22 223 23 2 |AB|()()2 5. 2222 2 5 自我纠错自我纠错 等价转化求轨迹方程等价转化求轨迹方程 【典例典例】已知已知A,BA,B是抛物线是抛物线y y2 2=2x=2x上异于顶点的两动点上异于顶点的两动点, , 且且OAOB,OMAB,OA
22、OB,OMAB,并与并与ABAB相交于点相交于点M,M,求点求点M M的轨迹的轨迹. . 【失误案例失误案例】 分析解题过程分析解题过程, ,找出错误之处找出错误之处, ,并写出正确答案并写出正确答案. . 提示提示: :错误的根本原因一是忽视了动点错误的根本原因一是忽视了动点M M不能到达原点不能到达原点 导致求方程增解出错导致求方程增解出错, ,另外另外, ,没有判断轨迹形状导致错没有判断轨迹形状导致错 误误. .正确解答过程如下正确解答过程如下: : 【解析】【解析】方法一方法一: :设设M(x,y), M(x,y), 由由 (2t(2t1 1t t2 2) )2 2+2+22 2t t
23、1 1t t2 2=0,=0, 因为因为A,BA,B是抛物线上异于顶点的两动点是抛物线上异于顶点的两动点, , 所以所以t t1 1t t2 2= =- -1.1. 22 1122 A 2t ,2tB 2t ,2t， OAOBOA OB0，得， OMABOM AB0又，所以， 所以所以x(tx(t1 1+t+t2 2)+y=0, (x0)+y=0, (x0) 又又 且且A,M,BA,M,B共线共线. . 所以所以 22 2121 2x tt2y tt0. 12 y tt. x 2 11 AMx2t ,y2t， 2 22 MB2tx,2ty， 22 1212 x2t2tyy2t2tx， 即即y(
24、ty(t1 1+t+t2 2) )- -2t2t1 1t t2 2- -x=0.x=0. 将代入将代入, ,得到得到x x2 2+y+y2 2- -2x=0,2x=0,由于动点由于动点M M不能到达原不能到达原 点点, ,故轨迹方程为故轨迹方程为x x2 2+y+y2 2- -2x=0(x0),2x=0(x0),所以动点所以动点M M的轨迹的轨迹 是圆心在是圆心在(1,0),(1,0),半径为半径为1 1的圆的圆, ,且去掉原点且去掉原点. . 方法二方法二: :设设 因为因为OAOB,OAOB, 所以所以 得得y y1 1y y2 2= =- -4,4, 直线直线ABAB的方程为的方程为 2
25、 1 11 y A(,y ) y0 2 ， 2 2 22 y B(,y ) y0 2 ， 22 12 12 yy y y0 22 ， 2 1 1 12 y2 yy(x) yy2 ， 即即 所以直线所以直线ABAB过定点过定点C(2,0),C(2,0), 又又OMAB,OMAB,所以点所以点M M的轨迹是以的轨迹是以OCOC为直径的圆为直径的圆, ,则点则点M M的的 轨迹方程为轨迹方程为(x(x- -1)1)2 2+y+y2 2=1(x0).=1(x0). 所以动点所以动点M M的轨迹是圆心在的轨迹是圆心在(1,0),(1,0),半径为半径为1 1的圆的圆, ,且去掉且去掉 原点原点. . 12 2 yx2 yy ，
