1、三 排序不等式 【自主预习自主预习】 1.1.顺序和、乱序和、反序和的概念顺序和、乱序和、反序和的概念 设有两个有序实数组设有两个有序实数组:a:a1 1aa2 2aan n;b;b1 1bb2 2bbn n, , c c1 1,c,c2 2, ,c,cn n是是b b1 1,b,b2 2, ,b,bn n的任意一个排列的任意一个排列. . (1)(1)顺序和顺序和:_.:_. (2)(2)乱序和乱序和:_.:_. (3)(3)反序和反序和:_.:_. a a1 1b b1 1+a+a2 2b b2 2+ +a+an nb bn n a a1 1c c1 1+a+a2 2c c2 2+ +a+
2、an nc cn n a a1 1b bn n+a+a2 2b bn n- -1 1+ +a+an nb b1 1 2.2.排序不等式排序不等式( (排序原理排序原理) ) 设设a a1 1aa2 2aan n,b,b1 1bb2 2bbn n为两组实数为两组实数,c,c1 1,c,c2 2, , ,c,cn n是是b b1 1,b,b2 2, ,b,bn n的任一排列的任一排列, ,则则_ aa1 1c c1 1+a+a2 2c c2 2+ +a+an nc cn n_,_,当且仅当当且仅当 a a1 1=a=a2 2= =a=an n或或b b1 1=b=b2 2= =b=bn n时时,
3、,反序和等于顺序和反序和等于顺序和. . a a1 1b bn n+a+a2 2b bn n- -1 1+ +a+an nb b1 1 a a1 1b b1 1+a+a2 2b b2 2+ +a+an nb bn n 【即时小测即时小测】 1.1.已知已知a,b,cRa,b,cR+ +, ,则则a a3 3+b+b3 3+c+c3 3与与a a2 2b+bb+b2 2c+cc+c2 2a a的大小关系的大小关系 是是 ( ( ) ) A.aA.a3 3+b+b3 3+c+c3 3aa2 2b+bb+b2 2c+cc+c2 2a a B.aB.a3 3+b+b3 3+c+c3 3aa2 2b+b
4、b+b2 2c+cc+c2 2a a C.aC.a3 3+b+b3 3+c+c3 30, 则则 . .因而因而 又又a a5 5bb5 5cc5 5. . 由排序不等式由排序不等式, ,得得 = = 1 c 1 b 1 a 3 3 1 b c 33 1 c a 33 1 . a b 555 3 33333 abc b cc aa b 555 33333 3 abc c aa bb c 222 333 abc . cab 又由不等式性质又由不等式性质, ,知知a a2 2bb2 2cc2 2, , 根据排序不等式根据排序不等式, ,得得 = + + .= + + . 由不等式的传递性知由不等式的
5、传递性知 + + = .+ + = . 3 1 c 3 1 b 3 1 . a 222 333 abc cab 222 333 abc abc 1 a 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c 555 3 33333 abc b cc aa b 888 33 3 abc a b c 【延伸探究延伸探究】本例中若将要证明的不等式改为本例中若将要证明的不等式改为 如何证明呢如何证明呢? ? 2 22222 b cc aa b abc, abc 【证明证明】不妨设不妨设abc,abc,则则 ,bccaab.,bccaab. 由排序原理由排序原理, ,得得 即即 a+b+c.a+b+c. 因为因为a,b
6、,ca,b,c为正数为正数, ,所以所以abc0,a+b+c0,abc0,a+b+c0, 所以所以 abc.abc. 111 abc bcacabbcacab , abccab 2 22222 b cc aa b abc 2 22222 b cc aa b abc 【方法技巧方法技巧】利用排序不等式证明不等式的策略利用排序不等式证明不等式的策略 (1)(1)利用排序不等式证明不等式时利用排序不等式证明不等式时, ,若已知条件中已给若已知条件中已给 出两组量的大小关系出两组量的大小关系, ,则需要分析清楚顺序和、乱序和则需要分析清楚顺序和、乱序和 及反序和及反序和. .利用排序不等式证明即可利用
7、排序不等式证明即可. . (2)(2)在排序不等式的条件中在排序不等式的条件中, ,需要限定各数值的大小关需要限定各数值的大小关 系系, ,如果对于它们之间并没有预先规定大小顺序如果对于它们之间并没有预先规定大小顺序, ,那么那么 在解答问题时在解答问题时, ,我们要根据各字母在不等式中的地位的我们要根据各字母在不等式中的地位的 对称性将它们按一定顺序排列起来对称性将它们按一定顺序排列起来, ,进而用不等关系来进而用不等关系来 解题解题. . 【变式训练变式训练】设设x,y,zRx,y,zR+ +, ,且且x+y+z=1,x+y+z=1,则则P=P= 与与1 1的大小关系为的大小关系为 ( (
8、 ) ) A.P=1A.P=1 B.P0, 使得使得b b1 1= ,b= ,b2 2= ,= ,b,bn n- -1 1= ,b= ,bn n= .= . 由排序不等式有由排序不等式有:b:b1 1+b+b2 2+ +b+bn n= = x x1 1 +x+x2 2 + +x+xn n =n,=n, a G i n 1 2 x x 2 3 x x n 1 n x x n 1 x x 12n 231 xxx . xxx 1 1 x 2 1 xn 1 x 当且仅当当且仅当x x1 1=x=x2 2= =x=xn n时取等号时取等号, ,所以所以 n,n,即即 G Gn n. .即即A An nGGn n. . 12n nnn aaa . GGG 12n aa.a n
