1、第二讲第二讲 参数方程参数方程 一、曲线的参数方程一、曲线的参数方程 第第 2 课时课时 圆的参数方程圆的参数方程 学习目标学习目标 1.掌握圆的参数方程掌握圆的参数方程，明确圆参数方程明确圆参数方程 中参数的几何意义中参数的几何意义(重点重点) 2.会用圆的参数方程解一些会用圆的参数方程解一些 数学问题数学问题(难点、重点难点、重点) 知识提炼梳理知识提炼梳理 (1)如图所示如图所示，圆圆 O 的参数方程为的参数方程为_， 其中其中 为参数为参数 的几何意义是的几何意义是 OM0绕点绕点 O 逆时针旋转逆时针旋转 到到 OM 的位置时的位置时，OM0转过的角度转过的角度 x rcos ， y
2、rsin ， (2)圆圆(xx0)2(yy0)2r2的参数方程为的参数方程为 _ 温馨提示温馨提示 圆的参数方程不唯一圆的参数方程不唯一，选取的参数不同选取的参数不同， 相应的参数方程也不同相应的参数方程也不同 x x0rcos ， yy0rsin ( 为参数为参数) 思考尝思考尝试试 夯基夯基 1思思考判断考判断(正确的打正确的打“”，错误的打错误的打“”“”) (1)圆圆 x2y225 的参数方程是的参数方程是 x 5sin ， y5cos ( 为参为参 数数)( ) (2)圆圆(x6)2y24 的参数方程是的参数方程是 x 62cos ， y2sin ( 为参数为参数)( ) (3)参数
3、方程参数方程 x 4cos ， y4sin (0，2)与与 x 4cos ， y4sin 0， 2 都表示同一都表示同一圆圆( ) (4)圆的参数方程为圆的参数方程为 x 22cos ， y2sin ( 为参数为参数)，则则 圆心坐标为圆心坐标为(2，0)( ) 解析：解析：(1)参数方程参数方程 x 5sin ， y5cos 消参后得到消参后得到 x2y2 25，可以表示圆可以表示圆，不过此时参数不过此时参数 的几何意义与的几何意义与 x 5cos ， y5sin 中中 的几何意义是不同的的几何意义是不同的，但参数方程是正但参数方程是正 确的确的 (2)由圆方程知圆心为由圆方程知圆心为(6，
4、0)，半径为半径为 2，故参数方故参数方 程为程为 x 62cos ， y2sin ， 故不正确故不正确 (3) x 4cos ， y4sin 0，2)表示以原点为圆心表示以原点为圆心，半径为半径为 4 的圆的圆，而而 x 4cos ， y4sin 0， 2 表示以原点为圆心表示以原点为圆心，半径半径 为为 4 的圆的一部分的圆的一部分，故不正确故不正确 (4)由圆的参数方程知圆心为由圆的参数方程知圆心为(2，0)，故正确故正确 答案：答案：(1) (2) (3) (4) 2圆圆(x1)2y24 上的点可以表示为上的点可以表示为( ) A(1cos ，sin ) B(1sin ，cos ) C
5、(12cos ，2sin ) D(12cos ，2sin ) 解析：解析：由圆的方程知圆心为由圆的方程知圆心为(1，0)，半径为半径为 2，故由故由 圆的参数方程知圆的参数方程知 D 正确正确 答案：答案：D 3参参数方程数方程 x 1 t2 1t2， ， y 2t 1t2 (t 为参数为参数)，化为普通方程为化为普通方程为 ( ) Ax2(y1)21 B(x1)2y21 C(x1)2(y1)21 Dx2y21 解析：解析：x 1t2 1t2 ， 1x 1x t2代入代入 y 2t 1t2 ， 所以所以 y(1x2) 1 2， ，y21x2， 所以所以 x2y21. 答案：答案：D 4已已知圆
6、的普通方程知圆的普通方程 x2y22x6y90，则它则它 的参数方程为的参数方程为_ 解析：解析：由由 x2y22x6y90， 得得(x1)2(y3)21. 令令 x1cos ，y3sin ， 所以参数方程为所以参数方程为 x 1cos ， y3sin ( 为参数为参数) 答案：答案： x 1cos ， y3sin ( 为参数为参数)(答案不唯一答案不唯一) 5已已知点知点 P 1 2， ， 3 2 ，Q 是圆是圆 x cos ， ysin ( 为参数为参数) 上的动点上的动点，则则|PQ|的最大值是的最大值是_ 解析：解析：由题意由题意，设点设点 Q(cos ，sin )， 则则|PQ| c
7、os 1 2 2 sin 3 2 2 2 3sin cos 22sin 6 故故|PQ|max222. 答案：答案：2 类型类型 1 圆的参数方程与普通方程互化圆的参数方程与普通方程互化(自主研析自主研析) 典例典例 1 (1)已知曲线的参数方程已知曲线的参数方程 x 12cos t， y22sin t (0t)， 把它化为普通方程把它化为普通方程， 并判断该曲线表示什么图并判断该曲线表示什么图 形；形； (2)已知圆的普通方程为已知圆的普通方程为 x2y22x6y90， 将它将它 化为参数方化为参数方程程 解：解：(1)由曲线的参数方程由曲线的参数方程 x 12cos t， y22sin t
8、， 得得 x 12cos t， y22sin t. 因为因为 cos2tsin2t1， 所以所以(x1)2(y2)24. 由于由于 0t， 所以所以 0sin t1，从而从而 0y22，即即2y0. 所以所求的曲线的参数方程为所以所求的曲线的参数方程为 (x1)2(y2)24(2y0) 这是一个半圆这是一个半圆，其其圆心为圆心为(1，2)，半径为半径为 2. (2)由由 x2y22x6y90 得得 (x1)2(y3)21， 令令 x1cos ，y3sin ， 所以参数方程为所以参数方程为 x 1cos ， y3sin ( 为参数为参数) 归纳升华归纳升华 1把圆的参数方程化为普通方程把圆的参数
9、方程化为普通方程，就是将参数方程就是将参数方程 中的参变量消去中的参变量消去，常利用常利用 sin2cos21 进行消参进行消参，但但 要注意消去参数时变量范围的一致性要注意消去参数时变量范围的一致性 2 将一般方程标准化将一般方程标准化， 引入参数引入参数， 化为参数方程 将化为参数方程 将 参数方程化为普通方程时参数方程化为普通方程时， 要注意防止变量要注意防止变量 x 和和 y 取值范取值范 围的扩大或缩小围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围确定参数必须根据参数的取值范围确定参数 f(t) 和和 g(t)的值域的值域，即即 x 和和 y 的取值范围的取值范围 变式训变式训练练 (201
10、5 福建卷福建卷)在平面直角坐标系在平面直角坐标系 xOy 中中，圆圆 C 的参数方程为的参数方程为 x 13cos t， y23sin t (t 为参数为参数)在在极极 坐标系坐标系(与平面直角坐标系与平面直角坐标系 xOy 取相同的长度单位取相同的长度单位，且以且以 原点原点 O 为极点为极点，以以 x 轴非负半轴为极轴轴非负半轴为极轴)中中，直线直线 l 的方的方 程为程为 2sin( 4) m(mR) (1)求圆求圆 C 的普通方程及直线的普通方程及直线 l 的直角坐标方程；的直角坐标方程； (2)设圆心设圆心 C 到直线到直线 l 的距离等于的距离等于 2，求求 m 的的值值 解：解
11、：(1)消去参数消去参数 t，得到圆的标准方程为得到圆的标准方程为(x1)2(y 2)29. 由由 2sin( 4) m，得得 sin cos m0. 所以直线所以直线 l 的直角坐标方程为的直角坐标方程为 xym0. (2)依题意依题意，圆心圆心 C 到直线到直线 l 的距离等于的距离等于 2， 则则 |1（2）m| 2 2，解得解得 m3 2 2. 类型类型 2 利用圆的参数方程求轨迹利用圆的参数方程求轨迹 典例典例 2 如图如图，圆圆 O 的半径为的半径为 2，P 是圆上的动点是圆上的动点， Q(6，0)是是 x 轴上的定点轴上的定点，M 是是 PQ 的中的中点当点当点点 P 绕点绕点
12、O 作匀速圆周运动时作匀速圆周运动时，求点求点 M 的轨迹的参数方的轨迹的参数方程程 解：解：设点设点 M 的坐标为的坐标为(x，y)， POQ，取取 为参为参 数数， 则点则点 P 的坐标为的坐标为(2cos ，2sin ) 由中点坐标公式可得由中点坐标公式可得 x 2cos 6 2 cos 3，y 2sin 0 2 sin . 因此点因此点 M 的轨迹的参数方程为的轨迹的参数方程为 x cos 3， ysin ( 为为 参数参数) 归纳升华归纳升华 当点当点 P 在圆在圆(xx0)2(yy0)2r2上时上时，可设其坐标可设其坐标 为为(x0rcos ，y0ysin )然后找所求动点与点然后
13、找所求动点与点 P 的关系的关系， 从而求得其参数方程从而求得其参数方程 变式训练变式训练 在平面直角坐标系在平面直角坐标系 xOy 中中，若直线若直线 l： x t， yta(t 为参数 为参数)过椭圆过椭圆 C： x 3cos ， y2sin ( 为参数为参数)的右的右 顶点顶点，求常数求常数 a 的的值值 解：解：直线直线 l 的普通方程为的普通方程为 xya0， 椭圆椭圆 C 的标准方程为的标准方程为x 2 9 y 2 4 1， 所以椭圆所以椭圆 C 的右顶点坐标为的右顶点坐标为(3，0)，若直线若直线 l 过点过点(3， 0)， 则则 3a0，所以所以 a3. 类型类型 3 利用圆的
14、参数方程求最值利用圆的参数方程求最值(规范解答规范解答) 典例典例 3 (本小题满分本小题满分 10 分分)已知直线已知直线 l 的方程为的方程为 y x4，圆圆 C 的参数方程为的参数方程为 x 2cos ， y2sin ( 为参数为参数)，以以 原点为极点原点为极点，x 轴正半轴为极轴轴正半轴为极轴，建立极坐标建立极坐标系系 (1)求直线求直线 l 与圆与圆 C 的交点的极坐标；的交点的极坐标； (2)若若 P 为圆为圆 C 上的动点上的动点，求求 P 到直线到直线 l 的距离的距离 d 的的 最大最大值值 审题指导：审题指导：(1)先先将圆的参数方程化为普通方程将圆的参数方程化为普通方程
15、，然然 后和直线方程联立方程组后和直线方程联立方程组，解得交点的直角坐标解得交点的直角坐标，再化为再化为 直角坐标直角坐标 (2)利用点到直线的距离公式求出距离利用点到直线的距离公式求出距离，然后利用三然后利用三 角函数知识求最值或结合圆的性质求最值角函数知识求最值或结合圆的性质求最值 规范解答规范解答 (1)直线直线 l：yx4，圆圆 C：x2(y2)2 4，(1 分分) 联立方程组联立方程组 y x4， x2（y2）24， (2 分分) 解得解得 x 2， y2 或或 x 0， y4， (3 分分) 对应的极坐标分别为对应的极坐标分别为 2 2，3 4 ， 4， 2 .(5 分分) (2)
16、设设 P(2cos ，22sin )，(6 分分) 则则 d |2cos 2sin 2| 2 (7 分分) 2 2cos 4 1 .(8 分分) 当当 cos 4 1 时时， 失分警示：失分警示：若没有此说明若没有此说明，则扣则扣 1 分分 d 取得最大值取得最大值 2 2.(10 分分) 归纳升华归纳升华 1根据圆的参数方程可知圆根据圆的参数方程可知圆 x2y2r2上动点上动点 M(x， y)可直接写成可直接写成 M(rcos ，rsin )，圆圆(xa)2(yb)2r2 上动点上动点 M(x，y)可直接写成可直接写成 M(arcos ，brsin )，这这 样就把与圆有关的解析几何问题转化
17、为三角函数问题样就把与圆有关的解析几何问题转化为三角函数问题 2利用圆的参数方程容易解决一些与圆有关的最值利用圆的参数方程容易解决一些与圆有关的最值 和取值范围问题和取值范围问题 求最值问题时求最值问题时， 利用圆的参数方程来将问题合理地转利用圆的参数方程来将问题合理地转 化化，常用的方法是建立代数与三角函数的联系常用的方法是建立代数与三角函数的联系，利用三角利用三角 函数的值域求解函数的值域求解， 解决此类问题还要注意数形结合思想的解决此类问题还要注意数形结合思想的 应用应用 变式训练变式训练 已知某圆的极坐标方程为已知某圆的极坐标方程为 24 2 cos 4 60. (1)将极坐标方程化为
18、直将极坐标方程化为直角坐标方程角坐标方程，并选择恰当的并选择恰当的 参数写参数写出它的参数方程；出它的参数方程； (2)若点若点 P(x，y)在该圆上在该圆上，求求 xy 的最大值和最小的最大值和最小 值值 解：解：(1)直角坐标方程为直角坐标方程为 x2y24x4y60， 将方程配方为将方程配方为(x2)2(y2)22， 所以圆心为所以圆心为(2，2)，半径半径 r 2， 故圆的参数方程为故圆的参数方程为 x 2 2cos ， y2 2sin ( 为参数为参数) (2)xy2 2cos 2 2sin 42sin 4 ， 故故 xy 的最大值是的最大值是 6，最小值是最小值是 2. 1圆圆的参数方程主要用于解决与圆有关的轨迹问题的参数方程主要用于解决与圆有关的轨迹问题 与最值问与最值问题题 2 利利用圆的参数方程求用圆的参数方程求 x， y 代数式的取值范围问题代数式的取值范围问题， 常把普通方程化为参数方程常把普通方程化为参数方程，利用三角函数的值域来求利用三角函数的值域来求 解解.
