1、一、加乘原理概念第 4 讲 加乘原理（2）生活中常有这样的情况：在做一件事时，有几类不同的方法，在具体做的时候，只要采用其中某一类中的一种方法就可以完成，并且这几类方法是互不影响的那么考虑完成这件事所有可能的做法，就要用到加法原理来解决还有这样的一种情况：就是在做一件事时，要分几步才能完成，而在完成每一步时，又有几种不同的方法要知道完成这件事情共有多少种方法，就要用到乘法原理来解决二、加乘原理应用应用加法原理和乘法原理时要注意下面几点：加法原理是把完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，所以完成任务的不同方法数等于各类方法数之和乘法原理是把一件事分几步完成，这几步缺一不可
2、，所以完成任务的不同方法数等于各步方法数的乘积在很多题目中，加法原理和乘法原理都不是单独出现的，这就需要我们能够熟练的运用好这两大原理， 综合分析，正确作出分类和分步加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，这样的问题可以使用加法原理解决我们可以简记为：“加法分类，类类独立”乘法原理运用的范围：这件事要分几个彼此互不影响的独立步骤来完成，这几步是完成这件任务缺一不 可的，这样的问题可以使用乘法原理解决我们可以简记为：“乘法分步，步步相关”1、五面五种颜色的小旗，任意取出几面排成一行表示各种信号，问：共可以表示多少种不同的信号？【解析】分 5 种情况：取出
3、一面，有 5 种信号；取出两面：可以表示5 4 = 20 种信号；取出三面：可以表示： 5 4 3 = 60 种信号；（4）取出四面：可以表示： 5 4 3 2 =120 种信号；（4）取出五面：可以表示： 5 4 3 21 =120 种信号；由加法原理，一共可以表示： 5 + 20 + 60 +120 +120 = 325 种信号2、五种颜色不同的信号旗，各有 5 面，任意取出四面排成一行，表示一种信号，问：共可以表示多少种不同的信号？【解析】每一个位置都有 5 种颜色可选，所以共有5 5 5 5 = 625 种3、由数字 4，5，7，8 可以组成多少个没有重复数字的奇数？【解析】2+6+1
4、2+12=324、由数字 0，1，2，3，4，5 可以组成多少个无重复数字的偶数？ 解答：3+13+52+156+312+312=8485、有 5 张卡，分别写有数字 2，3，4，5，6如果允许 6 可以作 9 用，那么从中任意取出 3 张卡片，并排放在一起问（1）可以组成多少个不同的三位数？（2）可以组成多少个不同的三位偶数？（1）96有 6433=36有 9433=36无 69432=24（2）48有 6 在末尾431=12有 6 不在末尾322=12有 9322=12无 69322=126、妈妈买了 7 件不同的礼物，要送给亲朋好友的 4 个孩子每人一件其中姐姐的儿子小强想从智力拼图和遥
5、控汽车中选一个，朋友的女儿小玉想从学习机和遥控汽车中选一件那么，妈妈送出这 4 件礼物共有 种方法【解析】若将遥控汽车给小强，则学习机要给小玉，此时另外2 个孩子在剩余5 件礼物中任选2 件，有5 4 = 60种方法；若将遥控车给小玉，则智力拼图要给小强，此时也有 20 种方法；若遥控车既不给小强、也不给小玉，则智力拼图要给小强，学习机要给小玉，此时仍然有 20 种方法所以共有 60 种方法7、某件工作需要钳工 2 人和电工 2 人共同完成现有钳工 3 人、电工 3 人，另有 1 人钳工、电工都会从 7人中挑选 4 人完成这项工作，共有多少种方法？（6 级）【解析】分两类情况讨论：都会的这 1
6、 人被挑选中，则有：如果这人做钳工的话，则再按乘法原理，先选一名钳工有 3 种方法，再选 2 名电工也有 3 种方法；所以有3 3 = 9 种方法；同样，这人做电工，也有 9 种方法都会的这一人没有被挑选，则从 3 名钳工中选 2 人，有 3 种方法；从 3 名电工中选 2 人，也有 3种方法，一共有3 3 = 9 种方法所以，根据加法原理，一共有9 + 9 + 9 = 27 种方法8、玩具厂生产一种玩具棒，共4 节，用红、黄、蓝三种颜色给每节涂色这家厂共可生产 种颜色不同的玩具棒【解析】每节有3 种涂法，共有涂法3 3 3 3 = 81 (种)但上述81 种涂法中，有些涂法属于重复计算，这是
7、因为有些游戏棒倒过来放时的颜色与顺着放时的颜色一样，却被我们当做两种颜色计算了两次可以发现只有游戏棒的颜色关于中点对称时才没有被重复计算， 关于中点对称的游戏棒有3 311 = 9 (种)故玩具棒最多有(81+ 9) 2 = 45 种不同的颜色9、从 6 名运动员中选出 4 人参加4 100 接力赛，求满足下列条件的参赛方案各有多少种：甲不能跑第一棒和第四棒；甲不能跑第一棒，乙不能跑第二棒【解析】先确定第一棒和第四棒，第一棒是除甲以外的任何人，有 5 种选择，第四棒有 4 种选择，剩下的四人中随意选择 2 个人跑第二、第三棒，有4 3 = 12 种，由乘法原理，共有： 5 4 12 = 240
8、 种参赛方案先不考虑甲乙的特殊要求，从 6 名队员中随意选择 4 人参赛，有6 5 4 3 = 360 种选择.考虑若甲跑第一棒，其余 5 人随意选择 3 人参赛，对应5 4 3 = 60 种选择，考虑若乙跑第二棒，也对应5 4 3 = 60 种选择，但是从 360 种中减去两个 60 种的时候，重复减了一次甲跑第一棒且乙跑第二棒的情况，这种情况下，对应于第一棒第二棒已确定只需从剩下的 4 人选择 2 人参赛的4 3 = 12种方案，所以，一共有360 - 60 2 +12 = 252 种不同参赛方案10、七位数的各位数字之和为 60 ，这样的七位数一共有多少个？【解析】七位数数字之和最多可以
9、为9 7 = 63 63 - 60 = 3 七位数的可能数字组合为：9，9，9，9，9，9，6第一种情况只需要确定 6 的位置即可所以有 6 种情况9，9，9，9，9，8，7第二种情况只需要确定 8 和 7 的位置，数字即确定8 有 7 个位置，7 有 6 个位置所以第二种情况可以组成的 7 位数有7 6 = 42 个9，9，9，9，8，8，8，第三种情况，3 个 8 的位置确定即 7 位数也确定三个 8 的位置放置共有7 6 5 = 210 种 三个相同的 8 放置会产生3 2 1 = 6 种重复的放置方式所以 3 个 8 和 4 个 9 组成的不同的七位数共有210 6 = 35 种所以数
10、字和为 60 的七位数共有35 + 42 + 7 = 84 11、从1到2006这2006个数中,共有多少个数与四位数8765相加时,至少发生一次进位？【解析】1887。先看相加时一次进位也没有的数有多少。个位数可以是 0，1，2，3，4，有 5 种选择； 十位数可以是 0，1，2，3，有 4 种选择；百位数可以是 0，1，2，有 3 种选择； 千位数可以是 0，1，有 2 种选择。除去 0，5432-1119(个)。至少发生一次进位的数有 2006-119=1887(个)。12、如图所示的电子钟可显示从 00：00：00 到 23：59：59 的时间，在一昼夜内（24 小时）钟表上显示的时间
11、恰由数字 l，2，3，4，5，6 组成的共有多少种？【解析】96记时间为 ab：cd：ef，a 只能为 1 或 2。当 a 为 1 时，c、e 不能为 1 或 6，b、d、f 不能为 1，有 43321=72 种；当 a 为 2 时，b 只能为 1 或 3，c、e 不能为 2 或 6，不能与 b 同，有 23221=24 种；所以共有 7224=96 种。13、由数字 0、2、8（既可全用也可不全用）组成的非零自然数，按照从小到大排列，2008 排在第 个【解析】比 2008 小的4 位数有2000 和2002 ，比2008 小的3 位数有2 3 3 = 18 （种），比2008 小的2 位数
12、有2 3 = 6 （种），比2008 小的1 位数有2 （种），所以2008 排在第2 +18 + 6 + 2 +1 = 29 （个）14、自然数 8336，8545，8782 有一些共同特征，每个数都是以 8 开头的四位数，且每个数中恰好有两个数字相同这样的数共有多少个？【解析】两个相同的数字是8 时，另一个8 有3 个位置可选，其余两个位置有9 8 = 72 种填法，有 3 9 8 = 216个数；两个相同的数字不是 8 时，相同的数字有 9 种选法，不同的数字有 8 种选法，并有 3 个位置可放， 有98 3 = 216 个数由加法原理，共有3 98 + 9 8 3 = 432 个数15
13、、如果一个三位数 ABC 满足 A B ， B C ，那么把这个三位数称为“凹数”，求所有“凹数”的个数【解析】当 B 为0 时， A 、C 可以为 19 中的任何一个，此时有9 9 种；当 B 为1 时， A 、C 可以为 29中的任何一个，此时有8 8 种；当 B 为8 时，有11种；所以共有9 9 + 8 8 +11 = 1 9 10 19 = 285 (个)616、如图，将 1，2，3，4，5 分别填入图中1 5 的格子中，要求填在黑格里的数比它旁边的两个数都大共有 种不同的填法【解析】因为要求“填在黑格里的数比它旁边的两个数都大”，所以填入黑格中的数不能够太小，否则就不满足条件通过枚
14、举法可知填入黑格里的数只有两类：第一类，填在黑格里的数是 5 和 4；第二类， 填在黑格里的数是 5 和 3接下来就根据这两类进行计数：第一类，填在黑格里的数是 5 和 4 时，分为以下几步：第一步，第一个黑格可从 5 和 4 中任选一个，有 2 种选法；第二步，第二个黑格可从 5 和 4 中剩下的一个数选择，只有 1 种选法；第三步，第一个白格可从 1，2，3 中任意选一个，有 3 种选法第四步，第二个白格从 1，2，3 剩下的两个数中任选一个， 有 2 种选法； 第五步， 最后一个白格只有 1 种选法 根据乘法原理， 一共有(2 1) (3 2 1) = 12 种第二类，填在黑格里的数是
15、5 和 3 时，黑格中有两种填法，此时白格也有两种填法，根据乘法原理，不同的填法有2 2 = 4 种所以，根据加法原理，不同的填法共有12 + 4 =16 种17、一个自然数，如果它顺着看和倒过来看都是一样的，那么称这个数为“回文数”例如 1331，7，202 都是回文数，而 220 则不是回文数问：从一位到六位的回文数一共有多少个?其中的第 1996 个数是多少?【解析】我们将回文数分为一位、二位、三位、六位来逐组计算 所有的一位数均是“回文数”，即有 9 个；在二位数中，必须为aa 形式的，即有 9 个(因为首位不能为 0，下同)；在三位数中，必须为 aba ( a 、b 可相同，在本题中
16、，不同的字母代表的数可以相同)形式的，即有910 =90 个；在四位数中，必须为abba 形式的，即有 910 个；在五位数中，必须为abcba 形式的，即有 91010=900 个； 在六位数中，必须为abccba 形式的，即有 91010=900 个所以共有 9 + 9 + 90 + 90 + 900 + 900 = 1998 个，最大的为 999999，其次为 998899，再次为 997799而第 1996 个数为倒数第 3 个数，即为 997799所以，从一位到六位的回文数一共有 1998 个，其中的第 1996 个数是 997799【回家作业】1、在 200 至 1999 这些自然
17、数中个位数大于百位数的有多少个?【解析】8102、从 1 到 100 的所有自然数中，不含有数字 4 与 5 的自然数有多少个?【解析】643、一个半圆周上共有 12 个点，直径上 5 个，圆周上 7 个，以这些点为顶点，可以画出多少个三角形？（6 级）【解析】第一类：三角形三个顶点都在圆周上，这样的三角形一共有7 6 5 （3 2 1）= 35 种； 第二类：三角形两个顶点在圆周上，这样的三角形一共有7 6 （2 1） 5 = 105 种；第三类：三角形一个顶点在圆周上，这样的三角形一共有7 5 4 （2 1）= 70 种； 根据加法原理，一共可以画出35 +105 + 70 = 210 种
18、4、三条平行线上分别有 2，4，3 个点(下图)，已知在不同直线上的任意三个点都不共线问：以这些点为顶点可以画出多少个不同的三角形？（6 级）分析(方法一)本题分三角形的三个顶点在两条直线上和三条直线上两种情况三个顶点在两条直线上，一共有4 3 2 2 + 3 2 2 2 + 3 2 2 4 + 4 3 2 3 + 4 + 3 = 55 个三个顶点在三条直线上，由于不同直线上的任意三个点都不共线， 所以一共有： 2 4 3 = 24 个根据加法原理，一共可以画出55 + 24 = 79 个三角形(方法二) 9 个点任取三个点有9 8 7 (3 2 1) = 84 种取法，其中三个点都在第二条直
19、线上有4 种， 都在第三条直线上有1 种，所以一共可以画出84 - 4 -1 = 79 个三角形5、有一些四位数，它们由 4 个互不相同且不为零的数字组成，并且这 4 个数字和等于 12.将所有这样的四位数从小到大依次排列，第 15 个为 ，第 33 个为 215442156、从 1 到 500 的所有自然数中，不含有数字 4 的自然数有多少个?【解析】从 1 到 500 的所有自然数可分为三大类，即一位数，两位数，三位数一位数中，不含 4 的有 8 个，它们是 1、2、3、5、6、7、8、9；两位数中，不含 4 的可以这样考虑：十位上，不含 4 的有 l、2、3、5、6、7、8、9 这八种情
20、况个位上，不含 4 的有 0、1、2、3、5、6、7、8、9 这九种情况，要确定一个两位数，可以先取十位数， 再取个位数，应用乘法原理，这时共有 89=72 个数不含 4三位数中，小于 500 并且不含数字 4 的可以这样考虑：百位上，不含 4 的有 1、2、3、这三种情况十位上，不含 4 的有 0、1、2、3、5、6、7、8、9 这九种情况，个位上，不含 4 的也有九种情况要确定一个三位数，可以先取百位数，再取十位数，最后取个位数，应用乘法原理，这时共有3 9 9 = 24 个三位数由于 500 也是一个不含 4 的三位数所以，1500 中，不含 4 的三位数共有3 9 9 +1 = 244
21、 个所以一共有8 + 8 9 + 3 9 9 +1 = 324 个不含 4 的自然数7、在 1000 到 1999 这 1000 个自然数中，有多少个千位、百位、十位、个位数字中恰有两个相同的数？【解析】若相同的数是 1，则另一个 1 可以出现在个、十、百位中的任一个位置上，剩下的两个位置分别有 9个和 8 个数可选，有3 9 8 = 216 个；若相同的数是 2，有 3824 个；同理，相同的数是 0，3，4，5，6，7，8，9 时，各有 24 个，所以，符合题意的数共有216 + 9 24 = 432 个8、在如图所示 15 的格子中填入 1，2，3，4，5，6，7，8 中的五个数，要求填入的数各不相同，并且填在黑格里的数比它旁边的两个数都大共有 种不同的填法【解析】如果取出来的五个数是 1、2、3、4、5，则共有不同填法 16 种从 8 个数中选出 5 个数，共有 876(321)=56 中选法，所以共 1656=896 种
