1、第二课 证明不等式的基本方法 【网络体系网络体系】 【核心速填核心速填】 1.1.比较法比较法 (1)(1)作差比较法的依据作差比较法的依据: : 若若a,bR,a,bR,则则_ab;aab;a- -b=0b=0a=b;_a=b;_a0,a0,b0,则则_ab; =1ab; =1a=b;_a=b;_a0 a a- -b0,求证求证:3a:3a3 3+2b+2b3 33a3a2 2b+2abb+2ab2 2. . 【证明证明】3a3a3 3+2b+2b3 3- -(3a(3a2 2b+2abb+2ab2 2) ) =3a=3a2 2(a(a- -b)+2bb)+2b2 2(b(b- -a)=(a
2、a)=(a- -b)(3ab)(3a2 2- -2b2b2 2).). 因为因为ab0,ab0,所以所以a a- -b0,3ab0,3a2 2- -2b2b2 22a2a2 2- -2b2b2 20.0. 从而从而(3a(3a2 2- -2b2b2 2)(a)(a- -b)0,b)0,故故3a3a3 3+2b+2b3 33a3a2 2b+2abb+2ab2 2成立成立. . 【方法技巧方法技巧】比较法证明不等式的依据及步骤比较法证明不等式的依据及步骤 (1)(1)依据依据: :不等式的意义及实数比较大小的充要条件不等式的意义及实数比较大小的充要条件. . (2)(2)一般步骤一般步骤: : 作
3、差作差; ; 恒等变形恒等变形; ; 判断结果的符号判断结果的符号; ; 下结论下结论. . 其中其中, ,变形是证明推理中一个承上启下的关键变形是证明推理中一个承上启下的关键, ,变形的变形的 目的在于判断差的符号目的在于判断差的符号, ,而不是考虑差能否化简或值是而不是考虑差能否化简或值是 多少多少, ,变形所用的方法要具体情况具体分析变形所用的方法要具体情况具体分析, ,可以配方可以配方, , 可以因式分解可以因式分解, ,可以运用一切有效的恒等变形可以运用一切有效的恒等变形. . 【变式训练变式训练】1.(20161.(2016南阳高二检测南阳高二检测) )已知已知a,ba,b是正实是
4、正实 数数,n,n是正整数是正整数. . 求证求证:(a+b)(a:(a+b)(an n+b+bn n)2(a)2(an+1 n+1+b +bn+1 n+1). ). 【证明证明】(a+b)(a(a+b)(an n+b+bn n) )- -2(a2(an+1 n+1+b +bn+1 n+1) ) =a=an+1 n+1+ab +abn n+a+an nb+bb+bn+1 n+1- -2a 2an+1 n+1- -2b 2bn+1 n+1=ab =abn n+a+an nb b- -a an+1 n+1- -b bn+1n+1 =a(b=a(bn n- -a an n)+b(a)+b(an n-
5、 -b bn n)=(a)=(a- -b)(bb)(bn n- -a an n).). 当当ab0ab0时时,b,bn n- -a an n0,此时此时(a(a- -b)(bb)(bn n- -a an n)0ba0时时,b,bn n- -a an n0,a0,a- -b0时时,b,bn n- -a an n=0,a=0,a- -b=0,b=0,此时此时(a(a- -b)(bb)(bn n- -a an n)=0.)=0. 综上所述综上所述:(a+b)(a:(a+b)(an n+b+bn n) )- -2(a2(an+1 n+1+b +bn+1 n+1)0. )0. 即即(a+b)(a(a+b
6、)(an n+b+bn n)2(a)2(an+1 n+1+b +bn+1 n+1). ). 2.(20162.(2016福州高二检测福州高二检测) )已知已知 (0,(0, ),), 求证求证:2sin2:2sin2 sin . 1 cos 【证明证明】2sin22sin2- - =4sincos=4sincos- - 因为因为(0,),(0,),所以所以sin0,1sin0,1- -cos0,cos0, 又又(2cos(2cos- -1)1)2 20,0,所以所以2sin22sin2- - 0,0, 所以所以2sin2 .2sin2 . sin 1 cos sin 1 cos 22 sin
7、(4cos4cos1)sin(2cos1) , 1 cos1 cos sin 1 cos sin 1 cos 类型二类型二 综合法证明不等式综合法证明不等式 【典例典例2 2】已知已知a0,aa0,a2 2- -2ab+c2ab+c2 2=0=0且且bcabca2 2, ,试证明试证明:bc.:bc. 【证明证明】因为因为a a2 2- -2ab+c2ab+c2 2=0,=0,所以所以a a2 2+c+c2 2=2ab.=2ab. 又又a a2 2+c+c2 22ac,2ac,且且a0,a0,所以所以2ab2ac,2ab2ac,所以所以bc.bc. 若若b=c,b=c,由由a a2 2- -2
8、ab+c2ab+c2 2=0,=0,得得a a2 2- -2ab+b2ab+b2 2=0,=0,所以所以a=b.a=b. 从而从而a=b=c,a=b=c,这与这与bcabca2 2矛盾矛盾. .从而从而bc.bc. 【方法技巧方法技巧】综合法证明不等式的依据、注意点及思综合法证明不等式的依据、注意点及思 考方向考方向 (1)(1)依据依据: :已知的不等式以及逻辑推证的基本理论已知的不等式以及逻辑推证的基本理论. . (2)(2)注意点注意点: :作为依据和出发点的几个重要不等式作为依据和出发点的几个重要不等式( (已知已知 或已证或已证) )成立的条件往往不同成立的条件往往不同, ,应用时要
9、先考虑是否具应用时要先考虑是否具 备应有的条件备应有的条件, ,避免错误避免错误, ,如一些带等号的不等式如一些带等号的不等式, ,应用应用 时要清楚取等号的条件时要清楚取等号的条件, ,即对重要不等式中“当且仅即对重要不等式中“当且仅 当当时时, ,取等号”的理由要理解掌握取等号”的理由要理解掌握. . (3)(3)思考方向思考方向: :综合法证明不等式的思考方向是“顺综合法证明不等式的思考方向是“顺 推”推”, ,即由已知的不等式出发即由已知的不等式出发, ,逐步推出其必要条件逐步推出其必要条件( (由由 因导果因导果),),最后推导出所要证明的不等式成立最后推导出所要证明的不等式成立.
10、. 【变式训练变式训练】1.(20161.(2016昆明高二检测昆明高二检测) )已知已知a,ba,b是不相是不相 等的正实数等的正实数, ,求证求证:(a:(a2 2b+a+bb+a+b2 2)(ab)(ab2 2+a+a2 2+b)9a+b)9a2 2b b2 2. . 【解题指南解题指南】因为因为a,ba,b是不相等的正实数是不相等的正实数, ,所以所以 a a2 2b+a+bb+a+b2 2及及abab2 2+a+a2 2+b+b均可用三正数的均值不等式均可用三正数的均值不等式, ,从而从而 用综合法可证明用综合法可证明. . 【证明证明】因为因为a,ba,b是正实数是正实数, , 所
11、以所以a a2 2b+a+bb+a+b2 23 =3ab0,3 =3ab0, ( (当且仅当当且仅当a a2 2b=a=bb=a=b2 2即即a=b=1a=b=1时时, ,等号成立等号成立);); 同理同理:ab:ab2 2+a+a2 2+b3 =3ab0,+b3 =3ab0, ( (当且仅当当且仅当abab2 2=a=a2 2=b=b即即a=b=1a=b=1时时, ,等号成立等号成立);); 223 a b a b 223 ab a b 所以所以(a(a2 2b+a+bb+a+b2 2)(ab)(ab2 2+a+a2 2+b)9a+b)9a2 2b b2 2, , ( (当且仅当当且仅当a=
12、b=1a=b=1时时, ,等号成立等号成立);); 因为因为ab,ab,所以所以(a(a2 2b+a+bb+a+b2 2)(ab)(ab2 2+a+a2 2+b)9a+b)9a2 2b b2 2. . 2.2.若若a,b,ca,b,c都是正数都是正数, ,能确定能确定 与与 的大小吗的大小吗? ? 【解析解析】能确定能确定, ,因为因为a,b,ca,b,c都是正数都是正数, , +(b+c)4a, +(a+c)4b, +(a+b)4c,+(b+c)4a, +(a+c)4b, +(a+b)4c, 所以所以 2(a+b+c),2(a+b+c), 所以所以 222 abc bcacab abc 2
13、2 4b ac 2 4c ab 222 4a4b4c b cacab 222 abcab c . b cacab2 2 4a b c 类型三类型三 分析法证明不等式分析法证明不等式 【典例典例3 3】设设a,b,ca,b,c均为大于均为大于1 1的正数的正数, ,且且ab=10.ab=10.求证求证: : logloga ac+logc+logb bc4lgc.c4lgc. 【证明证明】由于由于a1,b1,a1,b1,故要证明故要证明logloga ac+logc+logb bc4lgc,c4lgc, 只要证明只要证明 4lgc.4lgc. 又又c1,c1,故故lgc0,lgc0,所以只要证所
14、以只要证 4 4即即 4,4, 因因ab=10,ab=10,故故lga+lgb=1,lga+lgb=1,只要证明只要证明 4.(*)4.(*) lg clg c lg alg b 11 lg alg b lg alg b lg alg b 1 lg alg b 由由a1,b1,a1,b1,故故lga0,lgb0,lga0,lgb0, 所以所以01,y(2- -z z)1,z(2)1,z(2- -x)1x)1均成立均成立. . 则三式相乘有则三式相乘有:xyz(2:xyz(2- -x)(2x)(2- -y)(2y)(2- -z)1,z)1, 由于由于00,m0,ab0,m0,则则 所以所以 （）
15、 11112n 1 (1) 1(1)(1). 3572n 12 ama ， bmb 12k 1 2k 12k 1 2k1 ， 2k 所以所以 所以所以 4 4 6 6 8 82n2n4 5 6 7 8 92n2n 1 3 3 5 5 7 72n 1 2n 13 4 5 6 7 82n 12n （）（） 2 1111 (1) 1(1)1 3572n 1 2n 12n 1 ， 34 （）（） 11112n 1 (1) 1(1)1. 3572n 12 2.2.设设S Sn n= = 求证求证: :不等式不等式 对所有的正整数对所有的正整数n n都成立都成立. . 1 22 3n n 1 , 2 n n n 1n 1 S 22 【证明证明】因为因为 且且 所以所以 对所有的正整数对所有的正整数n n都成立都成立. . 222 n n n 1 S12n1 2n. 2 n 1 22 3nn 1352n 1135 S 222222222 2 n 1 2n 1 . 22 2 n n n 1n 1 S 22
